1、焦作市普通高中2020學(xué)年（下）高二期中考試數(shù)學(xué)（理科）試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則=A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:先化簡集合A,再求AB.詳解：由題得=x|-2x3，AB=.故選B.點(diǎn)睛：本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題,注意表示的是正整數(shù)集，不包含0.2. 復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和等于A. B. C. 1 D. 3【答案】D【解析】分析：先化簡復(fù)數(shù)z,再寫出復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部，最后求其實(shí)部與虛部的和.詳解：由題得z=1+2i所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部是1，虛部是2，所以其實(shí)部與虛部的和為3

2、.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，屬于基礎(chǔ)題.注意復(fù)數(shù)的虛部是“i”的系數(shù)，不包含“i”.3. 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用函數(shù)的奇偶性的判斷方法判斷奇偶性，利用圖像或函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性.詳解：對于A選項(xiàng)，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，所以不選A.對于B選項(xiàng)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，所以不選B.對于C選項(xiàng)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，但是函數(shù)在上不是單調(diào)遞增的，所以不選C.對于D選項(xiàng)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又因?yàn)槠涫巧系脑龊瘮?shù)（增+增=增）.所以選D故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和函數(shù)單調(diào)性的判

3、斷，屬于基礎(chǔ)題.4. 已知函數(shù)，則=A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A【解析】分析：先求導(dǎo)，再求，再化簡得解.詳解：由題得，.因?yàn)?，=1故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和導(dǎo)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.5. 已知某物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其速度單位：m/s）關(guān)于時(shí)間（單位：）的關(guān)系是，則在第2s至第3s間經(jīng)過的位移是A. 10m B. 11m C. 12m D. 13m【答案】B【解析】分析：先利用定積分表示出在第2s至第3s間經(jīng)過的位移，再求定積分即得在第2s至第3s間經(jīng)過的位移.詳解：由題得在第2s至第3s間經(jīng)過的位移為. 故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查定積分的實(shí)際應(yīng)用和定積分的運(yùn)算，屬于基

4、礎(chǔ)題.6. 已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組則的最大值為A. 5 B. 10 C. 11 D. 13【答案】D【解析】分析：先作出不等式組對應(yīng)的可行域，再作出直線，最后數(shù)形結(jié)合分析得到函數(shù)的最大值.詳解：不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：由得，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B(3，2)時(shí)，直線的縱截距最大，z最大.所以.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.7. 已知，是實(shí)數(shù)，若，則且，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)且；設(shè)為實(shí)數(shù)，求證與中至少有一個(gè)不小于，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)，且.則A. 的假設(shè)正確，的假設(shè)錯(cuò)誤 B. 的假設(shè)錯(cuò)誤，的假設(shè)正確C. 與的假設(shè)都錯(cuò)誤 D. 與的假設(shè)都正確【答案】B【解析】分析：利用

5、命題的否定的知識(shí)分析判斷.詳解：對于，用反證法證明時(shí)，應(yīng)假設(shè)a,b不都等于1，而不是假設(shè)且，所以的假設(shè)錯(cuò)誤.對于，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)，且.所以的假設(shè)正確.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查反證法和命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.8. 設(shè)曲線在處的切線與直線垂直，則=A. 0 B. 1 C. -1 D. -2【答案】C【解析】分析：由點(diǎn)（0,1）在曲線上得到b的值，再根據(jù)切線與直線y=x+5垂直得到a的值，即得a+b的值.詳解：點(diǎn)（0,1）在曲線上，1=0+b1，b=1.由題得，切線與直線垂直，a=-2.a+b=-1.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.9. 將石子擺成如圖的梯形形狀

6、，各圖中的石子數(shù)5，9，14，依次構(gòu)成數(shù)列，則A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根據(jù)前面圖形中，編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，分析他們之間存在的關(guān)系，并進(jìn)行歸納，用得到一般性規(guī)律，即可求得結(jié)論詳解：由已知的圖形我們可以得出圖形的編號(hào)與圖中石子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系為：n=1時(shí)，a1=2+3=（2+3）2；n=2時(shí)，a2=2+3+4=（2+4）3；由此我們可以推斷：an=2+3+（n+2）= 2+（n+2）（n+1）a20209=2+（2020+2）（2020+1）9=故選C.點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的

