1、專(zhuān)題 解析幾何：第二講 圓的方程活動(dòng)一：基礎(chǔ)檢測(cè)1方程x2y24mx2y5m0表示圓時(shí)，m的取值范圍為_(kāi)2圓心在y軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)(1,2)的圓的方程是_3點(diǎn)P(2，1)為圓(x1)2y225的弦AB的中點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的方程是_4已知點(diǎn)(0,0)在圓：x2y2axay2a2a10外，則a的取值范圍是_5過(guò)圓x2y24外一點(diǎn)P(4,2)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A、B，則APB的外接圓方程為_(kāi)6、（2020年江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1,0）為圓心且與直線(xiàn) 相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)。7、（2020年江蘇高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為 8、（2020

2、屆南京、鹽城市高三二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知：，為與x負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)A作的弦AB，記線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M.則直線(xiàn)AB的斜率為 。活動(dòng)二：探究點(diǎn)一求圓的方程例1已知圓C與直線(xiàn)xy0及xy40都相切，圓心在直線(xiàn)xy0上，則圓C的方程為_(kāi)變式1根據(jù)下列條件，求圓的方程(1)與圓O：x2y24相外切于點(diǎn)P(1，)，且半徑為4的圓的方程；(2)圓心在原點(diǎn)且圓周被直線(xiàn)3x4y150分成12兩部分的圓的方程變式2（南京市2020屆高三第三次模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x1)2y24，P為圓C上一點(diǎn)若存在一個(gè)定圓M，過(guò)P作圓M的兩條切線(xiàn)PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，使

3、得APB恒為60，求圓M的方程。探究點(diǎn)二圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用例2已知圓x2y2x6ym0和直線(xiàn)x2y30交于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑變式遷移2（2020屆江蘇蘇州高三9月調(diào)研）已知圓與直線(xiàn)相交于兩點(diǎn)則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)求此時(shí)實(shí)數(shù)的值。探究點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題例3已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值變式遷移3如果實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程(x3)2(y3)26，求的最大值與最小值活動(dòng)三：自主檢測(cè)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2020重慶改編)在圓x2y22x6y0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最

4、短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓，則a的取值范圍是_3圓x2y22x4y10關(guān)于直線(xiàn)2axby20 (a、bR)對(duì)稱(chēng)，則ab的取值范圍是_4(2020蘇州模擬)已知點(diǎn)P(2,1)在圓C：x2y2ax2yb0上，點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)xy10的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在圓C上，則實(shí)數(shù)a，b的值分別為_(kāi)和_5已知兩點(diǎn)A(2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2y22x0上任意一點(diǎn)，則ABC面積的最小值為_(kāi)6(2020天津)已知圓C的圓心是直線(xiàn)xy10與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線(xiàn)xy30相切，則圓C的方程為_(kāi)7（2020江蘇百校聯(lián)考一）已知圓，點(diǎn)在直線(xiàn)上，若過(guò)點(diǎn)存在直線(xiàn)與圓

5、交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是 8（無(wú)錫市2020屆高三上學(xué)期期末）已知點(diǎn)位圓外一點(diǎn)，圓上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 二、解答題(共42分)9(14分) 已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)P(2,4)、Q(3，1)兩點(diǎn)，并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6.，求圓的方程10(14分)(2020南京模擬)已知點(diǎn)(x，y)在圓(x2)2(y3)21上(1)求xy的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值11(2020蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知圓C通過(guò)不同的三點(diǎn)P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，且CP的斜率為1.(1)試求圓C的方程；(2)過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，

6、且l1交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，l2交圓C于G，H兩點(diǎn)，求四邊形EGFH面積的最大值12、（2020年江蘇高考）本小題滿(mǎn)分14分。如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線(xiàn),設(shè)圓的半徑為，圓心在上。（1）若圓心也在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍。xyAlO13、（連云港、徐州、淮安、宿遷四市2020屆高三第一次調(diào)研考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若,分別為線(xiàn)段,上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足(1) 若，求直線(xiàn)的方程；(2)證明：的外接圓恒過(guò)定點(diǎn)（異于原點(diǎn)）OABDCxy（第17題）第二講 圓的方程答案基礎(chǔ)檢測(cè)1m12.x2(y2)213.xy304(，1)(，)5

7、(x2)2(y1)256、7、8、2課堂活動(dòng)區(qū)例1審題視點(diǎn) 設(shè)圓心坐標(biāo)，根據(jù)相切的條件列出等式求圓心及半徑；也可以利用圓的幾何特征求圓心及半徑解析法一設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，a)，則，即|a|a2|，解得a1，故圓心坐標(biāo)為(1，1)，半徑r，故圓的方程為(x1)2(y1)22.法二題目給出的圓的兩條切線(xiàn)是平行線(xiàn)，故圓的直徑就是這兩條平行線(xiàn)之間的距離d2；圓心是直線(xiàn)xy0與這兩條平行線(xiàn)交點(diǎn)的中點(diǎn)，直線(xiàn)xy0與直線(xiàn)xy0的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,0)、與直線(xiàn)xy40的交點(diǎn)坐標(biāo)是(2，2)，故所求的圓的圓心坐標(biāo)是(1，1)，所求的圓的方程是(x1)2(y1)22.答案(x1)2(y1)22變式1解(1)設(shè)所求圓的

