1、 第十四章：空間直線與平面平面幾何是研究平面圖形的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科；立體幾何是研究空間圖形性質(zhì)、畫(huà)法、大小及其它們應(yīng)用的學(xué)科。共三個(gè)部分：第一部分討論空間的直線、平面之間的位置關(guān)系；第二部分介紹多面體、旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)及其它們的表面積、體積的求法；第三部分是空間向量及其應(yīng)用。14、1 平面及其基本性質(zhì)1、平面的概念平面概念是現(xiàn)實(shí)中抽象出來(lái)的“平的面”，無(wú)厚度，無(wú)邊界，在空間延伸至無(wú)限。2、平面的畫(huà)法兩個(gè)平面同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，其中一個(gè)的一部分被另一個(gè)平面遮住時(shí)，應(yīng)把被遮部分的線段畫(huà)成虛線或不畫(huà)。文字表示：平面，平面，平面等等。3、點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系的表示點(diǎn)、直線、或直線、（點(diǎn)在直線上）（點(diǎn)不

2、在直線上）（點(diǎn)在平面上）（點(diǎn)不在平面上）（直線在平面上，或說(shuō)平面經(jīng)過(guò)直線）（直線與平面相交于點(diǎn)）（直線與平面平行） （平面與平面相交于直線）（平面與平面平行）例1、說(shuō)出下列符號(hào)所表示的關(guān)系，并畫(huà)出草圖。（1），直線；（2）直線，直線，平面；（3）平面，直線，直線，。解：（1）（2）（3）4、平面的基本性質(zhì)公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（這時(shí)我們說(shuō)：直線在平面內(nèi)?；蛘f(shuō)：平面經(jīng)過(guò)直線。）集合語(yǔ)言表述：若，且，則。公理1的作用：判斷直線是否在平面內(nèi)。公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條經(jīng)過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的公共直線。集合語(yǔ)言表述：若，則，且

3、 。公理2的作用：判斷兩個(gè)平面相交的依據(jù)。公理3：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面。這里“確定一個(gè)平面”的含義是指“有且只有一個(gè)平面”。“有”指的是存在性，“只有”指的是唯一性。公理3的作用：給出了確定平面的條件。公理3的三個(gè)推論：推論1：一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面。推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面。（推論證明略）例2、下列命題是否正確，為什么？（1）兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合。（2）兩個(gè)不重合的平面，如果有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么其他公共點(diǎn)都在直線上。（3）四條邊相等的四邊形是菱形。（4）梯形一定是平面圖形。（5）一個(gè)面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線，這個(gè)面一定

4、是平面。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。例3、下列條件各能確定幾個(gè)平面？（1）空間不在同一平面的四點(diǎn)。（2）過(guò)同一點(diǎn)所作的三條直線。（3）空間兩兩平行的四條直線。（4）一條直線和直線外不共線的三個(gè)點(diǎn)。解：（1）4個(gè)；（2）1個(gè)或3個(gè)；（3）1個(gè)，4個(gè)或6個(gè)；（4）1個(gè)，3個(gè)或4個(gè)。例4、已知直線及平面，下列命題中：（1）； （2）；（3）； （4）。正確命題的序號(hào)為 。解：（4）例5、（1）一個(gè)平面把空間分成幾個(gè)部分？（2）二個(gè)平面把空間分成幾個(gè)部分？（3）三個(gè)平面把空間分成幾個(gè)部分？解：（1）2個(gè)；（2）3個(gè)或4個(gè)；（3）4個(gè)，6個(gè)，7個(gè)或8個(gè)。例6、已知點(diǎn)直線，點(diǎn)，求證：直線共

5、面。例7、證明：如果一條直線與兩條平行線都相交，那么這三條直線共面。例8、已知直線，直線與直線分別交于，求證：直線共面。證明：因?yàn)?，所以確定一個(gè)平面（推論3），而，即三直線共面，同理三線共面，又為相交直線，直線只能確定一個(gè)平面，所以直線所在平面與直線所在平面為同一平面，即直線共面。例9、分別是正方體的棱的中點(diǎn)。求證：四點(diǎn)共面。例10、在正方體中，若直線與平面交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線。證明：連結(jié)，確定平面，又，又，而，根據(jù)公理二，即三點(diǎn)共線。例11、畫(huà)出下圖中，過(guò)三點(diǎn)的平面與其他平面的交線：解：設(shè)，連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面，平面。例12、如圖，已知，求作直線與平面的交點(diǎn)。解：，確定平面，又因?yàn)?，?/p>

