1、 大學(xué)物理下冊(cè)課后習(xí)題全解()第十二章 真空中的靜電場(chǎng)121 如圖所示，在直角三角形ABCD的A點(diǎn)處，有點(diǎn)電荷q1 = 1.810-9C，B點(diǎn)處有點(diǎn)電荷q2 = -4.810-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，試求C點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E2EE1q2ACq1B圖12.1解答根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)大小的公式，其中1/(40) = k = 9.0109Nm2C-2點(diǎn)電荷q1在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為： 方向向下點(diǎn)電荷q2在C點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向向右C處的總場(chǎng)強(qiáng)大小為，總場(chǎng)強(qiáng)與分場(chǎng)強(qiáng)E2的夾角為122 半徑為R的一段圓弧，圓心角為60，一半均勻帶正電，另一半均勻帶負(fù)電，其電線密度分別ExxERdsEyOy為+

2、和-，求圓心處的場(chǎng)強(qiáng)解答在帶正電的圓弧上取一弧元ds = Rd，電荷元為dq = ds，在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，場(chǎng)強(qiáng)的分量為dEx = dEcos，dEy = dEsin對(duì)于帶負(fù)電的圓弧，同樣可得在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的兩個(gè)分量由于弧形是對(duì)稱的，x方向的合場(chǎng)強(qiáng)為零，總場(chǎng)強(qiáng)沿著y軸正方向，大小為dsExxEREyOy123 均勻帶電細(xì)棒，棒長(zhǎng)a = 20cm，電荷線密度為 = 310-8Cm-1，求：（1）棒的延長(zhǎng)線上與棒的近端d1 = 8cm處的場(chǎng)強(qiáng)；（2）棒的垂直平分在線與棒的中點(diǎn)相距d2 = 8cm處的場(chǎng)強(qiáng)解答（1）建立坐標(biāo)系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m

3、)olxxdlyP1r-LLd1在細(xì)棒上取一線元dl，所帶的電量為dq = dl，根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，電荷元在P1點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為 場(chǎng)強(qiáng)的方向沿x軸正向因此P1點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)大小通過(guò)積分得 將數(shù)值代入公式得P1點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為= 2.41103(NC-1)，olxxdlr-LLyP2dEydE2dExd2方向沿著x軸正向（2）建立坐標(biāo)系，y = d2在細(xì)棒上取一線元dl，所帶的電量為dq = dl，在棒的垂直平分在線的P2點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的大小為 ，由于棒是對(duì)稱的，x方向的合場(chǎng)強(qiáng)為零，y分量為 dEy = dE2sin由圖可知：r = d2/sin，l = d2cot，所以 dl = -d2d/sin

4、2，因此 ，總場(chǎng)強(qiáng)大小為 將數(shù)值代入公式得P2點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為= 5.27103(NC-1)方向沿著y軸正向討論（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入式，化簡(jiǎn)得，保持d1不變，當(dāng)a時(shí)，可得， 這就是半無(wú)限長(zhǎng)帶電直線在相距為d1的延長(zhǎng)線上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大?。?）由式得，當(dāng)a時(shí)，得 ， 這就是無(wú)限長(zhǎng)帶電直線在線外產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)公式如果d1=d2，則有大小關(guān)系Ey = 2E1124 一均勻帶電的細(xì)棒被彎成如圖所示的對(duì)稱形狀，試問(wèn)為何值時(shí)，圓RO圖12.4心O點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為零解答設(shè)電荷線密度為，先計(jì)算圓弧的電荷在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)在圓弧上取一弧元 ds =R d，所帶的電量為 dq = ds，在圓心處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)

5、的大小為，由于弧是對(duì)稱的，場(chǎng)強(qiáng)只剩x分量，取x軸方向?yàn)檎?，?chǎng)強(qiáng)為ROxddE dEx = -dEcos總場(chǎng)強(qiáng)為OEExR，方向沿著x軸正向再計(jì)算兩根半無(wú)限長(zhǎng)帶電直線在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)根據(jù)上一題的公式可得半無(wú)限長(zhǎng)帶電直線在延長(zhǎng)上O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為， 由于兩根半無(wú)限長(zhǎng)帶電直線對(duì)稱放置，它們?cè)贠點(diǎn)產(chǎn)生的合場(chǎng)強(qiáng)為，方向沿著x軸負(fù)向當(dāng)O點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)為零時(shí)，必有，可得 tan/2 = 1，PbaQd圖12.5因此 /2 = /4， 所以 = /2125 一寬為b的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電平面薄板，其電荷密度為，如圖所示試求：（1）平板所在平面內(nèi)，距薄板邊緣為a處的場(chǎng)強(qiáng)（2）通過(guò)薄板幾何中心的垂直線上與薄板距離為d處的場(chǎng)

