1、鎮(zhèn)平一高中2020高三期終考前模擬演練數(shù)學試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，則 ( )A. B.C.D. 3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結論錯誤的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至

2、6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)4.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為，則第八個單音的頻率為( )A. B.C. D. 5.函數(shù)的圖像大致為( )A. B. C.D.6.使展開式中含有常數(shù)項的的最小值是( )A. B. C. D. 7.已知是雙曲線C：上的一點，是C上的兩個焦點，若，則的取值范圍是( )A.B.C. D. 8.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為

3、, 則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )A. B. C. D. 9.如圖1，已知正方體的棱長為，動點、分別在線段、上，當三棱錐的俯視圖如圖2所示時，三棱錐的正視圖面積為( )A. B. C. D. 10.下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則( )A.B. C.D. 11.設拋物線:與橢圓:交于兩點，在橢圓位于拋物線上方的部分取一點，點為橢圓的右頂點，若，則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 12.

4、已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若不等式恒成立，則的最小值為( )A.B.C.D. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記為數(shù)列的前項和，若，則_.14.已知變量滿足約束條件，若目標函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的值為_.15.已知向量，若對任意單位向量，均有，則的最大值是_.16.用組成數(shù)字不重復的六位數(shù)，滿足不在左右兩端，三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為_.（用數(shù)字填寫答案）三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分）在平面四邊形中，.（1）求；（2）若，求.18.（本題滿分12分）設數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求

5、數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和為，其中.19.（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中, ,.點分別為棱的中點,是線段的中點, ,.（）求證：；（）求二面角的正弦值；（）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.20.（本題滿分12分）某中學數(shù)學組推出微信訂閱號后，受到家長和學生們的關注，為了更好的為學生和家長提供幫助，我們在某時間段在線調(diào)查了60位更關注欄目1或欄目2（2選一）的群體身份樣本得到如下列聯(lián)表，已知在樣本中關注欄目1與關注欄目2的人數(shù)比為2:1，在關注欄目1中的家長與學生人數(shù)比為5:3，在關注欄目2中的家長與學生人數(shù)比為1:3欄目1欄目2合計家長學生合計（1）

6、完成列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99%的可靠性要求，能否認為“更關注欄目1或欄目2與群體身份有關系”；（2） 如果把樣本頻率視為概率，隨機回訪兩位關注者，更關注欄目1的人數(shù)記為隨機變量，求的分布列和期望；（3）由調(diào)查樣本對兩個欄目的關注度，請你為數(shù)學組教師提供建議應該更側重充實哪個欄目的內(nèi)容，并簡要說明理由.0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中.）21.（本題滿分12分）已知函數(shù)，.（）若函數(shù)有極值1，求的值；（）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求的取值范圍；（）證明：.22.（本題滿分12分）拋物線:的焦點是:的

7、頂點,過點的直線的斜率分別是，且,直線與交于，直線與交于.（）求拋物線的方程，并證明：分別是的中點，且直線過定點；（）求面積的最小值設面積分別為，求證：.數(shù)學答案一、選擇題：1.設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)所對應的點位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由題意，其對應的點坐標為，位于第二象限，故選B.2.已知集合，則 ( )A. B.C.D. 【答案】C【解析】集合，而，所以，故選C.3.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折

8、線圖，下列結論錯誤的是( )A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D.各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】A【解析】由折線圖，易知選項A錯誤，故選A.4.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為，則第八個單音的頻率為( )A. B.C. D. 【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，此十三個單音形成一個

9、以為首項，為公比的等比數(shù)列，故第八個單音的頻率為，故選D.5.函數(shù)的圖象大致為( )A. B. C.D.【答案】D【解答】由題意得，所以，所以為奇函數(shù)，故圖象關于原點對稱，故排除A；因為當從右趨向于0時，趨向于+，當趨向于+時，趨向于0，故排除BC，故選D.6.使展開式中含有常數(shù)項的的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】，令得，所以的最小值是5，故選C.7.已知是雙曲線C：上的一點，是C上的兩個焦點，若，則的取值范圍是( )A.B.C. D. 【答案】A【解析】由題知, ,故，解得，故選A.8.已知函數(shù)的圖象的一個對稱中心為, 則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是( )A. B. C.

10、D. 【答案】D【解析】由題意得，得，所以，由，得的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選D.9. 如圖1，已知正方體的棱長為，動點、分別在線段、上，當三棱錐的俯視圖如圖2所示時，三棱錐的正視圖面積為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由俯視圖可知點和點重合，點和重合，為的中點，故其正視圖為三角形，如右圖，從而得其面積為.10.下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則( )A.B. C.D. 【答案】A【解

11、析】假設，由三角形是直角三角形得，即，即，故區(qū)域的面積為，區(qū)域的面積為，區(qū)域的面積為，又由于總區(qū)域固定，所以，故選A.11.設拋物線:與橢圓:交于兩點，在橢圓位于拋物線上方的部分取一點，點為橢圓的右頂點，若，則的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】易得，又因為，所以,設，所以，故選B.12.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若不等式恒成立，則的最小值為( )A.B.C.D. 【答案】B【解析】因為函數(shù)，所以，其中，當時，在上是增函數(shù)，不可能恒成立，當時，由，得，所以時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，所以當時，取最大值，又因為不等式恒成立，所以的最大值為0，所以，即，即，所以，令

