1、學(xué)案4 基本不等式 及應(yīng)用,返回目錄,1.如果a，bR,那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時取“=”）. 2.如果a，b是正數(shù)，那么 （當(dāng)且僅當(dāng) 時取“=”）. 3.通常把 叫做基本不等式.,(a0,b0),a2+b22ab,a=b,a=b,考點分析,返回目錄,設(shè)a，b是正實數(shù)，以下不等式： ; a|a-b|-b;a2+b24ab-3b2;ab+ 2恒成立的序號為（ ） A. B. C. D.,【分析】判斷命題是否成立，即判斷命題的條件是否成立，所給命題是否與基本不等式不矛盾.,考點一 基本不等式,題型分析,返回目錄,【解析】 , ,不恒成立;a，b是正實數(shù)，a+b|a-b|,即a|a-b|-b,恒成立;a2

2、+4b24ab,a2+b24ab-3b2,不恒成立;ab+ 2 =2 2,恒成立. 故應(yīng)選D.,【評析】應(yīng)用均值不等式判斷命題的真假的關(guān)鍵是看是否符合均值不等式的條件，即a2+b22ab成立的條件是a，bR,而 成立的條件是a0且b0.,對應(yīng)演練,若a，b是正數(shù)，則 這四個數(shù)的大小順序是 .,(a，b是正數(shù)， 而 ,又a2+b22ab 2(a2+b2)(a+b)2 , ， 因此 .),返回目錄,（1）設(shè)0x2,求函數(shù) 的最大值； （2）求 +a的取值范圍； （3）已知x0,y0,且x+y=1，求 的最小值.,【分析】（1）中3x與8-3x的和為定值8，故可利用均值不等式求解.（2）中和與積都不

3、是定值，但將 變形為 +（a-4）+4，即可發(fā)現(xiàn) (a-4)=3為定值，但要注意a-4的取值范圍.,考點二 利用基本不等式求最值,返回目錄,返回目錄,【解析】（1）0x2, 03x6,8-3x20, , 當(dāng)且僅當(dāng)3x=8-3x，即x= 時,取等號. 當(dāng)x= , 的最大值是4.,(2)顯然a4,當(dāng)a4時，a-40， +a= +（a-4）+42 +4=2 +4, 當(dāng)且僅當(dāng) =a-4，即a=4+ 時，取等號； 當(dāng)a4時，a-40, +a= +(a-4)+4 =- +(4-a) +4-2 +4 =-2 +4, 當(dāng)且僅當(dāng) =4-a，即a=4-3時，取等號. +a的取值范圍是（-,-2 +42 +4,+)

4、.,返回目錄,返回目錄,(3)x0,y0,且x+y=1， = （x+y） =10+ 10+2 =18. 當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=2y時等號成立， 當(dāng)x= ，y= 時， 有最小值18.,返回目錄,【評析】（1）在利用均值不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時，有時不一定恰好能用上均值不等式，因此還必須對所給的函數(shù)或代數(shù)式進行變形整理，通過湊項的辦法（一般是湊和或者積為定值）構(gòu)造出均值不 等式的形式再進行求解.本題第（2）小題中 +4 雖不是定值，但變形為 +（a-4）+4 即可發(fā)現(xiàn) (a-4)=3為定值，故可用均值不等式求之.分式 函數(shù)求最值，通?；蓎=mg（x）+ +B（A 0,m0,g(x)恒正或恒負(fù)）的

5、形式，然后運用均值不等式來求最值.,（2）第（3）小題要求根據(jù)條件求最值，如何合理利用條件x+y=1是解答本題的關(guān)鍵，方法是在式子上乘以（x+y）.利用均值不等式求最值時，要注意三個條件，即：“一正、二定、三相等”，本題常見的誤解為：x0,y 0, = （x+y）2 2 =16，此法 錯誤的原因是沒有考慮等號成立的條件中 和x=y同 時成立是不可能的.所以在不等式連續(xù)放縮的時候,要時刻注意是否在同一條件下進行放縮,放縮時還要注意有目的性、同向性，不要出現(xiàn)放縮后不能比較大小的情況.在第（2）小題中當(dāng)a4,即a-40時，要用均值不等式必須前面添負(fù)號變?yōu)檎?,返回目錄,返回目錄,對應(yīng)演練,（1）已知

6、x0,y0,且 =1，求x+y的最小值； （2）已知x ,求函數(shù)y=4x-2+ 的最大值； （3）若x，y（0，+）且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.,（1） x0,y0, =1, x+y=(x+y)（ ）= +106+10=16. 當(dāng)且僅當(dāng) 時,上式等號成立, 又 =1,x=4,y=12時,(x+y)min=16.,（2） x ,5-4x0, y=4x-2+ =-（5-4x+ ）+3-2+3=1, 當(dāng)且僅當(dāng)5-4x= , 即x=1時,上式等號成立, 故當(dāng)x=1時,ymax=1.,返回目錄,(3)由2x+8y-xy=0，得2x+8y=xy， ， x+y=（x+y）（ ） =10+ =1

