1、山東省青島市2020屆高三3月教學質量檢測（一模）數學（理）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，集合，由此能求出【詳解】集合， 集合， 故選：C【點睛】本題考查并集的求法，考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題2.已知為虛數單位，實數，b滿足(2i)(abi)=(8i)i，則的值為（）A. 6B. -6C. 5D. -5【答案】A【解析】【分析】直接利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數相等的條件求解即可得答案【詳解】，解得的值為6故選：A【點睛】本題考查了復數代數形式

2、的乘除運算，考查了復數相等的條件，是基礎題3.已知x，y滿足約束條件，則z=yx-6的最小值是（）A. -3B. C. 0D. 3【答案】A【解析】【分析】作出不等式對應的平面區(qū)域，利用的幾何意義進行求解即可【詳解】作出，滿足約束條件對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：則的幾何意義為區(qū)域內的點到定點的直線的斜率，由圖象可知當直線過A點時對應的斜率最小，由x=3x-y+6=0，解得，此時的斜率，故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃應用，利用數形結合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法，要熟練掌握目標函數的幾何意義4.已知函數圖象的相鄰兩對稱中心的距離為，且對任意xR都有f(4+x)=f(4-x)，則函數y

3、=f(x)的一個單調遞增區(qū)間可以為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據條件求出函數的周期和，利用條件判斷函數的對稱性，然后結合函數單調性的性質進行求解即可【詳解】函數圖象的相鄰兩對稱中心的距離為，即T=，對任意都有f4+x=f4-x，函數關于x=4對稱，即24+=k+2，即，|0)焦點作傾斜角為的直線，若與拋物線交于A，兩點，且AB的中點到拋物線準線的距離為4，則的值為（）A. B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】設，由點差法得到y(tǒng)1-y2x1-x2y1+y2=2p，因為過拋物線C:y2=2px(p0)的焦點F且斜率為1的直線與拋物線相交于A，B兩點，所以，

4、方程為：y=x-P2，故，中點橫坐標為，再由線段的中點到拋物線準線的距離為4，能求出p【詳解】設Ax1,y1，則，-，得：，過拋物線的焦點且斜率為1的直線與拋物線相交于A，兩點，方程為：y=x-P2，為中點縱坐標， ，y2=x2-p2，中點橫坐標為，線段的中點到拋物線準線的距離為4，解得故選：C【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系及其應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化7.部分與整體以某種相似的方式呈現稱為分形謝爾賓斯基三角形是一種分形，由波蘭數學家謝爾賓斯基1915年提出具體操作是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線，將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后

5、，對其余3個小三角形重復上述過程得到如圖所示的圖案，若向該圖案隨機投一點，則該點落在黑色部分的概率是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先觀察圖象，再結合幾何概型中的面積型可得：，得解【詳解】由圖可知：黑色部分由9個小三角形組成，該圖案由16個小三角形組成，設“向該圖案隨機投一點，則該點落在黑色部分”為事件，由幾何概型中的面積型可得：，故選：B【點睛】本題考查了識圖能力及幾何概型中的面積型，熟記公式即可，屬于?？碱}型8.在中，CE=2EA，則（）A. B. C. D. DE=23CA+13CB【答案】A【解析】【分析】由平面向量的基本定理結合向量共線定理，即可得解.【詳解】

6、=23(CA-CB)-13CA=13CA-23CB，故選：A【點睛】本題考查了平面向量的基本定理，熟記基本定理即可，屬于常考題型9.已知雙曲線C：，O為坐標原點，過的右頂點且垂直于x軸的直線交C的漸近線于A，B，過的右焦點且垂直于x軸的直線交C的漸近線于M，若OAB與的面積比為，則雙曲線的漸近線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角形的面積比等于相似比的平方，可得，即可求出漸近線方程【詳解】由三角形的面積比等于相似比的平方，則，C漸近線方程為yx，故選：B【點睛】這個題目考查了雙曲線的幾何意義的應用，考查了三角形面積之比等于相似比這一轉化，題目比較基礎.10.設a

7、=0sinxdx，則展開式中的常數項為（）A. 560B. 1120C. 2240D. 4480【答案】B【解析】【分析】計算定積分求得的值，再利用二項展開式的通項公式，求出展開式中的常數項【詳解】設，則展開式中的通項公式為，令，求得，可得展開式中的常數項為，故選：B【點睛】本題主要考查定積分的運算，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題11.在我國古代數學名著九章算術中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵已知在塹堵中， ，則與平面所成角的大小為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利

