1、 函數(shù)的切線問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）與切線相關(guān)的定義1、切線的定義：在曲線的某點(diǎn)A附近取點(diǎn)B，并使B沿曲線不斷接近A。這樣直線AB的極限位置就是曲線在點(diǎn)A的切線。（1）此為切線的確切定義，一方面在圖像上可定性的理解為直線剛好與曲線相碰，另一方面也可理解為一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，讓切點(diǎn)A附近的點(diǎn)向不斷接近，當(dāng)與距離非常小時(shí)，觀察直線是否穩(wěn)定在一個(gè)位置上（2）判斷一條直線是否為曲線的切線，不再能用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)判定。例如函數(shù)在處的切線，與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)。（3）在定義中，點(diǎn)不斷接近包含兩個(gè)方向，點(diǎn)右邊的點(diǎn)向左接近，左邊的點(diǎn)向右接近，只有無(wú)論從哪個(gè)方向接近，直線的極限位置唯一時(shí)，這個(gè)極限位置才能夠成為在點(diǎn)處

2、的切線。對(duì)于一個(gè)函數(shù)，并不能保證在每一個(gè)點(diǎn)處均有切線。例如在處，通過(guò)觀察圖像可知，當(dāng)左邊的點(diǎn)向其無(wú)限接近時(shí)，割線的極限位置為，而當(dāng)右邊的點(diǎn)向其無(wú)限接近時(shí)，割線的極限位置為，兩個(gè)不同的方向極限位置不相同，故在處不含切線（4）由于點(diǎn)沿函數(shù)曲線不斷向接近，所以若在處有切線，那么必須在點(diǎn)及其附近有定義（包括左邊與右邊）2、切線與導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)上點(diǎn)在附近有定義且附近的點(diǎn)，則割線斜率為：當(dāng)無(wú)限接近時(shí)，即接近于零，直線到達(dá)極限位置時(shí)的斜率表示為：,即切線斜率，由導(dǎo)數(shù)定義可知：。故為在處切線的斜率。這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。3、從導(dǎo)數(shù)的幾何意義中可通過(guò)數(shù)形結(jié)合解釋幾類(lèi)不含導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)：（1）函數(shù)的邊界點(diǎn)：此類(lèi)點(diǎn)左側(cè)（或右

3、側(cè)）的點(diǎn)不在定義域中，從而某一側(cè)不含割線，也就無(wú)從談起極限位置。故切線不存在，導(dǎo)數(shù)不存在；與此類(lèi)似還有分段函數(shù)如果不連續(xù)，則斷開(kāi)處的邊界值也不存在導(dǎo)數(shù)（2）已知點(diǎn)與左右附近點(diǎn)的割線極限位置不相同，則不存在切線，故不存在導(dǎo)數(shù)。例如前面例子在處不存在導(dǎo)數(shù)。此類(lèi)情況多出現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間變化的分界處，判斷時(shí)只需選點(diǎn)向已知點(diǎn)左右靠近，觀察極限位置是否相同即可（3）若在已知點(diǎn)處存在切線，但切線垂直軸，則其斜率不存在，在該點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)也不存在。例如：在處不可導(dǎo)綜上所述：（1）-（3）所談的點(diǎn)均不存在導(dǎo)數(shù)，而（1）（2）所談的點(diǎn)不存在切線，（3）中的點(diǎn)存在切線，但沒(méi)有導(dǎo)數(shù)。由此可見(jiàn)：某點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)則必有切線，有切線則未必

4、有導(dǎo)數(shù) 。（二）方法與技巧：1、求切線方程的方法：一點(diǎn)一方向可確定一條直線，在求切線時(shí)可考慮先求出切線的斜率（切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）與切點(diǎn)，在利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程2、若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可求，則求切線方程的核心要素為切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榭伞耙稽c(diǎn)兩代”，代入到原函數(shù)，即可得到切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入到導(dǎo)函數(shù)中可得到切線的斜率,從而一點(diǎn)一斜率，切線即可求。所以在解切線問(wèn)題時(shí)一定要盯住切點(diǎn)橫坐標(biāo)，千方百計(jì)的把它求解出來(lái)。3、求切線的問(wèn)題主要分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是切點(diǎn)已知，那么只需將切點(diǎn)橫坐標(biāo)代入到原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中求出切點(diǎn)與斜率即可，另一類(lèi)是切點(diǎn)未知，那么先要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再考慮利用條件解出核心要素，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成第一類(lèi)問(wèn)題4、在解

