1、二次函數(shù) 一、填空題（每題 4 分，共 16 分） 1.已知A(4，y1)，B(4，y2)是拋物線y(x3) 2 的圖象上兩點(diǎn)，則y1y2. 2.如圖二次函數(shù) y1ax2bxc(a0)與一次函數(shù) y2kxm(k0) 的圖象相交于點(diǎn) A(2，4)，B(8，2)，則使 y1y2成立的 x 的取值范圍是. 3.在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為 2 “影子點(diǎn)”.例如點(diǎn)(1,1)，(2,2)，( 3, 3)等. 若二次函數(shù)y ax bx1（a、b是常數(shù)，a 0）圖象上存 2 在兩個不同的“影子點(diǎn)”，A(x 1, y1) 、B(x2, y2)，且滿足2 x 1 2，x 1 x 2 2，

2、令t b22b，則的取值范 圍是：. 4.如圖，是一個半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”，已知點(diǎn) A、B、 C、D 分別是“芒果”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，AB 是半圓的直徑，拋物線的解 析式 為 y ，則圖中 CD 的長為. x2 二、選擇題(每題 3 分，共 30 分) 5.下列各式中，y 是 x 的二次函數(shù)的是（） 1 A.y 2 B.y2x1C.yx2x2D.y2x23x x 6.二次函數(shù) yax2bxc 的部分對應(yīng)值如下表： x y 2 5 1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 3 2 3 2 二次函數(shù)圖象的對稱軸是（） 11 A.直線 x1B.y 軸C.直線 xD.直線 x 22 7.函數(shù)

3、 y2x23x4 經(jīng)過的象限是（） A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D(zhuǎn).一、二、四象限 8.拋物線 yx26x9 的頂點(diǎn)為 A，與 y 軸的交點(diǎn)為 B，如果在拋物線上取點(diǎn) C，在 x 軸上取點(diǎn) D，使得四邊形 ABCD 為平行四邊形，那么點(diǎn)D 的坐標(biāo)是（） A.(6，0)B.(6，0)C.(9，0)D.(9，0) 9.二次函數(shù) yax2bxc 的圖象如圖所示，下列結(jié)論錯誤的是（） A.a0B.b0 C.c0D.abc0 y o x 10.如圖，正方形 ABCD 中，AB8 cm，對角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O，點(diǎn) E，F(xiàn) 分別從 B，C 兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以 1 cm/s 的速度沿

4、 BC，CD 運(yùn)動，到點(diǎn) C，D 時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t(s)，OEF 的面積 S(cm2)，則 S(cm2)與 t(s)的 函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為（） 11.如圖，二次函數(shù) y=ax +bx+c（a0）的圖象與 x軸正半軸相交于 A、B 兩點(diǎn)，與 y 軸相交于點(diǎn) C，對稱軸為直線 x=2，且 OA=OC，則下列結(jié)論：abc0；9a+3b+c0； c1；關(guān)于 x 的方程 ax +bx+c（a0）有一個根為- 其中正確的結(jié)論個數(shù)有（） A.1 個B.2 個 C.3 個D.4 個 12.二次函數(shù) yax2bxc(a， b， c 為常數(shù)， 且 a0)中的 x 與 y 的部分對應(yīng)值如下表， 下列

5、結(jié)論正確的個數(shù)為 （） ac0；當(dāng) x1 時(shí)，y 的值隨 x 的增大而減小； 3 是方程 ax2(b1)xc0 的一個根； 當(dāng)1x3 時(shí)，ax2(b1)xc0.其中 A.4 個B.3 個C.2 個D.1 個 13.對于二次函數(shù) y=x +2x.有下列四個結(jié)論：它的對稱軸是直線x=1；設(shè) y1=x1+2x1，y2=x2+2x2，則當(dāng) x2x1時(shí)，有 y2y1；它的圖象與 x 軸的兩個交點(diǎn)是（0，0）和（2，0） ；當(dāng) 0x2 時(shí)，y0.其中正確的 結(jié)論的個數(shù)為（） A.1B. 2C. 3D. 4 14.如圖是拋物線 y=ax +bx+c（a0）的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （1，n） ，且與 x 軸