6、強(qiáng)解答（1）建立坐標(biāo)系在平面薄板上取一寬度為dx的帶電直線，電荷的線密度為d = d x，根據(jù)直線帶電線的場(chǎng)強(qiáng)公式，PbaOxdxy得帶電直線在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，其方向沿x軸正向由于每條無(wú)限長(zhǎng)直線在P點(diǎn)的產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相同，所以總場(chǎng)強(qiáng)為 場(chǎng)強(qiáng)方向沿x軸正向（2）為了便于觀察，將薄板旋轉(zhuǎn)建立坐標(biāo)系仍然在平面薄板上取一寬度為dx的帶電直線，電荷的線密度仍然為d = d x，帶電直線在Q點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為QbdOzdxxyrdE，沿z軸方向的分量為，設(shè)x = dtan，則dx = dd/cos2，因此積分得 場(chǎng)強(qiáng)方向沿z軸正向討論（1）薄板單位長(zhǎng)度上電荷為 = b，式的場(chǎng)強(qiáng)可化為，當(dāng)b0時(shí)，薄板就變成一

7、根直線，應(yīng)用羅必塔法則或泰勒展開式，場(chǎng)強(qiáng)公式變?yōu)椋?這正是帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)公式（2）也可以化為，當(dāng)b0時(shí)，薄板就變成一根直線，應(yīng)用羅必塔法則或泰勒展開式，場(chǎng)強(qiáng)公式變?yōu)?，這也是帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)公式當(dāng)b時(shí)，可得：， 這是無(wú)限大帶電平面所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)公式126 （1）點(diǎn)電荷q位于一個(gè)邊長(zhǎng)為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過(guò)立方體一面的電通量是多少？（2）如果將該場(chǎng)源點(diǎn)電荷移到立方體的的一個(gè)角上，這時(shí)通過(guò)立方體各面的電通量是多少？解答點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電通量為e = q/0（1）當(dāng)點(diǎn)電荷放在中心時(shí)，電通量要穿過(guò)6個(gè)面，通過(guò)每一面的電通量為1 = e/6 = q/60（2）當(dāng)點(diǎn)電荷放在一個(gè)頂角時(shí)，電通量要穿過(guò)

8、8個(gè)卦限，立方體的3個(gè)面在一個(gè)卦限中，通過(guò)每個(gè)面的電通量為1 = e/24 = q/240；立方體的另外3個(gè)面的法向與電力線垂直，通過(guò)每個(gè)面的電通量為零127 面電荷密度為的均勻無(wú)限大帶電平板，以平板上的一點(diǎn)O為中心，R為半徑作一半球面，RO如圖所示求通過(guò)此半球面的電通量解答設(shè)想在平板下面補(bǔ)一個(gè)半球面，與上面的半球面合成一個(gè)球面球面內(nèi)包含的電荷為 q = R2，通過(guò)球面的電通量為圖12.7 e = q/0，通過(guò)半球面的電通量為e = e/2 = R2/20128 兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為R1和R2(R1 R2)，帶有等量異號(hào)電荷，單位長(zhǎng)度的電量為和-，求（1）r R1；（2） R1 r

9、R2處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解答由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，所以電場(chǎng)分布也具有軸對(duì)稱性（1）在內(nèi)圓柱面內(nèi)做一同軸圓柱形高斯面，由于高斯內(nèi)沒(méi)有電荷，所以E = 0，（r R1）（2）在兩個(gè)圓柱之間做一長(zhǎng)度為l，半徑為r的同軸圓柱形高斯面，高斯面內(nèi)包含的電荷為 q = l，穿過(guò)高斯面的電通量為，根據(jù)高斯定理e = q/0，所以， (R1 r R2）S2S1ES1S2EEd2rS0ES0129 一厚度為d的均勻帶電無(wú)限大平板，電荷體密度為，求板內(nèi)外各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解答方法一：高斯定理法（1）由于平板具有面對(duì)稱性，因此產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的方向與平板垂直且對(duì)稱于中心面：E = E在板內(nèi)取一底面積為S，高為2r的圓柱面作為高斯面，場(chǎng)