8、用向量法能求出CA1與平面所成角的大小【詳解】在塹堵中，BC=22，以B為原點，為x軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，A1C=(-2,22,-2)，平面的法向量，設與平面所成角的大小為，則，CA1與平面所成角的大小為45故選：B【點睛】本題考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題12.已知函數，若方程有四個不相等的實根，則實數的取值范圍是（）A. 13,1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由方程的根的個數與函數圖象交點個數的關系得：方程有四個不相等的實根，等價于函數的圖象與直線

9、有四個交點，結合導數求函數圖象的切線方程可得：當直線與函數相切時，當直線與函數相切時，利用導數的幾何意義可得：k=1，再結合像圖知函數f(x)的圖象與直線有四個交點時，實數k的取值范圍是，得解【詳解】因為方程有四個不相等的實根，等價于函數的圖象與直線有四個交點，易得：當直線與函數f(x)=-x2-32x相切時,方程只有一個實根，即只有一個實根，故=0，即，k=12或(舍)；當直線與函數相切時，設切點坐標為,因為，所以；所以切線方程為，即；又切線方程為，所以，k=fx0=1-lnx0=1，由圖知函數的圖象與直線有四個交點時，實數的取值范圍是，故選：D【點睛】本題考查了方程的根的個數與函數圖象交點

10、個數的關系及利用導數求函數圖象的切線方程，屬中檔題二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若，則_【答案】.【解析】【分析】由題意利用同角三角函數的基本關系，二倍角公式，求得的值【詳解】，則 sin2-cos2sin2+cos2=tan2-1tan2+1=35，故答案為：【點睛】本題主要考查同角三角函數的基本關系，二倍角公式的應用，屬于基礎題14.已知，且，則的最小值為_【答案】4.【解析】【分析】直接利用代數式的恒等變換和利用均值不等式的應用求出結果【詳解】，2a+8b22a+3b=222=4，當且僅當，時取等號，故答案為：4.【點睛】本題考查的知識要點：代數式的恒等變換，均值不等式

11、的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型15.在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，面，且，若在這個四棱錐內有一個球，則此球的最大表面積為_【答案】【解析】【分析】首先根據題意分析出當球和四棱錐內切時球的表面積最大，之后根據面積分割得到13S四邊形ABCDPD=13S表面積R，從而得到球的半徑.【詳解】在這個四棱錐內有一個球，則此球的最大表面積時，對應的球應該是內切球，此時球的半徑最大，設內切球的球心為O半徑為R，連接球心和ABCD四個點，構成五個小棱錐，根據體積分割得到，五個小棱錐的體積之和即為大棱錐的體積，根據AB垂直于AD，PD垂直于AB可得到AB垂直于面PDA，故得到AB垂

12、直于PA， 同理得到BC垂直于PC，表面積為：， 此時球的表面積為：43-522= .故答案為：.【點睛】與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.球和錐體的內切問題，通常是應用體積分割來求解.16.在中，B=60，b=3，若c-2am恒成立，則的最小值為_【答案】3.【解析】【分析】由正弦定理可得，可表示a=2sinA，c=2sinC=2sin120-A，然后根

13、據和差角公式及余弦函數的性質可求c-2a的范圍，進而可求【詳解】B=60，b=3，由正弦定理可得，asinA=csinC=332=2，a=2sinA， 3cosA-3sinA=23cosA+60，c-2am恒成立，則m3，即的最小值為3，故答案為：3【點睛】本題主要考查了正弦定理，和差角公式及余弦函數的性質的簡單應用，屬于中檔試題三、解答題（本大題共7小題，共82.0分）17.已知數列an的前項和為Sn，滿足：a1=1，Sn+1-1=Sn+an，數列bn為等比數列，滿足b1=4b3，b2=14b1，nN* （）求數列an，bn的通項公式；（）若數列1anan+1的前n項和為Wn，數列bn的前項

14、和為Tn，試比較Wn與1Tn的大小【答案】（）an=n；bn=(12)n.（） Wn1Tn.【解析】【分析】（）由題意可得數列an為首項和公差均為1的等差數列，即可得到所求an的通項公式；再由等比數列的通項公式，解方程可得首項和公比，即可得到bn的通項公式；（）由1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1，運用裂項相消求和可得Wn，由等比數列的求和公式可得Tn，由不等式的性質即可得到大小關系【詳解】（）a1=1，Sn+1-1=Sn+an，可得an+1=an+1，即數列an為首項和公差均為1的等差數列，可得an=n；數列bn為等比數列，滿足b1=4b3，b2=1414；q=-12不成立，舍去

