1、問題81設(shè)過立方體ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC的中點e、f為截面，截面和底面ABCD所成的角為450，則該截面的形狀為()a、三角形或五邊形b、三角形或六邊形c、六邊形d、三角形或四邊形(第六屆第一次第二次第五題)甲組聯(lián)賽乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1c1.c1d1.d1P1o.oef.fg解很明顯，有與棱BB1交叉的截面。 這個截面是三角形。 若設(shè)D1截面和底面所成的角為，則容易求出tanD1GD=，因此為450，另外，若設(shè)A1、C1的截面和底面所成的角為，則容易求出tan=tano1go=1，因此另一個截面應(yīng)與A1D1、D1C1相交(但是，其端點除外)，形狀為六邊形，因此b為解決

2、這一問題的關(guān)鍵在于可以理解如何要求強(qiáng)空間想象力和確定截面形狀。 如果截面與棱DD1相交，則截面為五邊形，截面與棱A1D1、D1C1交叉情況下(其中，除了其端點)，如果截面為六邊形的截面與棱A1B1、B1C1一起相交(其中，僅點B1 )，則截面為四邊形.如果為了考察其他截面是否與DD1相交，只考慮點D1的截面與底面所成的角的大小，則在得到450后，截面為六邊形的理由不充分根據(jù)上述的解法和分析，如果考慮到截面超過點B1時，截面和底面所成的角為arctan，截面超過A1C1時，截面和底面所成的角相等，則如下結(jié)論：以過立方體ABCDA1B1C1D1的棱AB、BC的中點e、f為截面，截面和底面ABCD所

3、成的角為(0)當(dāng)時，截面的形狀為三角形或五角形當(dāng)時，截面的形狀是三角形或六邊形當(dāng)時，截面的形狀是三角形或四邊形在arctan時，截面形狀為四邊形.在問題82立方體中，的中點、的中點，與異面直線所成的角的馀弦值為()a、b、c、d、(第15屆高中第2考試第9題)A1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1c1.c1d1.d1o.oef.f圖1解法1如圖1所示，若取中點、連接，則為所以的角，若設(shè)立方體的太陽長為1，則為、A1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1c1.c1d1.d1gef.f圖2解法2如圖2所示，取立方體面的中心，連接.易證，且四邊形為平行四邊形，為角。 如果立方體的奧桑長度為1，可以很容易地求出。

4、 那么，我們可以從馀弦定理中得到A1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1c1.c1d1.d1yxz軸f.f圖3e選擇b解法3如圖3所示構(gòu)建空間正交坐標(biāo)系。 如果把立方體的奧巴馬長設(shè)為1所以，選擇b用幾何法評價異面直線所成的角，一般通過使其一個或兩個直線移動，變換為交叉直線所成的角，例如，正題解法1直線移動，解法2直線移動，然后，通過解三角形求該角(經(jīng)常是正弦定理、馀弦定理、匹配定理及其逆定理) 用向量法求異面直線所成角，只要利用公式，把幾何問題轉(zhuǎn)換成向量運算，一般比幾何法簡單。問題83多面體表面上三個以上平面的共同點稱為多面體的頂點，在一個平面上切一個n角柱，切一個三角錐，其馀的多面體頂點數(shù)為()a

5、、b、c、d、(第四批第一批第二批第十題)解法1 n棱柱有頂點，用平面切三角錐的話，可以分為以下6種情況(圖16 )。圖1圖2圖3圖6圖4圖5在圖4、圖6所示的狀況中殘留有頂點圖5的情況下，留下了頂點圖2、圖3情況下，剩馀的頂點在圖1的情況下，保留下一個頂點。 選擇b解法2如圖16所示，設(shè)=4，則四角柱有8個頂點，在截斷一個三角錐后圖4、圖6情況下，剩下的8個頂點圖5情況下，剩下的7個頂點圖2、圖3情況下，剩下的9個頂點在圖1情況下，剩下10個頂點剩下的頂點數(shù)共計說明4種不同的情況，對照選項，知道選項b解決這個問題的關(guān)鍵是，明確切一個三角錐的狀況，實際上有四種情況1 .截面不過是任何頂點(圖1

