1、 05.05. 平平面面向向量量和和空間向量及其運算空間向量及其運算知知識識要要點點 2.向量的概念 (1)向量的基本要素大小和方向.(2)向量的表示:幾何表示法AB;字母表示：a a；坐標表示法 a a=j j=(,) (3)向量的長度：即向量的大小，記作a a.(4)特殊的向量：零向量a aO Oa aO O.單位向量 a aOa aO1. x 1 x 2 (5)相等的向量：大小相等，方向相同(1，1)（2，2）(6) 相反向量：a a=-b bb b=-a aa a+b b=0 0 y y 2 1 (7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作 a ab b.平行向

2、量也稱為共線向量. 3.向量的運算 運算類型幾何方法坐標方法運算性質 rrrr ab ba 向量的 加法 1.平行四邊形法則 2.三角形法則 rr ab (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) rrrrrr (a b)c a (bc) AB BC AC 向量的 減法 三角形法則 rr ab (x 1 x 2 , y 1 y 2 ) rrrr a b a (b) uuu ruuu r AB BA,OBOAAB rr (a) ()a r 1. a 是 一 個 向 量 , 滿 數(shù) 乘 向 量 rr 足:|a| a| rr 2.0 時, a與a同向; rr 0 時,a與a異向; r a (x,y)

3、rrr ()a aa rrrr (a b) a b rr =0 時,a 0. r r ab是一個數(shù) 向 量 的 數(shù) 量 積 rrrr a/b a b r rr r ab ba rrrrr r (a)ba(b)(ab) rrrr 1.a 0或b 0時， r r ab 0. rrrr a 0且b 0時， 2.r rr r ag b |a|b|cos(a,b) r r ab x 1x2 y 1 y 2 rrrr rr r (a b)c acbc r 2 r 2 u r a |a| 即|a|= x2 y2 r rr r |ab|a |b| 4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理:e e1，e e2

4、是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內任一向量，有且僅有一對實數(shù) 1，2，使 a a1e e12e e2. (2)兩個向量平行的充要條件a ab ba ab b( (b b0 0)x1y2x2y1O. (3)兩個向量垂直的充要條件a ab ba ab bOx1x2y1y2O. (4)線段的定比分點公式設點P分有向線段P 1P PP 1P2 所成的比為，即P 2 ， 則 OP 11 OPOP 2 (線段的定比分點的向量公式) 1 11 x y x 1 x 2 x 1 x 2 ,x , 1 1 (線段定比分點的坐標公式)當1 時，得中點公式OP（ 2 OP 1 OP 2 ）或 2y 1

5、 y 2 y y 2 y 1. 12 (5)平移公式 設點P(x，y)按向量 a a（，）平移后得到點P（x，y） ，則 OP OP+a a 或 x x h, y y k. 曲線 yf（x）按向量 a a（，）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：yf（x) (6)正、余弦定理 正弦定理： abc 2R.余弦定理：a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC. sin Asin BsinC （7）三角形面積計算公式： 設ABC 的三邊為 a，b，c，其高分別為 ha，hb，hc，半周長為 P，外接圓、內切圓的半徑為R，r. S=1/2aha=1/2bhb=1/2

6、chcS=PrS=abc/4R S=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinAS=PP aP bP c海倫公式 S=1/2（b+c-a）ra如下圖=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb 注：到三角形三邊的距離相等的點有4 個，一個是內心，其余3 個是旁心. A AA A cb c cD a B CF b b E FO DE r FI rC B r a aE C a a a B 1圖圖2圖3B圖4 I N C 圖 1 中的 I 為 SABC的內心， S=Pr圖 2 中的 I 為 SABC的一個旁心，S=1/2（b+c-a）ra 附：三角形的五個“心”； 重心：三角形

7、三條中線交點. 外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內心：三角形三內角的平分線相交于一 點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點. 已知O 是ABC 的內切圓，若 BC=a，AC=b，AB=c 注：s 為ABC 的半周長,即 a bc 2 則：AE=s a=1/2（b+c-a）BN=sb=1/2（a+c-b） FC=s c=1/2（a+b-c） 綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）. abcab 特例：已知在 RtABC，c 為斜邊，則內切圓半徑 r=（如圖 3）. 2abc 在ABC 中，有下列等式成

8、立tan AtanBtanC tan AtanBtanC. tan Atan B 證明：因為A B C,所以tanA B tanC，所以 tanC，結論！ 1tan Atan B AC2BD AB2BC 在ABC 中，D 是 BC 上任意一點，則AD BDDC. BC 2 A 證明：在ABCD 中，由余弦定理，有AD2 AB2BD22 ABBDcosB AB2BC2AC2 在ABC 中，由余弦定理有cosB ，代入，化簡 2ABBC B D C AC2BD AB2BC 可得，AD BDDC（斯德瓦定理） BC 2 圖 5 若 AD 是 BC 上的中線，ma 若 AD 是 BC 上的高，ha 2

9、 a 12 2b2 2c2a2； 若 AD 是A 的平分線，t a 其中p為半周長；bc ppa， 2bc ppapbpc，其中p為半周長. ABC 的判定：c2a2b2ABC 為銳角A + B 2 2 c2a2b2ABC 為直角A + B = c2a2b2ABC 為鈍角A + B 2 222 附：證明：cosC a b c ，得在鈍角ABC 中，cosC 0 a2b2c2 0,a2b2c2 2ab 平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和. a b2a b2 2(a2b2) 空間向量空間向量 1 1空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向

