1、天津市第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第四次月考試題 文第卷一選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的每小題 5 分，共40 分1已知集合 A = x | x - 2 | 1， B = x y = lg(2x - x2 )，則 (CA) B = （ ）A (1,2)B 1,2)C (2,3)D (0,12設(shè)實(shí)數(shù) x，y 滿足條件，則 y - 4 x 的最大值是A - 4B - 12C 4D73. 給出如下四個(gè)命題：“”是“”的必要丌充分條件;命題“若，則”的否命題為“若，則”；“，”的否定是“，”； 其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D34執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入

2、的 t0.01 ，則輸出的 n ()A.5B.6C.7D.85若 a = log2 3,b = log4 7,c = 0.74 ，則實(shí)數(shù) a, b, c 的大小關(guān)系為（）ABCDx2y 26已知雙曲線-a2b2= 1（ a 0 ， b 0 ）左支上點(diǎn) B 不右焦點(diǎn) F 關(guān)亍漸近線對稱，且BF = 4 ，則該雙曲線的方程為（ ）A x 2 - y= 1B x - y= 1C x - y= 1D x 2 - y 2 = 4424347將函數(shù) f ( x) = coswx wx 2 sin - 23 coswx +3 (w 0) 的圖象向左平秱 p 個(gè)單2 2 2 3w位，得到函數(shù) y = g (

3、x) 的圖像，若 y = g ( x) 在 0, p 上為增函數(shù)，則 的最大值為（）4A1B2C3D48如圖，在 DABC 中，AB = 6, AC = 4, cosBAC = 3 ，45 AD = DB ，點(diǎn) M 在 CD 的延長線上，點(diǎn) P 是邊 BC 上的一點(diǎn)，且 存在非零實(shí)數(shù) l ，使 MP = MA + l AB +AC ,則 AP 不 CD 的 AB AC 數(shù)量積為()5963A. -B. -C. -13D. -1855第卷二填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分9若 z = (a 2 - 1) + (a - 1)i 為純虛數(shù)，其中 a R ，則 a+ i等亍 1

4、 + ai10.函數(shù) f (x) = ax3 + x +1 在 x = 1 處的切線不直線 4x - y + 2 = 0 平行，則 a = 4 211 如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐 SABCD，該四棱錐的體積為3 ，則該半球的體積為_ 12過點(diǎn)作直線，不圓交亍兩點(diǎn), 若，則直 線的方程為 _.13已知，若，則的最小值為 2x - x2 ,14已知函數(shù) f ( x) = x 0有 4 個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 e|x+ 2| - a, x 0三解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15（本小題滿分 13 分） 如下圖是某校高三（1）班的一次數(shù)學(xué)知識競賽

5、成績的莖叴圖（圖中僅列出，的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖.（1）求分?jǐn)?shù)在的頻率及全班人數(shù)；（2）求頻率分布直方圖中的；（3）若要從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，求在抽取的試卷 中，至少有一份分?jǐn)?shù)在之間的概率.16（本小題滿分 13 分） 已知函數(shù)（1）求的最小正周期；(2)的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）在中，內(nèi)角所對的邊分別是若，且面積，求 的值在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為直角梯形，/，為的中點(diǎn)（）求證：PA/平面 BEF；（）若 PC 不 AB 所成角為，求的長；（）在（）的條件下，求二面角 F-BE-A 的余弦值已知正項(xiàng)等比數(shù)列，等差數(shù)列滿足，且是不的等比中項(xiàng)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）

6、設(shè)，求數(shù)列的前 項(xiàng)和x 2y 219如圖已知橢圓+a 2b 2= 1(a b 0), A(2,0) 是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦 BC 過橢圓的中心 O ，且 AC BC = 0, OC - OB= 2 BC - BA .（）求橢圓的方程；（）設(shè) P、Q 為橢圓上異亍 A, B 且丌重合的兩點(diǎn)，且 PCQ 的平分線總是垂直亍 x 軸， 是否存在實(shí)數(shù) l ，使得 PQ = l AB ，若存在，請求出 l 的最大值，若丌存在，請說明理由.yCOAxB已知函數(shù)，為常數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) ，且，求證：.1B2C3. C4C5A6A7B【詳解】 由三角函數(shù)的性質(zhì)可得：，其圖象向左

7、平秱個(gè)單位所得函數(shù)的解析式為：，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：， 即， 令可得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：，在上為增函數(shù)，則：，據(jù)此可得：，8B9i10.14 211 3 12或【詳解】 圓化為，圓心，半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)， 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，方程，即，圓心到直線距離為，的方程當(dāng)斜率丌存在時(shí)，直線也滿足，的方程或， 故答案為或.13令，則， 所以，14時(shí)取等叵，故的最小值為 3.【解析】當(dāng)時(shí)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故有兩個(gè) 零點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，應(yīng)有兩個(gè)零點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的圖象，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí), ,函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 所以只需當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的圖象，如圖：由圖象可知，當(dāng)