7、一般性命題（猜想）10. 如圖所示，某學(xué)習(xí)小組10名同學(xué)的一次測試成績用莖葉圖統(tǒng)計(jì)，其中甲同學(xué)的分?jǐn)?shù)的個(gè)位數(shù)字模糊不清，在圖中用表示，則甲的分?jǐn)?shù)大于這10名同學(xué)平均分的概率為A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先計(jì)算出10個(gè)數(shù)的平均數(shù)，再根據(jù)甲的分?jǐn)?shù)大于這10名同學(xué)平均分得到甲的分?jǐn)?shù)的可能情況，最后求概率.詳解：由題得，所以，x4.，x=5,6,7,8,9.故甲的分?jǐn)?shù)大于這10名同學(xué)平均分的概率為.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查莖葉圖、平均數(shù)和古典概型，屬于基礎(chǔ)題.11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列判斷錯(cuò)誤的是A. 直線是圖象的一條對稱軸B. 點(diǎn)是圖象的一個(gè)對稱中心C.在區(qū)間上單調(diào)

8、遞減D.在區(qū)間上的最大值為【答案】C【解析】分析:先求函數(shù)f(x)的解析式，再逐一研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，找到答案.詳解:由題得,.由題得,.對于選項(xiàng)A,把代入f(x)的解析式得，函數(shù)取到最大值，所以直線是圖象的一條對稱軸,所以選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B,把點(diǎn)代入f(x)的解析式成立，所以點(diǎn)是圖象的一個(gè)對稱中心，所以選項(xiàng)B正確.對于選項(xiàng)C,令所以區(qū)間不是函數(shù)的減區(qū)間，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)D,因?yàn)閤，所以，所以f在區(qū)間上的最大值為,所以選項(xiàng)D正確.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)解析式的求法和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，要求這些基礎(chǔ)知識(shí)比較熟練，屬于基礎(chǔ)題.12. 函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若恒成立

9、，且，則不等式的解集為A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)可判斷g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)f（0）=2020，求得g（0）=2020，繼而求出答案詳解：xR，都有f（x）f（x）成立，f（x）f（x）0，于是有（）0，令g（x）=，則有g(shù)（x）在R上單調(diào)遞減，f（0）=2020，g（0）=2020，不等式f（x）2020ex，g（x）2020=g（0），x0.故選A.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項(xiàng)及已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已

10、知復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)z=_.【答案】1-3i【解析】分析：先求出復(fù)數(shù)z,再求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).詳解:由題得，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為1-3i.故填1-3i.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.14. 已知，若a(a+b)，則向量a與b的夾角為_.【答案】【解析】分析:由得到，再化簡即可得到兩向量的夾角.詳解:由題得,.故填.點(diǎn)睛：本題主要考查向量垂直和向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.15. 在某次數(shù)學(xué)考試中，甲、乙、丙三名同學(xué)中只有一人得了滿分，當(dāng)他們被問到誰得了滿分時(shí)，丙說：甲得到滿分；乙說：我得了滿分；甲說：丙說的是真話.事實(shí)證明，在這三名同學(xué)中，只有一人說的是真話，

11、那么得滿分的同學(xué)是_.【答案】乙【解析】若甲得滿分,則丙說的是真話,乙說的是假話，甲說的是真話，則滿足條件，若乙得滿分，則丙說的是假話，乙說的是真話，甲說的是假話，則不滿足條件，若丙得滿分，則丙說的是假話，乙說的是假話，甲說的是假話，則不滿足條件，故得滿分的是甲，故答案為丙.16. 平面幾何中有如下結(jié)論：正方形的內(nèi)切圓面積為，外接圓面積為，則.推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正方體的內(nèi)切球體積為，外接球的體積為，則_.【答案】【解析】分析：先求出內(nèi)切球的半徑和外接球的半徑，再求的值.詳解：設(shè)正方體的邊長為a, 所以正方體的內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑為，.故填.點(diǎn)睛：本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和