10、量 注：空間的一個平移就是一個向量注：空間的一個平移就是一個向量空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示 向量一般用有向線段表示向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量同向等長的有向線段表示同一或相等的向量 2 2空間向量的運算空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下 OB OA AB a bBA OAOB a bOP a(R) 運算律：加法交換律：運算律：加法交換律：a b b a加法結合律：加法結合律：(a b)

11、c a (b c)數(shù)乘分配律：數(shù)乘分配律：(a b) a b 3 3 共線向量共線向量 表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量a平行于平行于b記作記作a /b 當我們說向量當我們說向量a、b共線（或共線（或a/b）時，表示）時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線 4 4共線向量定理及其推論：共線向量定理及其推論： 共線向量定理：空間任意兩個向量共線向量定理：空間任意兩個向量a、b（b0），），a

12、/b的充要條件是存在實數(shù)的充要條件是存在實數(shù) ，使，使a b. . 推論：推論：如果如果l為經過已知點為經過已知點 A A 且平行于已知非零向量且平行于已知非零向量a的直線，的直線，那么對于任意一點那么對于任意一點 O O，點點 P P 在直線在直線l上的充要條件是存上的充要條件是存 在實數(shù)在實數(shù) t t 滿足等式滿足等式OP OA ta其中向量其中向量a叫做直線叫做直線l的方向向量的方向向量. . uuu r rrr 5 5向量與平面平行：已知平面向量與平面平行：已知平面和向量和向量a，作，作OA a，如果直線，如果直線OA平行于平行于或在或在內，那么我們說向量內，那么我們說向量a平行平行

13、r 于平面于平面，記作：，記作：a/通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的說明：空間任意的兩向量都是共面的 r rrrr r r r 如果兩個向量如果兩個向量a,b不共線，不共線，p與向量與向量a,b共面的充要條件是存在實數(shù)共面的充要條件是存在實數(shù)x, y使使p xa yb uuu ruuu ruuu r 推論：空間一點推論：空間一點P位于平面位于平面MAB內的充分必要條件是存在有序實數(shù)對內的充分必要條件是存在有序實數(shù)對x, y，使，使MP xMA yMB或對空間任或對空間任 uuu ruuuu ruuu ruu

14、u r 一點一點O，有，有OP OM xMA yMB該式叫做平面該式叫做平面MAB的向量表達式的向量表達式 6 6共面向量定理：共面向量定理： 7 7 空間向量基本定理：空間向量基本定理： r r r rrrrr 如果三個向量如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組，存在一個唯一的有序實數(shù)組x, y,z，使，使p xa yb zc uuu ruuu ruuu ruuu r 推論推論: :設設 O,A,B,CO,A,B,C 是不共面的四點是不共面的四點, ,則對空間任一點則對空間任一點P P, ,都存在唯一的三個有序實數(shù)都存在唯一的三

15、個有序實數(shù)x, y,z, ,使使OP xOA yOB zOC 8 8 空間向量的夾角及其表示：空間向量的夾角及其表示： uuu r r uuu rr r r r r r r 已知兩非零向量已知兩非零向量a,b，在空間任取一點，在空間任取一點O，作，作OA a,OB b，則，則AOB叫做向量叫做向量a與與b的夾角，記作的夾角，記作 a,b ； r rr r r r r r r r r r 且規(guī)定且規(guī)定0 a,b ，顯然有，顯然有 a,b b,a ；若；若 a,b ，則稱，則稱a與與b互相垂直，記作：互相垂直，記作：a b. . 2 uuu r r uu u r rr 9 9向量的模：設向量的模：

16、設OA a，則有向線段，則有向線段OA的長度叫做向量的長度叫做向量a的長度或模，記作：的長度或模，記作：|a |. . uuu r rr r r r r r r 1010向量的數(shù)量積：向量的數(shù)量積： ab |a|b|cosa,b 已知向量 已知向量AB a和軸和軸l，e是是l上與上與l同方向的單位向量，作點同方向的單位向量，作點A在在 uuuu ruuu r r l上的射影 上的射影 A ，作點，作點B在在l上的射影上的射影 B ，則，則 AB 叫做向量叫做向量AB在軸在軸l上或在上或在e上的正射影上的正射影. . uuuu ruuu ruuuu r r rr r 可以證明可以證明 AB 的長

17、度的長度| AB| AB |cos a,e |ae | r r r r r 2 r rr rrr r 1111空間向量數(shù)量積的性質：空間向量數(shù)量積的性質：（1 1）ae |a |cos a,e （2 2）a b ab 0（3 3）|a | aa 1212空間向量數(shù)量積運算律：空間向量數(shù)量積運算律： r r rr rr r r r rr r rr r r r （1 1）(a)b (ab) a(b)（2 2）ab b a（交換律）（交換律）（3 3）a(b c) ab ac（分配律）（分配律） 空間向量的坐標運算空間向量的坐標運算 （1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x 軸是橫軸（對應為橫坐標）

18、， y 軸是縱軸（對應為縱軸）， z 軸是豎軸（對 應為豎坐標）. 令a=(a1,a2,a3),b (b 1 ,b 2 ,b 3 )，則 a b (a 1b1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 )a (a1,a 2 ,a 3)( R)ab a1b1a 2 b 2 a 3b3 ab a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R) a1a 2 a 3 a b a1b1a 2 b 2 a 3b3 0 b1b 2 b 3 a aa a 1 2a 2 2a 3 2 (用到常用的向量模與向量之間的轉化：a 2 aa a aa) a1b1a2b2a3b3 ab cos a,b | a |b |22222 a1a2a3 b12b2b3 空間兩點的距離公式：d (x2 x1)2(y2 y1)2(z 2 z1)2. （2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作a ，如果a 那么向量a叫做 平面的法向量. （3）用向量的常用方法：利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n 是平面的法向量，AB 是平