1、高三寒假復(fù)習(xí)講義第九章直線和圓的方程第1講直線的方程和兩條直線的位置關(guān)系1表示直線方向的兩個(gè)量(1)直線的傾斜角定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)(取x軸作為基準(zhǔn))，x軸正方向與直線l向上方向之間所成的角范圍：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0，故直線的傾斜角的取值范圍為0180.(2)直線的斜率定義：當(dāng)90時(shí)，tan表示直線l的斜率，用k表示，即ktan；當(dāng)90時(shí)，直線l的斜率k不存在計(jì)算公式：給定兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，經(jīng)過P1，P2兩點(diǎn)的直線的斜率公式為k.2直線方程的形式及適用條件注意點(diǎn)對(duì)直線的傾斜角和斜率的理解每條直線都有唯一的

2、傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率；傾斜角和斜率都是反映直線相對(duì)于x軸正方向的傾斜程度在設(shè)直線的斜率為k時(shí)，就是默認(rèn)了直線的斜率存在注意檢驗(yàn)當(dāng)斜率不存在時(shí)是否符合題意. 1思維辨析(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率()(3)在平面直角坐標(biāo)系下，任何直線都有點(diǎn)斜式方程()(4)任何直線方程都能寫成一般形式()答案(1)(2)(3)(4)2如圖中的直線l1、l2、l3的斜率分別為k1、k2、k3，則()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析直線l1的傾斜角1是鈍角，故k13，所以0k3k2，因此k1k3k2，

3、故選D.3過點(diǎn)M(1，2)的直線與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，若M恰為線段PQ的中點(diǎn)，則直線PQ的方程為()A2xy0 B2xy40Cx2y30 Dx2y50答案B解析設(shè)P(x0,0)，Q(0，y0)，M(1，2)為線段PQ中點(diǎn)，x02，y04，直線PQ的方程為1.即2xy40.考法綜述高考中對(duì)直線方程的考查，一種常見方式是求曲線的切線方程，也可能與其他知識(shí)(如圓錐曲線、圓)綜合考查，難度中低檔求直線方程的一種重要方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫做待定系數(shù)法運(yùn)用此方法，要注意各種形式的方程的適用條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式至關(guān)重要命題法求直線的斜率、傾斜角及方程典例(

4、1)直線xsiny10的傾斜角的變化范圍是()A. B(0，)C. D.(2)根據(jù)所給條件求直線的方程直線過點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為；直線過點(diǎn)(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；直線過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5.解析(1)直線xsiny10的斜率是ksin，又1sin1，1k1，當(dāng)0k1時(shí)，傾斜角的范圍是；當(dāng)1k0時(shí)，傾斜角的范圍是.(2)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式設(shè)傾斜角為，則sin(00)交于M，N兩點(diǎn)(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPMOPN？說明理由解(1)由題設(shè)可得M(2，a)，N(

5、2，a)，或M(2，a)，N(2，a)又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，所以C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，所以C在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0，b)為符合題意的點(diǎn)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PM，PN的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPMOPN，所以點(diǎn)P(0，a)符合題意資*源%庫 ziyua

6、1兩條直線的位置關(guān)系2兩直線相交交點(diǎn)：直線l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng)相交方程組有唯一解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；平行方程組無解；重合方程組有無數(shù)個(gè)解3距離4對(duì)稱問題包括中心對(duì)稱和軸對(duì)稱(1)中心對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：若點(diǎn)M(x1，y1)與N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得進(jìn)而求解直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題的主要解法：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用l1l2，由點(diǎn)斜式得到所求的直線方程(2)軸對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y

7、1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：AxByC0對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，且連接P1P2的直線垂直于對(duì)稱軸l，由方程組可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中A0，x1x2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱：a.若已知直線l1與對(duì)稱軸l相交，則交點(diǎn)必在與l1對(duì)稱的直線l2上，然后再求出l1上任一個(gè)已知點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)P2，那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn)P2的直線就是l2；b.若已知直線l1與對(duì)稱軸l平行，則與l1對(duì)稱的直線和l1分別到直線l的距離相等，由平行直線系和兩條平行線間的距離即可求出l1的對(duì)稱直線$來&源：注意點(diǎn)判斷兩直線位置關(guān)系及求距離時(shí)注意事項(xiàng)(

8、1)兩條不重合直線平行時(shí)，不要忘記兩直線的斜率都不存在的情況；判定兩條直線垂直時(shí)，不要忘記一條直線斜率不存在，同時(shí)另一條直線斜率等于零的情況(2)使用點(diǎn)到直線的距離公式前必須將直線方程化為一般式；使用兩平行線間的距離公式前一定要把兩直線中x，y的系數(shù)化成分別相等的.1思維辨析(1)若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交()(2)點(diǎn)P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.()(3)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離()(4)兩平行線間的距離是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的距離，也可以看作是兩條直線上各取一點(diǎn)的最短距離()(5)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：ykxb(k0)對(duì)稱，

