1、a,1,33 三角函數(shù)的積化和差與和差化積,a,2,(一)知識(shí)點(diǎn) 1三角函數(shù)的積化和差 2三角函數(shù)的和差化積,a,3,(二)能力 1三角函數(shù)的積化和差與和差化積，這兩種互化，對(duì)于求三角函數(shù)的值、化商三角函數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形，都有重要的作用，它們的作用和地位在三角函數(shù)值的變形中是十分重要的 2積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過程本身也運(yùn)用了許多重要的教學(xué)思想和方法，在課堂教學(xué)中應(yīng)作為重要一環(huán)給予足夠的重視 (三) 方法 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，處處充滿辯證法，和差化積與積化和差看似是一對(duì)矛盾，但它們又處在對(duì)立統(tǒng)一體中，這些公式中，從左到右為積化和差，而從右到左則成為和差化積在實(shí)際應(yīng)用，他們又是相輔相成的

2、.,a,4,三角函數(shù)的積化和差 (一)復(fù)習(xí)和、差角的正弦與余弦公式 sin(+)=sincos+cossin sin(-)=sincos-cossin cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin 所有這些三角公式都是從一個(gè)公式演化而來的，主要是證明了兩角和的余弦函數(shù)公式之后，利用換元法以及誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)之間的關(guān)系等而導(dǎo)出一系列公式來，他們相互之間是有緊密關(guān)系的 和、差、倍、半角的三角函數(shù)是一組十分重要的公式，它們?cè)诮鉀Q三角恒等變換等方面有許多重要應(yīng)用但是，光是這些關(guān)系還不足以解決問題，今天我們還要進(jìn)一步把握它們的內(nèi)在聯(lián)系，尋求新的關(guān)系式 (二)新

3、課 正、余弦的和差角公式,a,5,sin(+)=sincos+cossin(1) sin(-)=sincos-cossing(2) cos(+)=coscos-sinsin(3) cos(-)=coscos+sinsin(4) 請(qǐng)同學(xué)們注意觀察這四個(gè)公式，考慮一下能否利用這些公式得出一些新關(guān)系來 把(1)式與(2)式相加可得 sin(+)+sin(-)=sincos 把(1)式與(2)式相減可得 sin(+)-sin(-)=cossin (3)、(4)兩式作類似的加、減還可以得到： cos(+)+cos(-)=2coscos， cos(+)- cos( -)=-2sinsin 若把這四個(gè)關(guān)系式

4、整理一下，即可得到,a,6,以上這四個(gè)公式的特征是把三角函數(shù)的積的形式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的和、差的形式，我們把上述公式稱為三角函數(shù)的積化和差公式 積化和差公式的功能可以把三角函數(shù)的一種形式(積的形式)轉(zhuǎn)化為另一種形式(和差的形式)，這種轉(zhuǎn)化可以使得一些我們無法解決的問題變成可能解決的問題，它們?cè)谌鞘降淖儞Q中有很重要的作用,a,7,練習(xí) 1求sin20cos70+sin10sin50的值， 2求cos37.5cos22.5的值，,a,8,1sin20cos70+sin10sin50 2 cos37.5cos22.5,a,9,而sin20sin40sin80,a,10,我們知道，每個(gè)數(shù)學(xué)公式都有兩方

5、面的應(yīng)用，即正用與逆用積化和差公式也不例外，那么，積化和差公式的逆用應(yīng)怎么稱呼呢？ 應(yīng)稱為三角函數(shù)的和差化積公式 由三角函數(shù)的積化和差公式的逆用，我們可得以下幾個(gè)公式： sin(+)+sin(-)=2sincos； sin(+)-sin(-)=2cossin； cos(+)+cos(-)=2coscos； cos(+)-cos(-)=-2sinsin 為了突出這組公式是三角函數(shù)的和差化積公式并能方便地記憶，可作如下的換元：,三角函數(shù)的和差化積,a,11,這樣我們就得到如下的三角函數(shù)的和差化積公式 和差化積公式與積化和差公式相反，它可以把三角函數(shù)的和差的形式轉(zhuǎn)化為積的形式，從而獲得問題的解決,a