10、強(qiáng)與上下兩表面的法線方向平等而與側(cè)面垂直，通過(guò)高斯面的電通量為，高斯面內(nèi)的體積為 V = 2rS，包含的電量為 q =V = 2rS，根據(jù)高斯定理 e = q/0，可得場(chǎng)強(qiáng)為 E = r/0，(0rd/2)（2）穿過(guò)平板作一底面積為S，高為2r的圓柱形高斯面，通過(guò)高斯面的電通量仍為 e = 2ES，高斯面在板內(nèi)的體積為V = Sd，包含的電量為 q =V = Sd，根據(jù)高斯定理 e = q/0，可得場(chǎng)強(qiáng)為 E = d/20，(rd/2) 方法二：場(chǎng)強(qiáng)迭加法（1）由于平板的可視很多薄板迭而成的，以r為界，下面平板產(chǎn)生E2dyryoE1d的場(chǎng)強(qiáng)方向向上，上面平板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向向下在下面板中取一薄層

11、dy，面電荷密度為d = dy，產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 dE1 = d/20，積分得，同理，上面板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，r處的總場(chǎng)強(qiáng)為E = E1-E2 = r/0（2）在公式和中，令r = d/2，得E2 = 0、E = E1 = d/20， E就是平板表面的場(chǎng)強(qiáng)平板外的場(chǎng)強(qiáng)是無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)限薄的帶電平板產(chǎn)生的電場(chǎng)迭加的結(jié)果，是均強(qiáng)電場(chǎng)，方向與平板垂直，大小等于平板表面的場(chǎng)強(qiáng)，也能得出式1210 一半徑為R的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為，若在球內(nèi)挖去一塊半徑為RR的小球體，如圖所示，試求兩球心O與O處的電場(chǎng)強(qiáng)度，并證ORaRO圖12.10明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)解答挖去一塊小球體，相當(dāng)于在該處填充一塊電荷體密度

12、為-的小球體，因此，空間任何一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)是兩個(gè)球體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的迭加對(duì)于一個(gè)半徑為R，電荷體密度為的球體來(lái)說(shuō)，當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P在球內(nèi)時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作一半徑為r的同心球形高斯面，根據(jù)高斯定理可得方程P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P在球外時(shí)，過(guò)P點(diǎn)作一半徑為r的同心球形高斯面，根據(jù)高斯定理可得方程 P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為 O點(diǎn)在大球體中心、小球體之外大球體在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，小球在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為OarOrErErEP，方向由O指向OO點(diǎn)在小球體中心、大球體之內(nèi)小球體在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為零，大球在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為，方向也由O指向O證明在小球內(nèi)任一點(diǎn)P，大球和小球產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為， ，方向如圖所示設(shè)兩場(chǎng)強(qiáng)之間的夾角為，

13、合場(chǎng)強(qiáng)的平方為 ，根據(jù)余弦定理得 ，所以 ，可見：空腔內(nèi)任意點(diǎn)的電場(chǎng)是一個(gè)常量還可以證明：場(chǎng)強(qiáng)的方向沿著O到O的方向因此空腔內(nèi)的電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)1211 如圖所示，在A、B兩點(diǎn)處放有電量分別為+q和-q的點(diǎn)電荷，AB間距離為2R，現(xiàn)將另一正試驗(yàn)電荷q0從O點(diǎn)經(jīng)過(guò)半圓弧路徑移到C點(diǎn)，-q+qOBDCA圖12.11求移動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功解答正負(fù)電荷在O點(diǎn)的電勢(shì)的和為零：UO = 0；在C點(diǎn)產(chǎn)生的電勢(shì)為，電場(chǎng)力將正電荷q0從O移到C所做的功為W = q0UOD = q0(UO-UD) = q0q/60R1212 真空中有兩塊相互平行的無(wú)限大均勻帶電平面A和BA平面的電荷面密度為2，B平面的電荷面密