6、以，同理。在平面中與不平行，設(shè)它們交于點(diǎn)。又，所以為直線與平面的交點(diǎn)。14、2 空間直線與直線的位置關(guān)系1、空間兩直線的位置關(guān)系（1）平行在同一個(gè)平面內(nèi)，無(wú)公共點(diǎn)；（2）相交在同一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，無(wú)公共點(diǎn)。2、公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行集合語(yǔ)言：若，則例1、在長(zhǎng)方體的面內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在面內(nèi)作一條直線和平行，應(yīng)該如何畫(huà)，并說(shuō)明理由。畫(huà)法：連結(jié)，過(guò)點(diǎn)在面內(nèi)作一條直線，則即為所求直線。證明：因?yàn)?，又因?yàn)?，所以為平行四邊形，所以，根?jù)公理4，。3、定理1（等角定理）：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。已知直線

7、相交于點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，且，求證：所成的銳角（或直角）與所成的銳角（或直角）相等。證明：在直線上分別取點(diǎn)，使，因?yàn)?，所以在所確定的平面上過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，位平行四邊形，；在平行直線所確定的平面上過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，同理可證。又和，四邊形為平行四邊形，所以，則，即。例2、如圖，在正方體中，連結(jié)，求證：。證明：在上取一點(diǎn)，使，連，為平行四邊形，又，為平行四邊形，為平行四邊形，所以，同理，由等角定理，有。練習(xí)：如圖，已知，且不在同一平面上，求證：。4、異面直線的位置畫(huà)法：5、異面直線的證明通常用反證法。6、異面直線所成角設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)分別作直線，使得，則直線與所成的銳角（或直角

8、）叫做異面直線所成角。異面直線所成角范圍是；兩條直線所成角范圍是，當(dāng)兩直線平行或重合時(shí)，所成角為0。若兩條異面直線所成角為，我們就說(shuō)這兩條直線垂直。例3、判斷下列命題正確于否？（1）空間不相交的兩條直線是異面直線；（2）分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是異面直線；（3）某平面內(nèi)一條直線及此平面外的一條直線是異面直線；（4）過(guò)異面直線外一點(diǎn)，必可作兩條直線，使得。解：（1）；（2）；（3）；（4）。例4、在正方體中，（1）和棱異面的棱有哪幾條？（2）和對(duì)角線成異面直線的棱有幾條？ （3）在12條棱中有幾對(duì)異面直線？ 解：（1），4條；（2）6條；（3）24對(duì)。例5、已知直線與平面相交于點(diǎn)，直線，且，求

9、證：直線和是異面直線。證明：假設(shè)直線和不是異面直線，設(shè)和都在平面上，因?yàn)辄c(diǎn)與直線既在上，又在上，由推論1，與重合，所以直線在平面上，這與直線與平面相交矛盾，所以假設(shè)不成立，所以直線和是異面直線。例6、已知直線與是異面直線，直線，且與不相交，求證：與為異面直線。證明：假設(shè)與不是異面直線，則與共面，又與不相交，而，由公理四有，這與直線與是異面直線矛盾，所以假設(shè)不成立，即與為異面直線。例7、在正方體中，分別為的中點(diǎn)，求異面直線和所成角大小。證明：過(guò)作交于，則（或其補(bǔ)角）為和所成的角，連結(jié)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，在中，由余弦定理有，所以和所成角為。例8、在長(zhǎng)方體中，求異面直線和所成角的大小。證明：延長(zhǎng)

10、至點(diǎn)，使，連結(jié)，所以（或其補(bǔ)角）是和所成的角。因?yàn)椋詾槠叫兴倪呅?，在中，由余弦定理有，所以異面直線和所成角為。例9、在空間四邊形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)求異面直線與所成角的大小；(2)求異面直線與所成角的大小。證明：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成角，在中，由余弦定理有：，所以異面直線與所成角為。（2）。14、3 空間直線與平面的位置關(guān)系1、空間直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)。（2）直線與平面相交一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線與平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)2、直線與平面垂直的定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。 若直線