15、，則bn=(12)n；（）1anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1，Wn=1-12+12-13+1n-1n+1 =1-1n+1=nn+11，即有Wnb0)的離心率為12，B分別為橢圓的左、右頂點，為橢圓的右焦點，過的直線與橢圓交于不同的兩點，當直線垂直于軸時，四邊形APBQ的面積為6（）求橢圓的方程；（）若直線的斜率為k(k0)，線段的垂直平分線與軸交于點M，求證：|MF|PQ|為定值【答案】（）x24+y23=1；（）見解析.【解析】【分析】（）根據S四邊形APBQ=12|AB|PQ|=2b2=6，可得b2=3，再根據離心率求出，即可求出橢圓方程，（）由題意可知F(1,0)，直線的方程

16、為y=k（x-1），根據韋達定理和弦長公式求出PQ，再求出直線的方程可得M的坐標，即可求出MF，問題得以證明【詳解】（）由：，令x=c可得y=b2a，則|PQ|=2b2a，則 ，可得b2=3e=ca=12，a=2c，a2=b2+c2，a2=4橢圓的方程為x24+y23=1證明：（）由題意可知F(1,0)，直線的方程為y=k（x-1），由x24+y23=1y=k(x-1)，可得4k2+3x2-8k2x+4k2-12=0設Px1,y1，Qx2,y2，y1+y2=kx1+x2-2k=-6k4k2+3，設的中點為N，則N4k24k2+3,-3k4k2+3，則的過程為y+3k4k2+3=-1kx-4k2

17、4k2+3，令y=0，可得Mk24k2+3,0，|PQ|=1+k2x1+x22-4x1x2= ，|MF|PQ|=14為定值【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查根的判斷式、韋達定理、弦長公式，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題20.某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取100件產品作為樣本稱出它們的質量（單位：毫克），質量值落在的產品為合格品，否則為不合格品如表是甲流水線樣本頻數分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖產品質量/毫克頻數3919352275（）由以上統(tǒng)計數據完成下面22列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為產品的

18、包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關？甲流水線乙流水線總計合格品不合格品總計附表：P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式： K2=n(ad-bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，n=a+b+c+d）（）由乙流水線的頻率分布直方圖可以認為乙流水線生產的產品質量指標服從正態(tài)分布N（200，12.22），求質量指標落在上的概率；參考公式：P(-+)=0.6826，P(-2z+2)=0.9544（）若以頻率作為概率，從甲流水線任取2件產品，求至少有一件產品是

19、合格品的概率【答案】() 在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下不能認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關；() 0.8185；(3) 0.9936【解析】【分析】（）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個數為100(1-0.04)=96，由此可得22列聯(lián)表，根據列聯(lián)表求得K2的觀測值，結合臨界值表可得；（）先根據題中參考公式求出P(-z+2)，再由 即可求出結果.（）根據對立事件概率公式計算【詳解】（）由乙流水線樣本的頻率分布直方圖可知，合格品的個數為100（1-0.04）=96所以，22列聯(lián)表是：甲流水線乙流水線總計 合格品92 96188不合格品8 4 12總計10010

20、0200所以K2=200(924-968)2100100188121.4182.072，所以在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下不能認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關（）乙流水線的產品生產質量指標服從正態(tài)分布N200,12.22，所以P(-z+)=0.6826，P(-2z+2)=0.9544，所以P(-+2)= =12P(-z+)+ 12P(+z+2)=12(0.6826+0.9544)=0.8185，即：P(200-12.2z200+12.22)= P(187.8z224.4)=0.8185，所以質量指標落在概率是0.8185（）若以頻率作概率，則從甲流水線任取一件產品是不合格品的概率P=0.08，設“任取兩件產品，至少有一件合格品”為事件，則A-為“任取兩件產品，兩件均為不合格品”，且P(A-)=p2=0.082=0.0064，所以，所以任取兩件產品至少有一件為合格品的概率為0.9936【點睛】本題考查了獨立性檢驗，以及正態(tài)分布問題，熟記獨立性檢驗的思想以及正態(tài)分布的特征即可，屬于中檔題21.已知函數f(x)=x-x22+ax(lnx-1)+a-12（）當a0時，證明：函數f(x)只有一個零點；（）若函數f(x)的極大值等于0，求實數a的取值范圍【答案】()見解析；（）a1.【解析】【分析