14、度為，兩面間的距離為d當(dāng)點(diǎn)電荷q從A面移到B面時(shí)，電場(chǎng)力做的功為多少？ 解答兩平面產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小分別為EA = 2/20 = /0，EB = /20，兩平面在它們之間產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相反，因此，總場(chǎng)強(qiáng)大小為 E = EA - EB = /20，方向由A平面指向B平面兩平面間的電勢(shì)差為 U = Ed = d/20，當(dāng)點(diǎn)電荷q從A面移到B面時(shí)，電場(chǎng)力做的功為 W = qU = qd/201213 一半徑為R的均勻帶電球面，帶電量為Q若規(guī)定該球面上電勢(shì)值為零，則無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為多少？解答帶電球面在外部產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為 ，由于 ，當(dāng)UR = 0時(shí)，1214 電荷Q均勻地分布在半徑為R的球體內(nèi)，試證明離球

15、心r（rR2）證明方法一：并聯(lián)電容法在外球外面再接一個(gè)半徑為R3大外球殼，外殼也接地內(nèi)球殼和外球殼之間是一個(gè)電容器，電容為外球殼和大外球殼之間也是一個(gè)電容器，電容為 外球殼是一極，由于內(nèi)球殼和大外球殼都接地，共享一極，所以兩個(gè)電容并聯(lián)當(dāng)R3趨于無(wú)窮大時(shí)，C2 = 40R2并聯(lián)電容為 方法二：電容定義法假設(shè)外殼帶正電為q，則內(nèi)殼將感應(yīng)電荷q內(nèi)球的電勢(shì)是兩個(gè)電荷產(chǎn)生的迭加的結(jié)果由于內(nèi)球接地，所以其電勢(shì)為零；由于內(nèi)球是一個(gè)等勢(shì)體，其球心的電勢(shì)為，因此感應(yīng)電荷為根據(jù)高斯定理可得兩球殼之間的場(chǎng)強(qiáng)為 ，負(fù)號(hào)表示場(chǎng)強(qiáng)方向由外球殼指向內(nèi)球殼取外球殼指向內(nèi)球殼的一條電力線，兩球殼之間的電勢(shì)差為球面間的電容為13

16、8 球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為R1和R2，其間一半充滿相對(duì)介電常量為oR2R1r圖13.8r的均勻電介質(zhì)，求電容C為多少？解答球形電容器的電容為對(duì)于半球來(lái)說(shuō)，由于相對(duì)面積減少了一半，所以電容也減少一半：當(dāng)電容器中充滿介質(zhì)時(shí)，電容為：由于內(nèi)球是一極，外球是一極，所以兩個(gè)電容器并聯(lián)：139 設(shè)板面積為S的平板電容器析板間有兩層介質(zhì)，介電常量分別為1和2，厚度分別為d1和d2，d212d1圖13.9求電容器的電容解答假設(shè)在兩介質(zhì)的界面插入一薄導(dǎo)體，可知兩個(gè)電容器串聯(lián)，電容分別為 C1 = 1S/d1和C2 = 2S/d2總電容的倒數(shù)為 ，總電容為 1310 圓柱形電容器是由半徑為R1的導(dǎo)線和與它同

17、軸的內(nèi)半徑為R2的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成的，其長(zhǎng)為l，其間充滿了介電常量為的介質(zhì)設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度導(dǎo)線上的電荷為，圓筒的電荷為-，略去邊緣效DS1S2S0rR2R1l應(yīng)求：（1）兩極的電勢(shì)差U；（2）介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E、電位移D；（3）電容C，它是真空時(shí)電容的多少倍？解答介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移是軸對(duì)稱分布的在內(nèi)外半徑之間作一個(gè)半徑為r、長(zhǎng)為l的圓柱形高斯面，側(cè)面為S0，上下兩底面分別為S1和S2通過(guò)高斯面的電位移通量為，高斯面包圍的自由電荷為 q = l，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理 d = q，可得電位為 D = /2r，方向垂直中心軸向外電場(chǎng)強(qiáng)度為 E = D/ = /2r，方向也垂直中心軸向外取一條電力線

18、為積分路徑，電勢(shì)差為電容為 在真空時(shí)的電容為 ，所以倍數(shù)為C/C0 = /01311 在半徑為R1的金屬球外還有一層半徑為R2的均勻介質(zhì)，相對(duì)介電常量為r設(shè)金屬球帶電Q0，求：（1）介質(zhì)層內(nèi)、外D、E、P的分布；（2）介質(zhì)層內(nèi)、外表面的極化電荷面密度解答（1）在介質(zhì)內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移以及極化強(qiáng)度是球?qū)ΨQ分布的在內(nèi)外半徑之間作一個(gè)半徑為r的球形高斯面，通過(guò)高斯面的電位移通量為高斯面包圍的自由電荷為q = Q0，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理 d = q，可得電位為 D = Q0/4r2，方向沿著徑向用向量表示為 D = Q0r/4r3電場(chǎng)強(qiáng)度為 E = D/0r = Q0r/40rr3，方向沿著徑向由于