11、與平面互相垂直，則記為，直線叫做平面的垂線，與平面的交點(diǎn)叫做垂足。3、直線與平面垂直的判定：定理2：如果直線與平面上的兩條相交直線都垂直，那么直線與平面垂直。（證明不作要求）4、空間圖形中的有關(guān)距離：（1）點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)，引直線的垂線，該點(diǎn)與垂足間的距離叫做點(diǎn)到直線距離；（2）點(diǎn)到平面的距離：過(guò)平面外一點(diǎn)，引平面的垂線，該點(diǎn)與垂足間的距離叫做點(diǎn)到平面的距離；（3）直線到平面的距離：若一條直線平行于一個(gè)平面，在直線上任取一點(diǎn)，把該點(diǎn)到平面的距離叫做該直線到這個(gè)平面的距離；（4）平面到平面的距離：若兩個(gè)平面互相平行，在其中一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，把該點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離叫做這兩個(gè)平面間的

12、距離；（5）異面直線距離：與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，異面直線的公垂線在兩條異面直線上的垂足間的距離叫做這兩條異面直線間的距離。例1、判斷下列命題是否正確：（1）一條直線與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直，這條直線就垂直于這個(gè)平面。（2）一條直線垂直于一個(gè)平面，它就與這個(gè)平面內(nèi)任意一條直線垂直。（3）一條直線不垂直于一個(gè)平面，那么它與這個(gè)平面內(nèi)的所有直線都不垂直。（4）一條直線與平面內(nèi)的某條直線不垂直，那么不垂直于。解：（1）；（2）；（3）；（4）。例2、求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。已知直線，直線，求證：直線。證明：在平面任意

13、取一條直線，因?yàn)橹本€，由線面垂直的定義知道，又因?yàn)?，所以，由的任意性及線面垂直的定義得到。例3、在正方體，求證：。證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，而，所以，又因?yàn)椋?。?、已知，垂足分別為，求證：。證明：因?yàn)?，所以，同理，所以，又因?yàn)椋?。?、已知長(zhǎng)方體的棱的長(zhǎng)分別為3，4，5。（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的距離；（2）求點(diǎn)到棱的距離；（3）求棱和平面的距離；（4）求異面直線和的距離。解：（1）；（2）5；（3）3；（4）3。例6、在棱長(zhǎng)為1的正方體中，（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）求直線和平面的距離；（3）求異面直線和的距離；（4）求異面直線和的距離解：（1）連結(jié)，又，過(guò)作于，為斜邊上的高，所以點(diǎn)

14、到直線的距離為。（2）過(guò)作于，又，所以，直線和平面的距離為。（3）過(guò)作于，仿（2）可以證明，所以為異面直線和的公垂線段，異面直線和的距離為。（4）例7、在中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為9，12，平面，求到斜邊的距離。解：過(guò)作于，連，所以，即為到斜邊的距離。又因?yàn)?，所以，即到斜邊的距離為。例8、已知邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線長(zhǎng)為8的菱形，它的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)，沿將面折起，使之成為空間四邊形，求：（1）點(diǎn)到平面的距離；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離。解：（1），為點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為3。（2）當(dāng)時(shí)，為邊長(zhǎng)為4的正三角形，過(guò)作于，因?yàn)?，所以，因而，就是點(diǎn)到平面的距離，而，所以點(diǎn)到平面的距離為。5

15、、斜線一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，稱這條直線和這個(gè)平面斜交。和平面斜交的直線叫做這個(gè)平面的斜線。斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足。6、直線和平面所成角如圖，直線是平面的一條斜線，斜足為，斜線上一點(diǎn)在平面上的射影為，則直線是斜線在平面上的射影。平面的斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線與這個(gè)平面所成的角。由定義可知：斜線與平面所成角的范圍為。規(guī)定：直線與平面垂直時(shí)，它們的所成角為；直線與平面平行（或直線在平面內(nèi)）時(shí)，它們的所成角為0。這樣，直線與平面所成角的范圍為。例9、正方體的棱長(zhǎng)為。（1）求直線與平面所成角的大??；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）若為棱的中點(diǎn)，求與平面所