6、,12,例1 求sin42-cos12+sin54的值 分析：這是三角中常遇到的問題，由于原題是三個(gè)三角函數(shù)的和差形式，自然想到要使用和差化積公式，由于上述問題中現(xiàn)成的同名角函數(shù)為sin42、sin54，因而一般做法是將這二個(gè)函數(shù)做和差化積但本題若采用此法則無后續(xù)手段，問題的解決將十分困難應(yīng)該說這種思考的方向是正確的，但我們不是為和差化積而和差化積，而是為問題的解決而和差化積的，一般地說出現(xiàn)多個(gè)三角函數(shù)的和差時(shí)，應(yīng)選擇能出現(xiàn)特殊角的一組進(jìn)行鑒于此，本題應(yīng)采取下面的解法 解：原式=sin42-sin78+sin54 =-2cos60sin18+sin54 =cos54-sin18 =2sin36

7、sin18,a,13,進(jìn)行到此，本題的化簡(jiǎn)能進(jìn)行下去嗎？ 可試著使用正弦函數(shù)的倍角公式化簡(jiǎn) 2cos36sin18,2,a,14,和差化積公式的左邊全是同名函數(shù)的和或差，只有負(fù)數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的和與差才能直接運(yùn)用公式化成積的形式，如果是一個(gè)正弦與一余弦的和或差必須先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后，再運(yùn)用積化和差公式化成積的形式 無論是和差化積還是積化和差中的“和差”與“積”，都是指得三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是角的關(guān)系，這是必須十分清楚的 三角函數(shù)的和差化積所要求的最后結(jié)果，只要是三角函數(shù)的積的形式就可以了，不求形式上的一致,a,15,習(xí)題 三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)很重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這一節(jié)從介紹三

8、角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象開始逐步深入，學(xué)習(xí)的進(jìn)程高潮迭起，特別是從和、差、倍、半角的三角函數(shù)直到三角函數(shù)的和差化積與積化和差，既充分揭示了三角函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，且每組公式又都有它自身的使用范圍，另外三角函數(shù)這塊內(nèi)容又是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)分支的重要工具，在函數(shù)研究、立體幾何、代數(shù)及解析幾何中都有廣泛的應(yīng)用，學(xué)好三角函數(shù)是學(xué)好其他數(shù)學(xué)分支的重要基礎(chǔ)由于三角公式相當(dāng)多，所以記憶和應(yīng)用就顯得十分重要，安排兩節(jié)習(xí)題課的目的，就是希望通過練習(xí)及比較，能熟練掌握進(jìn)行三角恒等變換的一般方法,a,16,1ABC中，求證cos2A+cos2B+cos2C= -1-4cosAcosBcosC 證明：A、B、C為ABC的三內(nèi)

9、角 A+B+C=，即C=-(A+B) 原式左邊=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1 =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1 =2cos(A+B)cos(A+B)+cos(A-B)-1 =4cos(A+B)cosAcosC-1 =-1-4cosAcosBcosC 2. 求sin 20+cos 50+sin20cos50的值 分析：本題有兩個(gè)平方式，遇到三角函數(shù)的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次處理,2,2,a,17,(當(dāng)然也可以把它們視為二個(gè)三角函數(shù)的積做積化和差) 作了如下處理后，即成為三角函數(shù)一次式的和差了，自然做和差化積,a,18,三角函數(shù)的恒等變換，由于三角公式較多、用起來也較活，所以應(yīng)當(dāng)掌握變形的一般規(guī)律，而一般規(guī)律的獲得主要靠自己的實(shí)踐以及理性上的升華。通過一個(gè)階段的學(xué)習(xí)與練習(xí)，應(yīng)是有一定體會(huì)的一般說三角變換問題，