6、 )，此時頂點增加了2個2 .截面只有一個頂點(圖2、3 )，這時頂點增加了一個3 .截面只有兩個頂點(圖4、6 )，但是此時，頂點數(shù)不增減4 .截面越過三個頂點(圖5 )，此時頂點減少了一個解法2從這4種狀況判斷頂點數(shù)有4種，選擇b更簡單引用這個問題的話，有以下問題在一個平面上切割方柱，切割三角柱，剩下的多面體的頂點數(shù)是_ _ _ _ _ _ _，面數(shù)是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ u分析：根據(jù)問題，斷面與橫棱平行或只有一條(或兩條)，因此一共分為三種情況1、

7、截面不過是橫棱，在這種情況下，頂點增加了2個，面的數(shù)量增加了1個2 .斷面有一條側(cè)棱時，頂點數(shù)不變，面數(shù)不變3 .截面越過兩條側(cè)棱，此時頂點減少了兩個，面的數(shù)量減少了一個棱柱的頂點數(shù)，因為已知面的數(shù)量是，或或者在問題84長方體中，過截面面積是求出的最小值，表示取最小值時的截面的位置(即，截面與關(guān)系棱的交點的位置) .(第五回第一回第二回第二十二問)解截面可以是矩形，也可以是平行四邊形A1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1c1.c1d1.d1圖1截面為矩形，它們的面積分別記為求出的最小值不需要考慮截面。 圖1顯示了截面的示意圖截面為平行四邊形，有三個位置：(參照圖2、3、4 )，作為它們的C1d1.

8、d1sA1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1圖4rd1.d1q.qA1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1c1.c1圖3pd1.d1f.fA1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1c1.c1圖2e面積分別在截面上.在(圖5 )中為一定值，因此取最小值時有最小值.如果是異面直線垂線，則有最小值.該最小值是到平面的距離，即中斜邊的高度.H1d1.d1f.fA1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1c1.c1圖5e.同樣地我注意到了c1.c1d1.d1sA1乙級聯(lián)賽c.c德. dA1B1圖6r另外，如果知道最小值，則將截面面積設(shè)為(參照圖6 ) .那么，當(dāng)在某個平面內(nèi)(圖7 )設(shè)為、交叉、中、交叉時，可知是C1m乙級聯(lián)賽c.

9、c德. dA1B1圖7r甲組聯(lián)賽nd1.d1.在平面內(nèi)，若設(shè)為、交叉，表示截面與棱的交點滿足，點已確定.同樣地，點在上方，這樣截面就完全確定了.評價和解決這個問題需要解決幾個重要問題。 一是斷面的情況有幾種？ 第二，每種情況下的截面積是多少？ 三是如何確定這些面積的大小關(guān)系；四是如何確定截面在取最小值時的位置斷面的情況分為兩種(矩形和平行四邊形)，各種類型比較三種面積的大小，再兩種類型比較最小面積的大小，降低難易度，減少運算量。 在兩種比較大小的情況下，變形技術(shù)的運用發(fā)揮了重要的作用。 計算時轉(zhuǎn)換思想：的邊上高度點到面的距離點的距離運用了兩次。 比較大小的情況下，運用了收縮法。所以最小的時候，

10、離點的距離，是中作。 所以，如果相互交叉、相互交叉，為了面，制造面是最小的時候。這個問題要綜合運用分類討論思想，轉(zhuǎn)換思想，改變變形技術(shù)、放縮法等，需要較強(qiáng)的問題分析和解決問題的能力問題85從凸四邊形的對角線交點，形成該四邊形所在平面的垂線的段，最小時的形狀為(第十四屆高二訓(xùn)練問題第67題)x乙級聯(lián)賽c.c德. ds甲組聯(lián)賽o.oy了解，容易得到，設(shè)定，(如圖所示)，所以，那時取等號，那時相同，也就是說，那時，(1)即，因為是時候，所以此時的形狀是平行四邊形.(2)即，因為是時候，所以是不平行的，此時是梯形由此，當(dāng)時是平行四邊形，當(dāng)時是梯形.因為評估的形狀只能從已知條件導(dǎo)出，形狀也僅是由邊與角的