8、圓心Q的坐標(biāo)為(a，b)，圓Q的方程為(xa)2(yb)242，又OQ6，聯(lián)立方程，解得a3，b3，所以所求圓的方程為(x3)2(y3)216.(2)如圖，因?yàn)閳A周被直線(xiàn)3x4y150分成12兩部分，所以AOB120，而圓心(0,0)到直線(xiàn)3x4y150的距離d3，在AOB中，可求得OA6.所以所求圓的方程為x2y236.變式2、(x1)2y21例2解題導(dǎo)引(1)在解決與圓有關(guān)的問(wèn)題中，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)捷明了，簡(jiǎn)化思路，簡(jiǎn)便運(yùn)算(2)本題利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值解方法一將x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.設(shè)P(x1，y1)，Q

9、(x2，y2)，則y1、y2滿(mǎn)足條件：y1y24，y1y2.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.96(y1y2)5y1y20，96450，m3，此時(shí)136340，圓心坐標(biāo)為，半徑r.方法二如圖所示，設(shè)弦PQ中點(diǎn)為M，O1MPQ，kO1M2.又圓心坐標(biāo)為，O1M的方程為y32，即y2x4.由方程組解得M的坐標(biāo)為(1,2)則以PQ為直徑的圓可設(shè)為(x1)2(y2)2r2.OPOQ，點(diǎn)O在以PQ為直徑的圓上(01)2(02)2r2，即r25，MQ2r2.在RtO1MQ中，O1M2MQ2O1Q2.2(32)25.m3.半徑為，圓心為.變式遷移

10、2例3解題導(dǎo)引與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，常見(jiàn)的有以下幾種類(lèi)型：(1)形如形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題；(2)形如taxby形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)截距的最值問(wèn)題；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題解(1)yx可看作是直線(xiàn)yxb在y軸上的截距，當(dāng)直線(xiàn)yxb與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b2.所以yx的最大值為2，最小值為2.(2)x2y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小

11、值是(2)274.變式遷移3解(1)設(shè)P(x，y)，則P點(diǎn)的軌跡就是已知圓C：(x3)2(y3)26.而的幾何意義就是直線(xiàn)OP的斜率，設(shè)k，則直線(xiàn)OP的方程為ykx.當(dāng)直線(xiàn)OP與圓相切時(shí)，斜率取最值因?yàn)辄c(diǎn)C到直線(xiàn)ykx的距離d，所以當(dāng)，即k32時(shí)，直線(xiàn)OP與圓相切即的最大值為32，最小值為32.課后練習(xí)區(qū)110解析圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x1)2(y3)210，由圓的性質(zhì)可知最長(zhǎng)弦|AC|2，最短弦BD恰以E(0,1)為中心，設(shè)點(diǎn)F為其圓心，坐標(biāo)為(1,3)故EF，BD22，S四邊形ABCDACBD10.2(2，)3.403解析圓的方程可化為2(y1)21b，由題知圓心在直線(xiàn)xy10上，110

12、，a0，又點(diǎn)(2,1)在圓上，所以b3.53解析lAB：xy20，圓心(1,0)到lAB的距離d，AB邊上的高的最小值為1.又AB2.Smin23.6(x1)2y22解析直線(xiàn)xy10與x軸的交點(diǎn)為(1,0)，即圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)又圓C與直線(xiàn)xy30相切，圓C的半徑為r.圓C的方程為(x1)2y22.789解設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，將P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得(8分)又令y0，得x2DxF0，由|x1x2|6有D24F36.由解得D2，E4，F(xiàn)8或D6，E8，F(xiàn)0.故所求圓的方程為x2y22x4y80或x2y26x8y0.(14分)10解(1)設(shè)txy，則yxt，t可視為直線(xiàn)yx

13、t的縱截距，所以xy的最大值和最小值就是直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)縱截距的最大值和最小值，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)的縱截距由直線(xiàn)與圓相切，得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即1，解得t1或t1，所以xy的最大值為1，最小值為1.(5分)(2)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，的最大值和最小值就是過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該圓有公共點(diǎn)時(shí)斜率的最大值和最小值，即直線(xiàn)與圓相切時(shí)的斜率設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)方程為ykx，由直線(xiàn)與圓相切，得圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即1，解得k2或k2，所以的最大值為2，最小值為2.(10分)(3)，即，其最值可視為點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(1,2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為圓心(2，3)到定點(diǎn)(1,2)的距離與半

14、徑的和或差又因?yàn)閳A心到定點(diǎn)(1,2)的距離為，所以的最大值為1，最小值為1.(14分)11解(1)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為，且PC的斜率為1，所以1.因?yàn)閳AC通過(guò)不同的三點(diǎn)P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)，所以聯(lián)立，解得所以圓C的方程為x2y2x5y60即22.(2)圓心C的坐標(biāo)為，圓心到l1，l2的距離設(shè)為d1，d2，則ddOC2，又2d，2d，兩式相加，得EF2GH2742EFGH.所以SEFGH，即(S四邊形EGFH)max.12、（1）解：由得圓心C為（3,2），圓的半徑為圓的方程為：顯然切線(xiàn)的斜率一定存在，設(shè)所求圓C的切線(xiàn)方程為，即或者所求圓C的切線(xiàn)方程為：或者即或者（2）解：圓的圓心在在直線(xiàn)上，所以，設(shè)