9、則直線AB的斜率等于，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上()(6)當(dāng)直線l1，l2斜率都存在時(shí)，若k1k2，則l1l2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(1)已知過點(diǎn)A(2，m)和B(m,4)的直線與直線2xy10平行，則m的值為()A0 B8C2 D10(2)直線Ax3yC0與直線2x3y40的交點(diǎn)在y軸上，則C的值為_答案(1)B(2)4解析(1)由于kAB2(m2)，則m8.(2)因?yàn)閮芍本€的交點(diǎn)在y軸上，所以點(diǎn)在第一條直線上，所以C4.3直線x2y10關(guān)于x3對(duì)稱的直線方程為_答案x2y70解析設(shè)M(x，y)為所求直線上的任意一點(diǎn)，則其關(guān)于x3對(duì)稱的點(diǎn)為(6x，y)，從而有6x2

10、y10，即x2y70，所以直線x2y10關(guān)于x3對(duì)稱的直線方程為x2y70.考法綜述高考要求能根據(jù)直線方程判斷兩條直線的位置關(guān)系，利用平行或垂直求其中一條直線的方程或參數(shù)的取值范圍，考查用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，求距離和對(duì)稱問題等命題法1兩條直線的平行、垂直關(guān)系、距離的計(jì)算典例1(1)已知兩直線l1：ax2y60和l2：x(a1)y(a21)0.若l1l2，求實(shí)數(shù)a的值；試判斷l(xiāng)1與l2是否平行(2)已知點(diǎn)P(2，1)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？解(1)由直線l1的方程知其斜率為，當(dāng)a1時(shí)，直線l2的斜率不存在

11、，l1與l2不垂直；當(dāng)a1時(shí)，直線l2的斜率為.$來&源：由1a.故所求實(shí)數(shù)a的值為.由知，當(dāng)a1時(shí)，l1、l2相交，當(dāng)a1時(shí)，直線l1的斜率為，直線l2的斜率為.由l1l2可得，解得a1或a2.當(dāng)a2時(shí)，l1的方程為xy30，l2的方程為xy30，顯然l1與l2重合當(dāng)a1時(shí)，l1的方程為x2y60，l2的方程為x2y0，顯然l1與l2平行所以，當(dāng)a1時(shí)，l1l2；當(dāng)a2時(shí)，l1與l2重合；當(dāng)a1且a2時(shí)，l1與l2不平行(2)過P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)，可見，過P(2，1)且垂直于x軸的直線滿足條件，此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x2.若斜率存

12、在，設(shè)l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此時(shí)l的方程為3x4y100.綜上，可得直線l的方程為x2或3x4y100.作圖可得過P點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，如圖由lOP，得klkOP1.所以kl2.由直線方程的點(diǎn)斜式得y12(x2)，即2xy50.即直線2xy50是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為.【解題法】兩直線位置關(guān)系問題的解題策略(1)充分掌握兩直線平行與垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線l1和l2，l1l2k1k2，l1l2k1k21.若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是否存在一定要

13、特別注意(2)若直線l1和l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，則直線l1l2的充分條件是k1k21.設(shè)l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.則l1l2A1A2B1B20.命題法2與直線有關(guān)的對(duì)稱問題典例2已知直線l：2x3y10，點(diǎn)A(1，2)求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l的方程解(1)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m，n)，由已知可得解得即A.(2)在直線m上取一點(diǎn)，如B(2,0)，則B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)必在m上，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為B(a，b)，則由得B.設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，由得N

14、(4,3)又m過N點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得直線m的方程為，資*源%庫 即9x46y1020.(3)解法一：在l：2x3y10上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M，N均在直線l上易知M(3，5)，N(6，7)，由兩點(diǎn)式可得l的方程為2x3y90.解法二：設(shè)直線l關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱直線l上的任意一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(1，2)的對(duì)稱點(diǎn)P(2x，4y)，點(diǎn)P在直線l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.【解題法】對(duì)稱問題的解題策略(1)解決中心對(duì)稱問題的關(guān)鍵在于運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，而解決軸對(duì)稱問題，一般是轉(zhuǎn)化為求對(duì)稱點(diǎn)的問題，在求對(duì)稱

15、點(diǎn)時(shí)，關(guān)鍵是抓住兩點(diǎn)：一是兩對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是兩對(duì)稱點(diǎn)的中心在對(duì)稱軸上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一個(gè)方程，由“平分”列出一個(gè)方程，聯(lián)立求解(2)光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點(diǎn)，這樣就有兩種對(duì)稱關(guān)系，一是入射光線與反射光線關(guān)于過反射點(diǎn)且與反射軸垂直的直線(法線)對(duì)稱，二是入射光線與反射光線所在直線關(guān)于反射軸對(duì)稱1.平行于直線2xy10且與圓x2y25相切的直線的方程是()A2xy50或2xy50B2xy0或2xy0C2xy50或2xy50D2xy0或2xy0答案A解析設(shè)所求直線的方程為2xyc0(c1)，則，所以c5，故所求直線的方程為2xy50或2xy50.2已