19、D = 0E + P， 所以 P = D - 0E = 在介質(zhì)之外是真空，真空可當(dāng)作介電常量r = 1的介質(zhì)處理，所以D = Q0r/4r3，E = Q0r/40r3，P = 0（2）在介質(zhì)層內(nèi)靠近金屬球處，自由電荷Q0產(chǎn)生的場(chǎng)為 E0 = Q0r/40r3；極化電荷q1產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E = q1r/40r3；總場(chǎng)強(qiáng)為 E = Q0r/40rr3由于 E = E0 + E，解得極化電荷為 ，介質(zhì)層內(nèi)表面的極化電荷面密度為 在介質(zhì)層外表面，極化電荷為 ，面密度為 1312 兩個(gè)電容器電容之比C1:C2 = 1:2，把它們串聯(lián)后接電源上充電，它們的靜電能量之比為多少？如果把它們并聯(lián)后接到電源上充電，

20、它們的靜電能之比又是多少？解答兩個(gè)電容器串聯(lián)后充電，每個(gè)電容器帶電量是相同的，根據(jù)靜電能量公式W = Q2/2C，得靜電能之比為 W1:W2 = C2:C1 = 2:1兩個(gè)電容器并聯(lián)后充電，每個(gè)電容器兩端的電壓是相同的，根據(jù)靜電能量公式W = CU2/2，得靜電能之比為 W1:W2 = C1:C2 = 1:21313 一平行板電容器板面積為S，板間距離為d，接在電源上維持其電壓為U將一塊厚度為d相對(duì)介電常量為r的均勻介電質(zhì)板插入電容器的一半空間內(nèi)，求電容器的靜電能為多少？解答平行板電容器的電容為 C = 0S/d，當(dāng)面積減少一半時(shí)，電容為C1 = 0S/2d；另一半插入電介質(zhì)時(shí)，電容為C2 =

21、 0rS/2d兩個(gè)電容器并聯(lián)，總電容為 C = C1 + C2 = (1 + r)0S/2d，靜電能為 W = CU2/2 = (1 + r)0SU2/4d1314 一平行板電容器板面積為S，板間距離為d，兩板豎直放著若電容器兩板充電到電壓為U時(shí)，斷開電源，使電容器的一半浸在相對(duì)介電常量為r的液體中求：（1）電容器的電容C；（2）浸入液體后電容器的靜電能；（3）極板上的自由電荷面密度解答（1）如前所述，兩電容器并聯(lián)的電容為 C = (1 + r)0S/2d（2）電容器充電前的電容為C0 = 0S/d， 充電后所帶電量為 Q = C0U當(dāng)電容器的一半浸在介質(zhì)中后，電容雖然改變了，但是電量不變，所

22、以靜電能為W = Q2/2C = C02U2/2C = 0SU2/(1 + r)d（3）電容器的一半浸入介質(zhì)后，真空的一半的電容為 C1 = 0S/2d；介質(zhì)中的一半的電容為 C2 = 0rS/2d設(shè)兩半的所帶自由電荷分別為Q1和Q2，則Q1 + Q2 = Q 由于C = Q/U，所以U = Q1/C1 = Q2/C2 解聯(lián)立方程得，真空中一半電容器的自由電荷面密度為同理，介質(zhì)中一半電容器的自由電荷面密度為1315 平行板電容器極板面積為200cm2，板間距離為1.0mm，電容器內(nèi)有一塊1.0mm厚的玻璃板(r = 5)將電容器與300V的電源相連求：（1）維持兩極板電壓不變抽出玻璃板，電容器

23、的能量變化為多少？（2）斷開電源維持板上電量不變，抽出玻璃板，電容器能量變化為多少？解答平行板電容器的電容為 C0 = 0rS/d，靜電能為 W0 = C0U2/2玻璃板抽出之后的電容為 C = 0S/d（1）保持電壓不變抽出玻璃板，靜電能為 W = CU2/2，電能器能量變化為W = W - W0 = (C - C0)U2/2= (1 - r)0SU2/2d = -3.1810-5(J)（2）充電后所帶電量為 Q = C0U，保持電量不變抽出玻璃板，靜電能為W = Q2/2C，電能器能量變化為= 1.5910-4(J)1316 設(shè)圓柱形電容器的內(nèi)、外圓筒半徑分別為a、b試證明電容器能量的一半