7、0+2（ ）10+22 =18， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即x=2y時取等號， 又2x+8y-xy=0，x=12，y=6， 當(dāng)x=12，y=6時，x+y取最小值18.,返回目錄,返回目錄,【證明】 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 時,取等號.,考點三 利用基本不等式證明不等式,已知a，b，cR+,且a+b+c=1，求證：,【分析】可進行“1的代換”，為使用基本不等式創(chuàng)造條件.,【評析】（1）用好公式 2(a,b同號). （2）“1”的代換技巧.,返回目錄,返回目錄,對應(yīng)演練,已知x0,y0,z0.求證：,證明：x0,y0,z0, （當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時等號成立）,某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200m2 的三級

8、污水處理池（平面圖如圖5-4-1所示）.如果池四周圍墻建造單價為400元/m，中間兩道隔墻建造單價為248元/m，池底建造單價為80元/m2，水池所有墻的厚度忽略不計. (1)試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價. (2)若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16m， 試設(shè)計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價.,考點四 利用基本不等式解應(yīng)用題,返回目錄,返回目錄,【分析】首先把造價表示為某一變量的函數(shù)，再利用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等知識求出最小值.,【解析】設(shè)污水處理池的長為xm,則寬為 m,再設(shè)總造價為y元,則有 (1)y=2x400+ 2400+2482 +

9、80200 =800 x+ +16 000 2 +16 000=280018+16 000 =44 800, 當(dāng)且僅當(dāng)800 x= ， 即x=18m時，y取得最小值. 當(dāng)污水池的長為18m，寬為 m時總造價最低，為44 800元.,返回目錄,返回目錄,（2）0x16,0 16,12.5x16,x18, 不能用基本不等式，但我們可用函數(shù)單調(diào)性定義證明上述目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間12.5,16上是減函數(shù)，從而利用單調(diào)性求得最小值. 由（1）知，y=(x) =800(x+ )+16 000(12.5x16). 對任意x1,x212.5,16,設(shè)x1x2, 則(x1)-(x2)=800 (x1-x2)+324(

10、 ) ,返回目錄,【評析】不等式應(yīng)用的特點是：（1）問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題，如“物價、稅收、銷售、市場信息”等，題目往往篇幅較長.（2）建立函數(shù)模型常見的有“正（反）比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，以及y=ax+ （a0,b0）”等形式.解函數(shù)應(yīng)用題中的最值問題一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式來解決.,(x1)(x2),故y=(x)在12.5,16上為減函數(shù). 從而有(x)(16)=45 000, 當(dāng)污水池的長度為16m，寬為12.5m時有最低總造價，最低總造價為45 000元.,對應(yīng)演練,如圖5-4-2所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面

11、可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成. (1)現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？ (2)若使每間虎籠面積為24m2， 則每間虎籠的長、寬各設(shè)計 為多少時，可使圍成四間虎 籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？,返回目錄,返回目錄,(1)設(shè)每間虎籠長為xm,寬為ym,則由條件得4x+6y=36,即2x+3y=18, 設(shè)每間虎籠面積為S,則S=xy. 解法一:由于2x+3y2 =2 , 2 18,得xy , 即S ，當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時,等號成立. 2x+3y=18 x=4.5 2x=3y, y=3, 故每間虎籠長為4.5m,寬為3m時,可使每間虎籠面積最大.,由,解得

12、,返回目錄,解法二:由2x+3y=18,得x=9- y. x0,00, S 2= . 當(dāng)且僅當(dāng)6-y=y,即y=3時,等號成立,此時x=4.5. 故每間虎籠長4.5m,寬3m時,可使每間虎籠面積最大.,返回目錄,(2)由條件知S=xy=24, 設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l,則l=4x+6y. 解法一:2x+3y2 =2 =24, l=4x+6y=2(2x+3y)48, 當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時,等號成立, 2x=3y x=6 xy=24, y=4. 故每間虎籠長6m,寬4m時,可使鋼筋網(wǎng)總長最小.,由,解得,解法二:由xy=24,得x= , l=4x+6y= +6y=6( +y) 62 =48, 當(dāng)且僅當(dāng) =

13、y,即y=4時,等號成立,此時x=6. 答：每間虎籠長6m,寬4m時,可使鋼筋網(wǎng)總長最小.,返回目錄,返回目錄,1.基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”與將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，在證明或求最值時，要注意這種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 2.創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件 （1） 合理拆分項或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號成立，且每項為正值，必要時出現(xiàn)積為定值或和為定值. （2） 當(dāng)多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性 ， 否則就會出錯， 因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法.,高考專家助教,3.最值的求法 “和定積最大， 積定和最小”即兩個正數(shù)的和為定