5、析幾何中也學(xué)習(xí)了求切線的方法，即先設(shè)出切線方程，再與二次方程聯(lián)立利用求出參數(shù)值進(jìn)而解出切線方程。解析幾何中的曲線與函數(shù)同在坐標(biāo)系下，所以兩個(gè)方法可以互通。若某函數(shù)的圖像為圓錐曲線，二次曲線的一部分，則在求切線時(shí)可用解析的方法求解，例如：（圖像為圓的一部分）在處的切線方程，則可考慮利用圓的切線的求法進(jìn)行解決。若圓錐曲線可用函數(shù)解析式表示，像焦點(diǎn)在軸的拋物線，可看作關(guān)于的函數(shù)，則在求切線時(shí)可利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行快速求解（此方法也為解析幾何中處理焦點(diǎn)在軸的拋物線切線問(wèn)題的重要方法）5、在處理切線問(wèn)題時(shí)要注意審清所給已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)?！霸谀滁c(diǎn)處的切線”意味著該點(diǎn)即為切點(diǎn)，而“過(guò)某點(diǎn)的切線”則意味著該點(diǎn)有可能是

6、切點(diǎn)，有可能不是切點(diǎn)。如果該點(diǎn)恰好在曲線上那就需要進(jìn)行分類(lèi)討論了。二、典型例題例1：求函數(shù)在處的切線方程思路：本題切點(diǎn)已知，代入原函數(shù)求得函數(shù)值，代入導(dǎo)函數(shù)中求得切線斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求出切線方程解： 切點(diǎn)坐標(biāo)為 切線方程為：小煉有話說(shuō)：切點(diǎn)已知時(shí)求切線方程是切線問(wèn)題中較簡(jiǎn)單的一類(lèi)問(wèn)題，體會(huì)切點(diǎn)分別代入到函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)中所起到的作用，體會(huì)切點(diǎn)橫坐標(biāo)在切線問(wèn)題中的關(guān)鍵作用例2：已知函數(shù)，則：（1）在曲線上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線平行（2）在曲線上是否存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處的切線與直線垂直解： （1）思路：切點(diǎn)未知，考慮設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，再利用平行條件求出，進(jìn)而求出切線方程設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 由切線與

7、平行可得： 切線方程為：（2）思路：與（1）類(lèi)似，切點(diǎn)未知，考慮設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，有垂直關(guān)系可得切線斜率與已知直線斜率互為負(fù)倒數(shù)，列出方程求出，進(jìn)而求出切線方程設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo) ，直線的斜率為 而不在定義域中，舍去不存在一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的切線與直線垂直小煉有話說(shuō)：（1）求切線的關(guān)鍵要素為切點(diǎn)，進(jìn)而若切點(diǎn)已知便直接使用，切線未知?jiǎng)t需先設(shè)再求。兩直線平行與垂直關(guān)系與直線的斜率密切相關(guān)，進(jìn)而成為解出切點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)鍵條件（2）在考慮函數(shù)問(wèn)題時(shí)首先要找到函數(shù)的定義域。在解出自變量的值或范圍時(shí)也要驗(yàn)證其是否在定義域內(nèi)例3：函數(shù)上一點(diǎn)處的切線方程為，求的值思路：本題中求的值，考慮尋找兩個(gè)等量條件進(jìn)行求解，在直線上，即

8、，得到的一個(gè)等量關(guān)系，在從切線斜率中得到的導(dǎo)數(shù)值，進(jìn)而得到的另一個(gè)等量關(guān)系，從而求出解：在上，又因?yàn)樘幍那芯€斜率為 小煉有話說(shuō)：（1）本題中切線體現(xiàn)了兩個(gè)作用：切點(diǎn)在切線上，進(jìn)而可間接求出函數(shù)值；切線的斜率即為切點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值（2）一般來(lái)說(shuō)，在求未知量的值題目中，未知量的個(gè)數(shù)與所用條件的個(gè)數(shù)相等。在本題中確定兩個(gè)未知量，從而想到尋找兩個(gè)條件來(lái)解決問(wèn)題。例4：曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）A. B. C. D. 思路： 由圖像可得三角形的面積可用切線的橫縱截距計(jì)算，進(jìn)而先利用求出切線方程 所以切線方程為：即，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 答案：D小煉有話說(shuō)：在平面直角坐標(biāo)系中，我們研究的問(wèn)題