24、儲(chǔ)存在半徑的圓柱體內(nèi)解答設(shè)圓柱形電容器電荷線密度為，場(chǎng)強(qiáng)為 E = /20r，能量密度為 w = 0E2/2，體積元為 dV = 2rldr，能量元為 dW = wdV在半徑a到R的圓柱體儲(chǔ)存的能量為當(dāng)R = b時(shí)，能量為；當(dāng)時(shí)，能量為，所以W2 = W1/2，即電容器能量的一半儲(chǔ)存在半徑的圓柱體內(nèi)1317 兩個(gè)同軸的圓柱面，長(zhǎng)度均為l，半徑分別為a、b，柱面之間充滿介電常量為的電介質(zhì)（忽略邊緣效應(yīng)）當(dāng)這兩個(gè)導(dǎo)體帶有等量異號(hào)電荷(Q)時(shí)，求：（1）在半徑為r(a r b)、厚度為dr、長(zhǎng)度為l的圓柱薄殼中任一點(diǎn)處，電場(chǎng)能量體密度是多少？整個(gè)薄殼層中總能量是多少？（2）電介質(zhì)中總能量是多少（由積

25、分算出）？（3）由電容器能量公式推算出圓柱形電容器的電容公式？解答（1）圓柱形內(nèi)柱面的電荷線密度為 = Q/l，根據(jù)介質(zhì)是高斯定理，可知電位移為 D = /2r = Q/2rl，場(chǎng)強(qiáng)為 E = D/ = Q/2rl，能量密度為w = DE/2 = DE/2 = Q2/82r2l2薄殼的體積為dV = 2rldr，能量為 dW = wdV = Q2dr/4lr（2）電介質(zhì)中總能量為（3）由公式W = Q2/2C得電容為 1318 兩個(gè)電容器，分別標(biāo)明為200PF/500V和300PF/900V把它們串聯(lián)起來(lái)，等效電容多大？如果兩端加上1000V電壓，是否會(huì)被擊穿？解答當(dāng)兩個(gè)電容串聯(lián)時(shí)，由公式，得

26、 加上U = 1000V的電壓后，帶電量為 Q = CU，第一個(gè)電容器兩端的電壓為 U1 = Q/C1 = CU/C1 = 600(V)；第二個(gè)電容器兩端的電壓為 U2 = Q/C2 = CU/C2 = 400(V)由此可知：第一個(gè)電容器上的電壓超過(guò)它的耐壓值，因此會(huì)被擊穿；當(dāng)?shù)谝粋€(gè)電容器被擊穿后，兩極連在一起，全部電壓就加在第二個(gè)電容器上，因此第二個(gè)電容器也接著被擊穿第十四章 穩(wěn)恒磁場(chǎng)141 充滿r = 2.1電介質(zhì)的平行板電容器，由于電介質(zhì)漏電，在3min內(nèi)漏失一半電量，求電介質(zhì)rSq-ql的電阻率解答設(shè)電容器的面積為S，兩板間的距離為l，則電介質(zhì)的電阻為 設(shè)t時(shí)刻電容器帶電量為q，則電荷

27、面密度為 = q/S，兩板間的場(chǎng)強(qiáng)為 E = / =q/r0S，電勢(shì)差為 U = El =ql/r0S，介質(zhì)中的電流強(qiáng)度為 ，負(fù)號(hào)表示電容器上的電荷減少微分方程可變?yōu)?，積分得 ，設(shè)t = 0時(shí)，q = qm，則得C = lnqm，因此電介質(zhì)的電阻率的公式為 當(dāng)t = 180s時(shí)，q = qm/2，電阻率為 =1.41013(m)142 有一導(dǎo)線電阻R = 6，其中通有電流，在下列兩種情況下，通過(guò)總電量都是30C，求導(dǎo)線所產(chǎn)生的熱量（1）在24s內(nèi)有穩(wěn)恒電流通過(guò)導(dǎo)線；（2）在24s內(nèi)電流均勻地減少到零 解答（1）穩(wěn)恒電流為 I = q/t = 1.25(A)，導(dǎo)線產(chǎn)生的熱量為 Q = I2Rt