11、關(guān)系決定的，所以運用已知條件將其改變?yōu)樗倪呅蔚倪吅徒堑年P(guān)系是解決問題的關(guān)鍵甲組聯(lián)賽c.c乙級聯(lián)賽ef.f數(shù)碼寶貝mB1A1c1.c1圖1d1.d1由于高度為3，最小時，底面的面積最小，和恒定，所以設(shè)為最小，這成為證明的基礎(chǔ)。 之后，判斷和是否平行，因為這取決于和是否相等，所以進(jìn)行分類研究后，終于變成平行四邊形或梯形。從其他角度來看，形狀只不過是平行四邊形、梯形、菱形、長方形、正方形等中的一種或多種，但是由于各形狀一定是對邊平行，所以首先，應(yīng)該考慮證明對邊平行，即對角線的交點與將對角線分成兩部分的4條線段成比例。標(biāo)題86正三角柱ABCA1B1C1底面的邊和高度都是2cm，超過AB構(gòu)成截面，截面與

12、底面ABC成600角時，截面的面積為(第六屆高一第一考試第30題)如圖1所示，截面ABEF為等腰梯形，d、D1分別為AB、EF的中點，D1DC為截面和底面ABC形成的二面角，D1DC=600 .如果把易證面dc1d 1面ABC、D1MDC設(shè)為m，則D1M面ABC、D1M面ABC、ds截面=甲組聯(lián)賽c.c乙級聯(lián)賽ef.f數(shù)碼寶貝mB1A1c1.c1圖2r解法2如圖2所示，如果截面和側(cè)棱CC1所在的直線與點d相交，則在RtCDM中UR=600，DC=又來了sdef=sdab=cm2因此，s截面=SDAB- SDEF=評價這個問題來源于教科書上的課題。 “正三角柱底面的邊長為4cm，BC為平面和底面

13、為300的二面角，交叉?zhèn)壤鈇a為d，求出AD的長度和截面BCD的面積”的不同在于競爭問題的截面和上底面相交，教科書問題的截面和側(cè)棱相交。 稍不小心，就會誤會這個問題實際上，cosCMC1=由于CMC1600，截面不是三角形而是梯形把擴(kuò)張教科書的練習(xí)問題和本比賽問題結(jié)合起來，把它一般化的話，我們就能得到定理假設(shè)正三角柱ABCA1B1C1的底面邊長為a，高度為h，過AB為三角柱底面所成的角為，則截面的面積S=證明書留給讀者使用這個定理解本比賽的主題：=，所以s斷面=甲組聯(lián)賽c.c乙級聯(lián)賽e數(shù)碼寶貝B1A1c1.c1甲組聯(lián)賽c.c乙級聯(lián)賽e數(shù)碼寶貝B1A1c1.c1如問題87圖所示，正三角柱ABCA

14、1B1C1的所有楔長相等，d是AA1的中點，BC1和CD所成的角，面BCD和面CDB1所成的二面角相等(第11屆高中第2考試第22題)如圖1所示，已知易證DB1向面BCC1 B1內(nèi)的投影是B1E，因為正三角柱的全部奧薩馬長度相等，由于B1CBC1、三垂線定理得到B C1DB1，所以是b1面DCB1，所以BC1CD、b1和CD所成的角為900f.f圖1甲組聯(lián)賽c.c乙級聯(lián)賽e數(shù)碼寶貝B1A1c1.c1如果將e設(shè)為f并設(shè)為EFDC，并將FB連接起來，則BF向面DCB1內(nèi)的投影成為EF，由于從三垂線定理獲得DCBF，所以EFB為二面角B1DCB的平面角mf.f圖2甲組聯(lián)賽c.c乙級聯(lián)賽e數(shù)碼寶貝B1

15、A1c1.c1z軸xy設(shè)正三角柱的各奧薩馬長為2，則在容易求出BE=、DB=DC=、BCD的BC邊的高度為2、BF=22、BF=、RtBEF時求取解法2bc的中點m，以m為原點，制作如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系。 設(shè)正三角柱的各太陽長度為2，則b (0，1，0 )、C1(0，- 1，2 )、C(0，- 1，0 )、d (0，1 )所以=(0，- 2，2 )、=(，1，1 )=0，因此，BC1和CD所成的角為900 由于0，1 )為=(x，y，z-1 )，因為=(x，y-1，z )，所以由于成為BFDC，所以EFB為面BCD和面CDB1形成的二面角EFB=arcsin。另外，通過從已知圖形中發(fā)現(xiàn)d向面BCC1 B 1的投影為e，可以將DB1向面BCC1 B 1的投影設(shè)為B1E，從而可以通過將d向面BCC1 B 1的投影設(shè)為B1E 由于從B1CBC1和三垂線定理得到b1db1，再因為得到b1面DCB1，所