1、直線與圓錐曲線的位置關系一【課標要求】1通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想；2掌握直線與圓錐曲線的位置關系判定及其相關問題二【命題走向】近幾年來直線與圓錐曲線的位置關系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關直線與圓錐曲線的位置關系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析這類問題，往往利用數(shù)形結合的思想和“設而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等。預測2020年高考：1會出現(xiàn)1道關于直線與圓錐曲線的位置關系的解答題；2與直線、圓錐曲線相結合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)三【要點精講】1點M(

2、x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關系2直線與圓錐曲線的位置關系直線與圓錐曲線的位置關系，從幾何角度可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異公共點直線與圓錐曲線的位置關系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因為方程組解的個數(shù)與交點的個數(shù)是一樣的直線與圓錐曲線的位置關系可分為：相交、相切、相離對于拋物線來說，平行于對稱軸的直線與拋物線相交于一點，但并不是相切；對于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但并不相切這三種位置關系的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與拋物線、雙曲線有一個公共點是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件3直線與

3、圓錐曲線相交的弦長公式設直線l:y=kx+n，圓錐曲線：F(x,y)=0，它們的交點為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。則弦長公式為：d=。焦點弦長：（點是圓錐曲線上的任意一點，是焦點，是到相應于焦點的準線的距離，是離心率）。四【典例解析】題型1：直線與橢圓的位置關系例1已知橢圓：，過左焦點F作傾斜角為的直線交橢圓于A、B兩點，求弦AB的長解析：a=3,b=1,c=2，則F（-2，0）。由題意知：與聯(lián)立消去y得：。設A（、B（，則是上面方程的二實根，由違達定理，又因為A、B、F都是直線上的點，所以|AB|=點評：也可讓學生利用

4、“焦半徑”公式計算。例2中心在原點，一個焦點為F1（0，）的橢圓截直線所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程解析：設橢圓的標準方程為，由F1（0，）得把直線方程代入橢圓方程整理得：。設弦的兩個端點為，則由根與系數(shù)的關系得：，又AB的中點橫坐標為，與方程聯(lián)立可解出故所求橢圓的方程為：。點評：根據(jù)題意，可設橢圓的標準方程，與直線方程聯(lián)立解方程組，利用韋達定理及中點坐標公式，求出中點的橫坐標，再由F1（0，）知，c=，最后解關于a、b的方程組即可例3（2020北京理）點在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點，且，則稱點為“點”，那么下列結論中正確的是 （ ） A直線上的所有點都是“點” B直線上僅有有限

5、個點是“點” C直線上的所有點都不是“點” D直線上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”【解析】本題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學生的學習潛力,考查學生分析問題和解決問題的能力. 屬于創(chuàng)新題型. 本題采作數(shù)形結合法易于求解，如圖，設，則，消去n,整理得關于x的方程 （1）恒成立，方程（1）恒有實數(shù)解，應選A.【答案】A例4已知橢圓C的焦點分別為F1（，0）和F2（2，0），長軸長為6，設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標。解析：設橢圓C的方程為，由題意a=3，c=2，于是b=1.橢圓C的方程為y21由得10x236x270，因為該二次方程的判別式0，所以直線與橢圓有

6、兩個不同的交點，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2，故線段AB的中點坐標為（）點評：本題主要考查橢圓的定義標準方程，直線與橢圓的位置關系及線段中點坐標公式。題型2：直線與雙曲線的位置關系例5（1）過點與雙曲線有且只有一個公共點的直線有幾條，分別求出它們的方程。（2）直線與雙曲線相交于A、B兩點，當為何值時，A、B在雙曲線的同一支上？當為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？解析：（1）解：若直線的斜率不存在時，則，此時僅有一個交點，滿足條件；若直線的斜率存在時，設直線的方程為則， ，當時，方程無解，不滿足條件；當時，方程有一解，滿足條件；當時，令，化簡得：無解，所以不滿足條件；所以

7、滿足條件的直線有兩條和。（2）把代入整理得：（1）當時，。由0得且時，方程組有兩解，直線與雙曲線有兩個交點。若A、B在雙曲線的同一支，須0 ，所以或。故當或時，A、B兩點在同一支上；當時，A、B兩點在雙曲線的兩支上。點評：與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條例5（1）求直線被雙曲線截得的弦長；（2）求過定點的直線被雙曲線截得的弦中點軌跡方程解析：由得得（*）設方程（*）的解為，則有 得，（2）方法一：若該直線的斜率不存在時與雙曲線無交點，則設直線的方程為，它被雙曲線截得的弦為對應的中點為， 由得（*）設方程（*）

8、的解為，則，且，得或。方法二：設弦的兩個端點坐標為，弦中點為，則得：， 即， 即（圖象的一部分）點評：（1）弦長公式；（2）有關中點弦問題的兩種處理方法。例7過雙曲線的一焦點的直線垂直于一漸近線，且與雙曲線的兩支相交，求該雙曲線離心率的范圍。解析：設雙曲線的方程為，漸近線，則過的直線方程為，則，代入得即得，即得到。點評：直線與圓錐曲線的位置關系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對應關系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系題型3：直線與拋物線的位置關系例8已知拋物線方程為，直線過拋物線的焦點F且被拋物線截得的弦長為3，求p的值。解析：設與拋物線交于由距離公式|AB|=由從而由于p0，解得點評：方程組

9、有兩組不同實數(shù)解或一組實數(shù)解則相交；有兩組相同實數(shù)解則相切；無實數(shù)解則相離。例92020上海春，4）直線y=x1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標是_.答案：（3，2）解法一：設直線y=x1與拋物線y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中點為P（x0，y0）。由題意得，（x1）2=4x，x26x+1=0。x0=3.y0=x01=2.P（3，2）。解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22y12=4x24x1，=4.y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。故中點為P（3，2）。點評：本題考查曲線的交點與方程的根的關系.同時應注意解法一中的縱坐標與解法二中的橫坐標的求法

10、。例10(2020山東卷文)設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為( ). A. B. C. D. 【解析】拋物線的焦點F坐標為,則直線的方程為,它與軸的交點為A,所以OAF的面積為,解得.所以拋物線方程為,故選B. 【答案】B【命題立意】:本題考查了拋物線的標準方程和焦點坐標以及直線的點斜式方程和三角形面積的計算.考查數(shù)形結合的數(shù)學思想,其中還隱含著分類討論的思想,因參數(shù)的符號不定而引發(fā)的拋物線開口方向的不定以及焦點位置的相應變化有兩種情況,這里加絕對值號可以做到合二為一.例11（2020全國卷文）已知直線與拋物線C:相交A、B兩

11、點，F(xiàn)為C的焦點。若,則k=(). . . .【解析】本題考查拋物線的第二定義，由直線方程知直線過定點即拋物線焦點（2，0），由及第二定義知聯(lián)立方程用根與系數(shù)關系可求k=【答案】D五【思維總結】1加強直線與圓錐曲線的位置關系問題的復習由于直線與圓錐曲線的位置關系一直為高考的熱點。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結合思想來設。而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決。這樣就加強了對數(shù)學各種能力的考查；2關于直線與圓錐曲線相交弦則結合韋達定理采用設而不求法。利用引入一個參數(shù)表示動點的坐標x、y，間接把它們聯(lián)系起來，減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關系，利用平面幾何知識會化難為易，化繁為簡，收到意想不到的解題效果；3直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的