28、 = 225(J)（2）電流變化的方程為 ，由于在相等的時(shí)間內(nèi)通過(guò)的電量是相等的，在i-t圖中，在024秒內(nèi)，變化電流和穩(wěn)恒電流直線下的面I24ot/si/A1.252.5積是相等的在dt時(shí)間內(nèi)導(dǎo)線產(chǎn)生的熱量元為 dQ = i2Rdt，在24s內(nèi)導(dǎo)線產(chǎn)生的熱量為=300(J)143 已知銅的相對(duì)原子質(zhì)量A = 63.75，質(zhì)量密度 = 8.9103kgm-3 （1）技術(shù)上為了安全，銅線內(nèi)電流密度不能超過(guò)6Amm-2，求此時(shí)銅線內(nèi)電子的漂移速度為多少？ （2）求T = 300K時(shí)，銅內(nèi)電子熱運(yùn)動(dòng)平均速度，它是漂移速度的多少倍？解答（1）原子質(zhì)量單位為 u = 1.6610-27(kg)，一個(gè)銅原

29、子的品質(zhì)為 m = Au = 1.05810-25(kg)，銅的原子數(shù)密度為 n = /m = 8.411028(個(gè)m-3)，如果一個(gè)銅原子有一個(gè)自由電子，n也是自由電子數(shù)密度，因此自由電子的電荷密度為e = ne = 1.341010(Cm-3)銅線內(nèi)電流密度為 = 6106(Am-2)，根據(jù)公式 = ev，得電子的漂移速度為 v = e/ = 4.4610-4(ms-1)（2）將導(dǎo)體中的電子當(dāng)氣體分子，稱為“電子氣”，電子做熱運(yùn)動(dòng)的平均速度為 其中k為玻爾茲曼常數(shù)k = 1.3810-23JK-1，me是電子的質(zhì)量me = 9.1110-31kg，可得 = 1.076105(ms-1)，對(duì)

30、漂移速度的倍數(shù)為 /v = 2.437108，可見：電子的漂移速率遠(yuǎn)小于熱運(yùn)動(dòng)的速度，其定向運(yùn)動(dòng)可認(rèn)為是附加在熱運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)上的運(yùn)動(dòng)144 通有電流I的導(dǎo)線形狀如圖所示，圖中ACDO是邊長(zhǎng)為b的正方形求圓心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)ICObaDA圖14.4度B = ？解答電流在O點(diǎn)的產(chǎn)生的磁場(chǎng)的方向都是垂直紙面向里的根據(jù)畢-薩定律：，圓弧上的電流元與到O點(diǎn)的矢徑垂直，在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小為， 由于 dl = ad，積分得 OA和OD方向的直線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零在AC段，電流元在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為lrIdlIdlCObaDA，由于 l = bcot( - ) = -bcot， 所以 dl = bd/sin2；又

31、由于 r = b/sin( - ) = b/sin，可得 ，積分得同理可得CD段在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)B3 = B2O點(diǎn)總磁感應(yīng)強(qiáng)度為 BI1b2討論（1）假設(shè)圓弧張角為，電流在半徑為a的圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（2）有限長(zhǎng)直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)大小為 對(duì)于AC段，1 = /2、2 = 3/4；對(duì)于CD段，1 = /4、2 = /2，都可得上述公式可以直接引用145 如圖所示的載流導(dǎo)線，圖中半圓的的半徑為R，直線部分伸向無(wú)限遠(yuǎn)處求圓心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B = ？XYRIZo圖14.5解答在直線磁場(chǎng)公式中，令1 = 0、2 = /2，或者1 = /2、2 = ，就得半無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線在端點(diǎn)半徑為R的圓周上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 兩無(wú)限長(zhǎng)半直線在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向都向著-Z方向，大小為Bz = 0I/2R半圓在O處產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向沿著-X方向，大小為Bx = 0I/4RO點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為場(chǎng)強(qiáng)大小為，與X軸的夾角為 146 如圖所示的正方形線圈ABCD，每邊長(zhǎng)為a，通有電流I求正方形中心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B = ？解答正方形每一邊到O點(diǎn)的距離都是a/2，在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)大小相等、方向相同以AD邊為例，IODBCA圖14.6利用直線電流的磁場(chǎng)公式：，令1 = /4、2 = 3/4、R = a/2，AD在O產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ，方向垂直紙面向里147 兩個(gè)共軸圓線圈，每個(gè)線圈中的電流