12、，則，令，則，由得，當時，是增函數(shù)，時，是減函數(shù)，所以當時，取最小值，因為時，時，所以當時，是減函數(shù)；當時，是增函數(shù)所以時，取最小值，所以的最小值為，即有的最小值為.故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記為數(shù)列的前項和，若，則_.【答案】【解析】由題意，當時，解得.當時，整理得，故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，因此.14.已知變量滿足約束條件，若目標函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的值為_.【答案】【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，當0a1時，可行域為梯形ABCD；當a1時，可行域為CDE；當0a1時，直線經(jīng)過點時，z取得最小值，所以，解得；當a1時，直線經(jīng)過點時，z取得

13、最小值1，此時不滿足題意；綜上，實數(shù)a的值為.15.已知向量，若對任意單位向量，均有，則的最大值是_.【答案】【解析】，即最大值為16.用組成數(shù)字不重復的六位數(shù)，滿足不在左右兩端，三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰，則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為_.（用數(shù)字填寫答案）【答案】【解析】從2,4,6三個偶數(shù)中任意選出2個看作一個“整體”,方法有種,先排3個奇數(shù),有種,形成了4個空,將“整體”和另一個偶數(shù)中插在3個奇數(shù)形成的4個空中,方法有種,根據(jù)分步計數(shù)原理求得此時滿足條件的六位數(shù)共有種.若1排在兩端,1的排法有種;形成了3個空,將“整體”和另一個偶數(shù)中插在3個奇數(shù)形成的3個空中,方法有種,根據(jù)分步計數(shù)原理求

14、得此時滿足條件的六位數(shù)共有種,故滿足1不在左右兩端,2,4,6三個偶數(shù)中有且只有兩個偶數(shù)相鄰,則這樣的六位數(shù)的個數(shù)為種.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本題滿分10分）在平面四邊形中，.（1）求；（2）若，求.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由題設知，所以.3分由題設知，所以.5分（2）由題設及（1）知，.7分在中，由余弦定理得：，故.10分18.（本題滿分12分）設數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和為，其中.【解析】（1），當時，兩式相減，得：（）2分又，代入得，所以，3分所以數(shù)列是為首選，為公比的等比數(shù)列，4分

15、所以， 6分（2）， 8分10分解得，12分19.（本題滿分12分）如圖，在三棱錐中，.點分別為棱的中點，是線段的中點，.（）求證：；（）求二面角的正弦值；（）已知點在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長.【解析】如圖，以為坐標原點，分別以的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則由題意得，（），.設，為平面BDE的法向量，則，即，不妨設，可得.又，可得，因為，所以. 4分（）易知是平面的一個法向量，設是平面的法向量，則，因為，所以，不妨設，可得，6分所以，于是，所以二面角的正弦值為.8分（）依題意，設，則，從而可得，由已知得，整理得，解得，所以，線段的長為.12分20.（本題

16、滿分12分）某中學數(shù)學組推出微信訂閱號后，受到家長和學生們的關注，為了更好的為學生和家長提供幫助，我們在某時間段在線調(diào)查了60位更關注欄目1或欄目2（2選一）的群體身份樣本得到如下列聯(lián)表，已知在樣本中關注欄目1與關注欄目2的人數(shù)比為2:1，在關注欄目1中的家長與學生人數(shù)比為5:3，在關注欄目2中的家長與學生人數(shù)比為1:3欄目1欄目2合計家長學生合計（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99%的可靠性要求，能否認為“更關注欄目1或欄目2與群體身份有關系”；（2） 如果把樣本頻率視為概率，隨機回訪兩位關注者，更關注欄目1的人數(shù)記為隨機變量，求的分布列和期望；（3）由調(diào)查樣本對兩個欄目的關注度，

17、請你為數(shù)學組教師提供建議應該更側重充實哪個欄目的內(nèi)容，并簡要說明理由.0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中.）【解析】（1）因為樣本容量60，關注欄目1與關注欄目2的人數(shù)比為2:1，在關注欄目1中的家長與學生人數(shù)比為5:3，所以，列聯(lián)表如圖欄目1欄目2合計家長25530學生151530合計4020602分，4分所以能有99%的把握認為“更關注欄目1或欄目2與群體身份有關系”. 5分（2）的取值為0,1,2，由題意，6分所以，分布列如下0128分的期望為， 10分（3）關注欄目1與關注欄目2的人數(shù)比為2:1，即關注欄目1的人數(shù)多，所以應該充實欄目1的內(nèi)容. 12分21.（本題滿分12分）已知函數(shù)，.（）若函數(shù)有極值1，求的值；（）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求的取值范圍；（）證明：.【解析】（），易得定義域為，2分所以當時，在上單調(diào)遞減，無極值， 3分當時，由得，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值為，解得， 4分（）由題意，5分因為在上為減函數(shù)，所以在恒成立，又因為時，所以在上恒成立，6分設，則，所以在區(qū)間上為減函數(shù)，故所求的范圍是：.8分（）