12、外接球的體積，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. 已知復(fù)數(shù).（）求；（）若復(fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)，的值.【答案】（1）（2）a=b=2.【解析】分析：（）先求出z,再求|z|. ()把z的值代入方程化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念概念得到實(shí)數(shù)a,b的值.詳解：（）.（）因?yàn)閺?fù)數(shù)z是方程的一個(gè)根，所以， 所以解得a=b=2.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念，屬于基礎(chǔ)題.18. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意的，.【答案】見解析【解析】分析：按照數(shù)學(xué)歸納法的原理證明不等式.詳解：當(dāng)n=1時(shí)，左邊右邊，命題成立. 假設(shè)當(dāng)命題成立，即； 當(dāng)n=k+

13、1時(shí)，左邊，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立. 綜上所述，對于任意的，.點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于基礎(chǔ)題.19. 已知數(shù)列的首項(xiàng)，.（）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（）利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差數(shù)列. （）先計(jì)算出再利用裂項(xiàng)相消求出，再證明不等式：.詳解：（）由于，顯然，所以兩邊同除以可得，所以數(shù)列是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列. （）由（）知， 所以.所以， 所以.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的證明和裂項(xiàng)相消求和，屬于基礎(chǔ)題.20. 已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，且x=1時(shí)，y=f(x）取極值.（

14、）求函數(shù)的解析式；（）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（）若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）最大值為4，最小值為-146.（3）【解析】分析：（）根據(jù)已知條件得到關(guān)于a,b的方程組，再解方程得到a,b的值，即得函數(shù)的解析式. （）先求出函數(shù)在上的極值和端點(diǎn)函數(shù)值，再比較它們，即得函數(shù)在上的最大值和最小值. （）先作出函數(shù)y=f(x)的圖像，再觀察它和直線y=m的關(guān)系得到實(shí)數(shù)m的取值范圍.詳解：（）， 由題意得，解得所以.（）由（）知，令，得， ，的值隨x的變化情況如下表：x-4（-4,1）12+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)值-14644，在-4,

15、2上的最大值為4，最小值為-146. （）方程f(x)=m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即的圖象與直線y=m有三個(gè)交點(diǎn).由（）分析可得，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，所以.點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于中檔題.21. 已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合.（）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）斜率為-1的直線l交拋物線C于不同兩點(diǎn)A，B，求證：.【答案】（1）（2）見解析【解析】分析：（）根據(jù)已知得到p的值，即得到拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程. （）先利用韋達(dá)定理求出，再利用基本不等式證明不等式.詳解：（）由，所以橢圓在右焦點(diǎn)F(1,0)，即p=2.所以拋物

16、線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）設(shè)直線l的方程為y=-x+b，將它代入拋物線.得，設(shè)，則，.又由直線l交拋物線C于不同兩點(diǎn)A，B，可得，所以.而， 令t=b+3，則t2.所以.當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.點(diǎn)睛：求變量的取值范圍常用函數(shù)的方法.一般先求變量的解析式，再求函數(shù)的定義域，再求函數(shù)的取值范圍. 所以本題先求利用韋達(dá)定理求出，再求b的范圍，最后利用基本不等式證明不等式.這種方法在高中數(shù)學(xué)中常用，大家要注意理解掌握和靈活運(yùn)用.22. 某公司為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷，經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t百萬元，可增加銷售額約為百萬元.（）若該公司將一年的廣告費(fèi)控制在4百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少

17、廣告費(fèi)，才能使該公司由此增加的收益最大？（）現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入5百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費(fèi)百萬元，可增加的銷售額約為百萬元，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案，使該公司由此增加的收益最大.（注：收益=銷售額-投入，這里除了廣告費(fèi)和技術(shù)改造費(fèi)，不考慮其他的投入）【答案】（1）投入3百萬元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此增加的收益最大.（2）4百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此增加的收益最大【解析】分析：（）先寫出收益f(t)的解析式，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求最大值和此時(shí)t 的值. （）設(shè)由此增加的收益是g(x)百萬元,再寫出g(x)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，即得資金分配方案.詳解：（）