16、成角的大小；（4）求直線與平面所成角的大小。解：（1），為在平面上的射影，所以為直線與平面所成角，等于。（2）由（1），所以是在平面平面上的射影，所以為直線與平面所成角，又因?yàn)椋?，即直線與平面所成角。（3）過(guò)作于，仿（1）可證，所以，所以，就是在平面上的射影，為與平面所成角，。（4）過(guò)作于，連結(jié)，仿（1）可證，所以，所以，就是直線在平面上的射影，所以為直線與平面所成角，。例10、在中，為中點(diǎn)，平面，若與平面所成角分別為，求與平面所成角的大小。解：因?yàn)?，所以，設(shè)，則，又因?yàn)?，所以，為中點(diǎn)，所以，在中，又因?yàn)?，在平面上射影為，就是與平面所成角，所以。練習(xí)：1已知長(zhǎng)方體中，求：（1）與平面所成角

17、的大?。唬?）與平面所成角的大??；（3）與平面所成角的大小。解：（1）；（2）；（3）。2直角梯形中，且。求：（1）和所成角的大?。唬?）和平面所成角的大小。解：和所成角分別為；和平面所成角為。7、直線與平面平行的判定：定理3：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線就和這個(gè)平面平行。已知直線在平面外，直線，求證：。證明：假設(shè)直線不平行于平面，在平面外，又，由推論三可以確定一個(gè)平面，由有，所以，所以，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以。8、直線與平面平行的性質(zhì)：定理4：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行。已知直線，平面，求證：。證

18、明：假設(shè)直線與不平行，與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，所以直線與平面有公共點(diǎn)，這與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以。例11、判斷下列命題是否正確：（1）已知兩條直線，則必平行于過(guò)的一切平面。（2）過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線平行于該平面。（3）直線與平面不相交，則。（4）平行于同一平面的兩條直線平行。（5）已知直線平行于平面，那么直線平行于平面內(nèi)的所有直線。（6）兩條平行線中的一條平行于一個(gè)平面，則另一條也平行于這個(gè)平面。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。例12、在正方體中，求證：直線。證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，而在平面外，所以。?3、在空間四邊形中，分

19、別是的中點(diǎn)，求證：。證明：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以，同理。?4、空間四邊形ABCD中，分別是在AB、BC、CD上，且滿足，過(guò)的平面交于，連接。（1）求；（2）求證：三線共點(diǎn)。例15、已知平面，且，求證：且。證明：不在平面，而，又因?yàn)?，所以，而，所以，即互相平行?4、4 空間的平面與平面的位置關(guān)系1、兩個(gè)平面的位置關(guān)系：（1）兩平面相交有一條公共直線；（2）兩平面平行兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)。2、二面角的定義：一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的畫(huà)法如上圖所示，分別記為，及。3、二面角的平面角：以二面角的棱

20、上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，根據(jù)二面角的平面角的定義，二面角的范圍為。4、二面角大小的求法： 解決二面角問(wèn)題關(guān)鍵是確定二面角的平面角位置，并通過(guò)計(jì)算求出二面角平面角的大小。例1已知正方體。（1）求二面角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，求二面角的大小。證明：（1）取中點(diǎn)，連，都是等腰三角形，是二面角的一個(gè)平面角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，為，所以，即二面角為。（2）連，為等腰三角形，為二面角的平面角，在中，所以，即二面角為。例2已知為正方形所在平面外一點(diǎn)，求：（1）二面角的大小；（2）二面角的大??；（3）二面角的

21、大?。唬?）二面角的大?。唬?）二面角的大?。唬?）二面角的大小。解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）取中點(diǎn)，連結(jié)，都是等腰三角形，為二面角的平面角，又，即二面角為。（6）過(guò)作于，連結(jié)，由對(duì)稱性，所以為二面角的平面角，在中，由余弦定理，所以，即二面角為。例3在二面角的棱上一點(diǎn)，在平面內(nèi)作射線，在平面內(nèi)作射線，已知，求二面角的大小。解：設(shè)，過(guò)點(diǎn)在平面作交于，在平面內(nèi)作交于，連結(jié)，由作法知道為二面角的平面角。因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，在中，所以，即二面角為。?一個(gè)斜坡和水平面成的二面角，沿斜坡內(nèi)一條與坡腳成的直路前進(jìn)了100米，問(wèn)升高了多少米？已知，二面角為，求點(diǎn)到平面的距離。解：過(guò)作于，所以為點(diǎn)到平面的距離。過(guò)作于，連結(jié)，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，為二面角的平面角，所以點(diǎn)到平面的距離為。5、兩個(gè)平面平行的判定：定理5：如果一個(gè)平