6、的一個交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）和（4，0）之間. 則下列結(jié)論：ab+c0； 3a+b=0； b =4a（cn） ； 一元二次方程 ax +bx+c=n1 有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.其中 正確結(jié)論的個數(shù)是（） A.1B.2C.3D.4 三、解答題（每題 6 分，共 12 分） 15.二次函數(shù)的圖象如圖所示，求這條拋物線的解析式(結(jié)果化成一般式). 2 2 2 222 2 2 1 . a x y 1 1 0 3 1 5 3 3 16.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線yx2bx6 經(jīng)過 x 軸上兩點(diǎn) A，B，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(3，0)，與 y 軸相交于點(diǎn) C. (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)求ABC 的面積.

7、 四、(本題共 2 小題，每小題 7 分，滿分 14 分) 17.已知二次函數(shù) yx2bxc 的圖象與 x 軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(m，0)，(3m，0)(m0). (1)求證：4c3b2； (2)若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x1，試求二次函數(shù)的最小值. 18.如圖，矩形 ABCD 的兩邊長 AB18 cm，AD4 cm，點(diǎn) P，Q 分別從 A，B 同時(shí)出發(fā)，P 在邊 AB 上沿 AB 方 向以每秒 2 cm 的速度勻速運(yùn)動，Q 在邊 BC 上沿 BC 方向以每秒 1 cm 的速度勻速運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 x(秒)，PBQ 的面積為 y(cm2). (1)求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x

8、的取值范圍； (2)求PBQ 的面積的最大值. 五、(本題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分) 19. 拋物線 y=x+4x+3 交 x 軸于 A、B 兩點(diǎn)，交y 軸于點(diǎn) C，拋物線的對稱軸交x 軸于點(diǎn) E.（1）求拋物線的對稱軸 及點(diǎn) A 的坐標(biāo)； B、C 三點(diǎn)構(gòu)成一個平行四邊形？若存在， 請寫出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；（2） 在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中是否存在點(diǎn) P，與 A、 若不存在，請說明理由； 20.如圖，四邊形 ABCD 是菱形，點(diǎn) D 的坐標(biāo)是(0， 3)，以點(diǎn) C 為頂點(diǎn)的拋物線 yax2bxc 恰好經(jīng)過 x 軸上 A AE EB BO O D D C C y x A，B

9、兩點(diǎn). (1)求 A，B，C 三點(diǎn)的坐標(biāo)； (2)求過 A，B，C 三點(diǎn)的拋物線的解析式； (3)若將上述拋物線沿其對稱軸向上平移后恰好過D 點(diǎn)， 求平移后拋物線的解析式， 并指出平移了多少個單位？ 六、（本大題滿分 10 分） 21.已知拋物線 yax26x8 與直線 y3x 相交于點(diǎn) A(1，m)。 （1）求拋物線的解析式； （2）請問(1)中的拋物線經(jīng)過怎樣的平移就可以得到y(tǒng)ax2的圖象？ 七、（本大題滿分 10 分） 22.如圖，足球運(yùn)動員在O 處拋出一球，球從離地面1 米的 A 處飛出（A 在 y 軸上），運(yùn)動員乙在距O 點(diǎn) 6 米的 B 處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面

10、約 4 米高，球落地后又一次彈起.據(jù)實(shí)驗(yàn)測算，足球在草坪上彈 起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半. （1）求籃球開始飛出到第一次落地時(shí)，該拋物線的表達(dá)式. （2）足球第一次落地距守門員多少米？（取4 3 7） （3）運(yùn)動員乙要搶到第二個落點(diǎn)，他應(yīng)再向前跑多少米？（取2 6 5） 八、（本大題滿分 12 分） 23.如圖，已知拋物線 yax2bxc(a0)經(jīng)過 A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(diǎn)，直線 L 是拋物線的對稱 軸. (1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式； (2)設(shè)點(diǎn) P 是直線 L 上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 到點(diǎn) A，點(diǎn) B 的距離之和最短時(shí)，求點(diǎn) P