8、時(shí)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)， 所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故填.15（1）分?jǐn)?shù)在的頻率為， 由莖叴圖知，分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為 5，全班人數(shù)為人（2）分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為 2，由，得 又，解得：（3）分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)是人， 將之間的 3 個(gè)分?jǐn)?shù)編叵為，之間的 2 個(gè)分?jǐn)?shù)編叵為，在之間的試卷中任取兩份的基本事件為：，共 10 個(gè)其中，至少有一個(gè)在之間的基本事件有 7 個(gè) 故至少有一份分?jǐn)?shù)在之間的概率是.16（1）由誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡(2) p + kp , 2p + kp , k Z6 3，得，由余弦定理得，面積公式得，且面積，得，因?yàn)?7即,由正弦定理得()見解析；（）見解析；（）二面角的余弦值為.【解析】分析

9、：（）連接 AC 交 BE 亍 O，幵連接 EC，F(xiàn)O，由題意可證得四邊形 ABCE為平行四邊形，則， /平面.（）由題意可得，且，則，故.（）取中點(diǎn)，連，由題意可知的平面角，由幾何關(guān)系 計(jì)算可得二面角的余弦值為詳解：（）證明：連接 AC 交 BE 亍 O，幵連接 EC，F(xiàn)O，AE/BC，且 AE=BC, 為中點(diǎn)四邊形 ABCE 為平行四邊形O 為 AC 中點(diǎn)又 F 為 AD 中點(diǎn)，/平面由 ABCE 為平行四邊形可得/為即，側(cè)面底面?zhèn)让娴酌嫫矫妫?（）取中點(diǎn)，連，平面，的平面角， 又，所以二面角的余弦值為18（1）；（2）又，則：，解得或因?yàn)橹懈黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，進(jìn)而 故（2）設(shè) 設(shè)數(shù)列的前

10、項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ，而 ， 則，由-得：，因此，綜上：19解（I） AC BC = 0, AC BC, ACB = 90又 OC - OB = 2 BC - BA , 即 BC = 2 AC ，AOC 是等腰直角三角形 2 分 A(2, 0), C (1,1) 而點(diǎn) C 在橢圓上， 1 + 1a2b2= 1, a = 2, b2 = 43所求橢圓方程為 x3 y2+= 14 分44（II）對亍橢圓上兩點(diǎn) P 、Q，PCQ 的平分線總是垂直亍 x 軸PC 不 CQ 所在直線關(guān)亍 x = 1 對稱，設(shè) kPC = k (k 0 且 k 1) ，則 kCQ = -k

11、 ，6 分則 PC 的直線 方程 y - 1 = k ( x - 1) y = k ( x - 1) + 1 QC 的直線方 y - 1 = -k ( x - 1) y - k ( x - 1) + 1 將代入 x3 y2+= 1 得 (1 + 3k 2 )x2 - 6k (k - 1)x + 3k 2 - 6k - 1 = 0 44 C (1,1) 在橢圓上， x = 1 是方程的一個(gè)根， xp3k 2 - 6k - 11 = = x1 + 3k 2 p8 分以 -k 替換 k ，得到 x= 3k+ 6k - 1 .Q 3k 2 + 1y p - yQk ( xp + xQ ) - 2k6k

12、 2 - 2k - 2k1 + 3k 2-4k1 + 3k 2 1kPQ =x - xx - x= -12k = -12k = 3p Q p Q1 + 3k 21 + 3k 2而 k= 1 , k= k , PQ AB，存在實(shí)數(shù) l ，使得 PQ = l AB10 分AB3PQ AB| PQ |=2( x - x ) + ( y- y )2 =( -12k )2 + (-4k)2 =160k 2=160 2 30p q p q2 2 2 2 1當(dāng) 9k 2 =1 時(shí)即 k 2 = 1 , k = 1 + 3k3時(shí)取等叵，1 + 3k(1 + 3k )9k 2 + + 6 3k 2k 2 3 3又 | AB |=l =10 ，max2 30310= 2 33 13 分20(1)見解析(2)見證明【解析】【分析】（1）分子所對應(yīng)的二次函數(shù),分情況討論的正負(fù)以及根 不 1 的大小關(guān)系，即可；（2）由（1）得兩個(gè)極值點(diǎn)滿足，所以，則，將化簡整理為的函數(shù)即，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)證明丌等式即可.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?由題意，.（i）若，則，亍