9、不僅有函數(shù)，還有解析幾何。所以在求面積等問(wèn)題時(shí)也會(huì)用到解析幾何的一些理念與方法。例如求三角形面積要尋底找高，而選擇底和高以計(jì)算簡(jiǎn)便為原則，優(yōu)先使用點(diǎn)的坐標(biāo)表示。在本題中選擇橫縱截距來(lái)刻畫(huà)三角形的兩條直角邊有助于簡(jiǎn)化計(jì)算。例5：一點(diǎn)在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)處切線的傾斜角為，則角的取值范圍是( ) A. B. C. D. 思路：傾斜角的正切值即為切線的斜率，進(jìn)而與導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)。，對(duì)于曲線上任意一點(diǎn)，斜率的范圍即為導(dǎo)函數(shù)的值域：，所以傾斜角的范圍是答案：B小煉有話說(shuō)：（1）對(duì)于切線而言，其傾斜角，斜率，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系緊密：傾斜角的正切值為斜率，斜率即為切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。（2）斜率范圍到傾斜角范圍的轉(zhuǎn)化要注意

10、一下兩點(diǎn)： 斜率化傾斜角時(shí)盡量用圖像進(jìn)行輔助，觀察斜率變化時(shí)，傾斜角的變化程度。 直線傾斜角的范圍為例6：求過(guò)點(diǎn)，且與曲線相切的直線方程思路：滿足，但題目并沒(méi)有說(shuō)明是否為切點(diǎn)，所以要分是否為切點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論。當(dāng)是切點(diǎn)時(shí)，易于求出切線方程，當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，切點(diǎn)未知，從而先設(shè)再求，設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為，三個(gè)未知量需用三個(gè)條件求解： ，解：（1）當(dāng)為切點(diǎn)時(shí) 切線方程為：（2）當(dāng)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為，消去可得：而 方程等價(jià)于：解得：（舍）， 切線方程為綜上所述：切線方程為或小煉有話說(shuō)：（1）由于在導(dǎo)數(shù)中利用極限的思想對(duì)切線進(jìn)行了嚴(yán)格定義，即割線的極限位置是切線，從而不能局限的認(rèn)為切線與曲線的公共

11、點(diǎn)一定就是切點(diǎn)，存在一條直線與曲線相切于一點(diǎn)，并與曲線的另一部分相交于一點(diǎn)的情況，本題便是一個(gè)典型的例子（2）在已知一點(diǎn)求切線方程時(shí)，要注意切線斜率不僅可用切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值來(lái)表示，也可以用已知點(diǎn)與切點(diǎn)來(lái)進(jìn)行表示，進(jìn)而增加可以使用的條件。例7：設(shè)函數(shù)，若曲線的斜率最小的切線與直線平行，求的值思路：切線斜率最小值即為導(dǎo)函數(shù)的最小值，已知直線的斜率為，進(jìn)而可得導(dǎo)函數(shù)的最小值為，便可求出的值解： 直線的斜率為，依題意可得： 例8：若存在過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線與曲線和都相切,則等于() A.或 B. 或 C. 或 D. 或思路：本題兩條曲線上的切點(diǎn)均不知道，且曲線含有參數(shù)，所以考慮先從常系數(shù)的曲線入手求出切線