16、知點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直線yaxb(a0)將ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是()A(0,1) B.C. D.答案B解析(1)當(dāng)直線yaxb與AB，BC相交時(shí)(如圖1)，由得yE，又易知xD，|BD|1，由SDBE，得b.(2)當(dāng)直線yaxb與AC，BC相交時(shí)(如圖2)，由SFCG(xGxF)|CM|，得b1(0a0恒成立，b，即b.故選B.3已知點(diǎn)O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB為直角三角形，則必有()Aba3Bba3C(ba3)0D|ba3|0答案C解析若OAB為直角三角形，則A90或B90.當(dāng)A90時(shí)，有ba3；當(dāng)B90時(shí)，有1，得b

17、a3.故(ba3)0，選C.4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_答案3解析yax2，y2ax，由題意可得$來&源：解得ab3.5設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_答案5解析易知A(0,0)，B(1,3)，且PAPB，|PA|2|PB|2|AB|210.|PA|PB|5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)取“”)(1)過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為_(2)直線l：ax(a1)y20的

18、傾斜角大于45，則a的取值范圍是_錯(cuò)解錯(cuò)因分析處忽略截距為“0”的情況，導(dǎo)致求解時(shí)漏掉直線方程3x2y0而致錯(cuò)處忽視與x軸垂直的特殊情況，此時(shí)直線的斜率不存在，但傾斜角為90，從而導(dǎo)致漏解正解(1)當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為1，即xya0.點(diǎn)P(2,3)在直線l上，23a0，a1，此時(shí)所求直線l的方程為xy10.當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為ykx，則有32k，即k，此時(shí)直線l的方程為yx，即3x2y0.綜上，直線l的方程為xy10或3x2y0.(2)當(dāng)a1時(shí)，直線l的傾斜角為90，符合要求；當(dāng)a1時(shí)，直線l的斜率為，只要1或0即可，解得1a或a0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，)答

19、案(1)xy10或3x2y0(2)(0，)心得體會(huì)時(shí)間：50分鐘基礎(chǔ)組1.2016棗強(qiáng)中學(xué)熱身已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()Ayx2 Byx2Cyx Dyx2答案A解析直線x2y40的斜率為，直線l在y軸上截距為2，直線l的方程為yx2，故選A.22016衡水中學(xué)猜題設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)是P，且傾斜角為，若將此直線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45，得到直線的傾斜角為45，則()A0180 B0135C0180 D0135答案D解析01，且n1 Bmn0，且n0 Dm0，且n0，0，n0，但此為充要條件，因此，其必要不充分條件為mnkA1F，

20、即kFD(4，)12. 2016武邑中學(xué)猜題設(shè)直線l的方程為(a1)xy2a0(aR)(1)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)若a1，直線l與x、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求OMN面積取最小值時(shí)，直線l的方程解(1)當(dāng)直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，此時(shí)a20，解得a2，此時(shí)直線l的方程為xy0，即xy0；當(dāng)直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，即a2且a1時(shí)，由直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可得2a，解得a0，此時(shí)直線l的方程為xy20.所以直線l的方程為xy0或xy20.(2)由直線方程可得M，N(0，2a)，因?yàn)閍1，所以SOMN(2a)2，當(dāng)且僅當(dāng)a1

21、，即a0時(shí)等號(hào)成立此時(shí)直線l的方程為xy20.能力組13.2016冀州中學(xué)仿真已知A、B兩點(diǎn)分別在兩條互相垂直的直線2xy0和xay0上，且AB線段的中點(diǎn)為P，則線段AB的長為()A11 B10C9 D8答案B解析依題意，a2，P(0,5)，設(shè)A(x,2x)、B(2y，y)，故則A(4,8)、B(4,2)，|AB|10，故選B.資*源%庫14. 2016武邑中學(xué)預(yù)測l1，l2是分別經(jīng)過A(1,1)，B(0，1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)l1，l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是_答案x2y30解析當(dāng)兩條平行直線與A、B兩點(diǎn)連線垂直時(shí)，兩條平行直線間的距離最大因?yàn)閗AB2，所以兩條平行直線的斜率為，

22、所以直線l1的方程是y1(x1)，即x2y30.152016衡水二中模擬已知直線：xy1(a，b為給定的正常數(shù)，為參數(shù)，0,2)構(gòu)成的集合為S，給出下列命題：當(dāng)時(shí)，S中直線的斜率為；S中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；當(dāng)ab時(shí)，存在某個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)到S中的所有直線的距離均相等；當(dāng)ab時(shí)，S中的兩條平行直線間的距離的最小值為2b；S中的所有直線可覆蓋整個(gè)平面其中正確的是_(寫出所有正確命題的編號(hào))答案解析直線方程可化為bsinxacosyab.當(dāng)時(shí)，S中直線的斜率為，故錯(cuò)誤；由直線方程易知所有直線不經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，故錯(cuò)誤；當(dāng)ab時(shí)，直線方程為sinxcosya，顯然原點(diǎn)(0,0)到直線的距離da(定值)，故正確；設(shè)兩平行直線為bsin1xacos1yab0，