12、方程，再考慮在利用切線與曲線求出的值。設(shè)過(guò)的直線與曲線切于點(diǎn) ,切線方程為，即，因?yàn)樵谇芯€上，所以解得：或，即切點(diǎn)坐標(biāo)為或.當(dāng)切點(diǎn)時(shí)，由與相切可得，同理，切點(diǎn)為解得答案：A小煉有話說(shuō)：（1）涉及到多個(gè)函數(shù)公切線的問(wèn)題時(shí)，這條切線是鏈接多個(gè)函數(shù)的橋梁。所以可以考慮先從常系數(shù)的函數(shù)入手，將切線求出來(lái)，再考慮切線與其他函數(shù)的關(guān)系（2）在利用切線與求的過(guò)程中，由于曲線為拋物線，所以并沒(méi)有利用導(dǎo)數(shù)的手段處理，而是使用解析幾何的方法，切線即聯(lián)立方程后的來(lái)求解，減少了運(yùn)算量。通過(guò)例7，例8可以體會(huì)到導(dǎo)數(shù)與解析幾何之間的聯(lián)系：一方面，求有關(guān)導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題時(shí)可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切線問(wèn)題時(shí)，若曲線

13、可寫(xiě)成函數(shù)的形式，那么也可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行處理，（尤其是拋物線）例9：（2014，北京）已知函數(shù)，若過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍思路：由于并不知道3條切線中是否存在以為切點(diǎn)的切線，所以考慮先設(shè)切點(diǎn)，切線斜率為，則滿足 ，所以切線方程為，即，代入化簡(jiǎn)可得：，所以若存在3條切線，則等價(jià)于方程有三個(gè)解，即與有三個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可解決解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，切線斜率為，則有： 切線方程為：因?yàn)榍芯€過(guò)，所以將代入直線方程可得： 所以問(wèn)題等價(jià)于方程，令即直線與有三個(gè)不同交點(diǎn)令解得 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 所以若有三個(gè)交點(diǎn)，則 所以當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切例10：已知曲線，點(diǎn)在拋物線上且

14、的橫坐標(biāo)為，過(guò)作斜率為的直線交于另一點(diǎn)，交軸于，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線與交于另一點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得直線與曲線相切？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由。思路：本題描述的過(guò)程較多，可以一步步的拆解分析。點(diǎn)，則可求出，從而與拋物線方程聯(lián)立可解得，以及點(diǎn)坐標(biāo)，從而可寫(xiě)出的方程，再與拋物線聯(lián)立得到點(diǎn)坐標(biāo)。如果從坐標(biāo)入手得到方程，再根據(jù)相切求，方法可以但計(jì)算量較大。此時(shí)可以著眼于為切點(diǎn)，考慮拋物線本身也可視為函數(shù)，從而可以為入手點(diǎn)先求出切線，再利用切線過(guò)代入點(diǎn)坐標(biāo)求，計(jì)算量會(huì)相對(duì)小些。解：由在拋物線上，且的橫坐標(biāo)為1可解得 設(shè)化簡(jiǎn)可得： 消去： 設(shè)直線即 聯(lián)立方程： 由可得： 切線的斜率 代入得： 小

15、煉有話說(shuō)：（1）如果曲線的方程可以視為一個(gè)函數(shù)（比如開(kāi)口向上或向下的拋物線，橢圓雙曲線的一部分），則處理切線問(wèn)題時(shí)可以考慮使用導(dǎo)數(shù)的方法，在計(jì)算量上有時(shí)要比聯(lián)立方程計(jì)算簡(jiǎn)便（2）本題在求點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，并沒(méi)有對(duì)方程進(jìn)行因式分解，而是利用韋達(dá)定理，已知的橫坐標(biāo)求出的橫坐標(biāo)。這種利用韋達(dá)定理求點(diǎn)坐標(biāo)的方法在解析幾何中常解決已知一交點(diǎn)求另一交點(diǎn)的問(wèn)題。三、近年好題精選：1、設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)2、已知直線與曲線切于點(diǎn)，則的值為_(kāi)3、若曲線與曲線存在公切線，則的最值情況為（ ）A最大值為 B最大值為 C最小值為 D最小值為4、（2015，新課標(biāo)II文），已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則_ 5、（2015，陜西理）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與曲線上點(diǎn)處的切線垂直，則的坐標(biāo)為_(kāi)6、（2014，廣東）曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)7、（2014，江西）若曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)8、已知函數(shù)，則過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)圖像相切的直線方程為_(kāi)9、已知函數(shù)，若函數(shù)的圖像在處的切線方程為，則_,_習(xí)題答案：1、答案：解析：由切線過(guò)可得：，所以，另一方面，且，所以，從而切線方程為：2、答案：解析：代入可得：，所以有，解得3、答案：B解析：設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線