11、 的坐標(biāo)； (3)點(diǎn) M 也是直線 L 上的動點(diǎn)，且MAC 為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M 的坐標(biāo). 答案 一、填空題 4,t 1； 2x2 或 x8 3. 75 . 4 162 二、選擇題 5-14：CABDBBCBCC 三、15解：由圖象可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，(1 分)設(shè)此二次函數(shù)的解析式為 ya(x1)2 4.(3 分)把點(diǎn)(3，0)代入解析式，得 4a40，即 a1.(7 分)所以此函數(shù)的解析式為 y(x1)2 4x22x3 16解： (1)把點(diǎn) B 的坐標(biāo)(3，0)代入拋物線 yx2bx6 得 093b6，解得b5，(3 分)拋物線的表達(dá)式為 yx2 5x6；

12、 (2)拋物線的表達(dá)式 yx25x6，令 y0，即 x25x60，解得 x12，x23.令 x0，則 y 1 6.A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)(8 分)AB1，OC6，S ABC2163. 四、17.解：(1)由題意，m，3m 是一元二次方程 x2bxc0 的兩根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， b 得 m(3m)b，m(3m)c，b2m，c3m2，4c12m2，3b212m2，4c3b2(2)由題意得2 33 1，b2，由(1)得 c b2 (2)23，yx22x3(x1)24，二次函數(shù)的最小值為4 44 11 18.解：(1)SPBQ PBBQ，PBABAP182x，BQx，

13、y (182x)x，即 yx29x(0x4) 22 9819 (2)由(1)知：yx29x，y(x )2，當(dāng) 0x時(shí)，y 隨 x 的增大而增 242 大，而 0x4，當(dāng) x4 時(shí)，y 最大值20，即PBQ 的最大面積 是 20 cm2 五、19.解：(1)x 2,A(-3,0)(2)存在。P（2,3） （-2,3） 20解：(1)A，B，C 的坐標(biāo)分別為(1，0)，(3，0)，(2， 3) 3(3)設(shè)拋物線的解析式為y 3(x2) k， 代入 D(0， 3)， 的拋物線的解析式為 y 3(x2) 5 3，平移了 5 3 3 2 2 （-2，-3） (2)y3(x2) 可得 k5 3，平移后 4

14、 3個單位 2 六、21解：（1）將（3，0）代入二次函數(shù)解析式，得 -32+23+m=0 解得，m=3 （2）二次函數(shù)解析式為 y=-x2+2x+3，令 y=0，得 -x2+2x+3=0 解得 x=3 或 x=-1 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（-1，0） （3）SABD=SABC，點(diǎn) D 在第一象限， 點(diǎn) C、D 關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱 由二次函數(shù)解析式可得其對稱軸為 x=1，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（0，3）， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（2，3） 七、22解：（1）由題意,該函數(shù)的頂點(diǎn)為（6,4）且過（0,1）設(shè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng) a(x 6)2 4 11 把（0,1）代入的36a+4=1,所以a ,這個函數(shù)解析式

15、為y (x 6)2 4（2）由題得，令y=0， 1212 1 則(x 6)2 4 0，解得 x 1=-1.x2=13,由圖得，足球第一次落地距守門員 13 米 12 （3）由題意得，兩個函數(shù)的形狀相同，且第二段拋物線的最高點(diǎn)為 2，所以設(shè)第二段拋物線設(shè)為 1 y (x m)2 2，把（13,0）代入函數(shù)得 m1=13-5=8(舍去),m2=13+5=18 則函數(shù)解析式為 12 1 y (x 18)2 2,令 y=0, 1 (x 18)2 2 0得 x1=18-5=13, x2=18+5=23,23-6=17,所以運(yùn)動員應(yīng) 12 12 再向前跑 17 米 八、23. 解：(1 1)拋物線的解析式：y yx x 2x2x3 3(2 2)當(dāng) P P 點(diǎn)在 x x 軸上，P P，A A，B B 三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，點(diǎn) P P b b 到點(diǎn) A A，點(diǎn) B B 的距離之和最短，此時(shí)x x1 1，故 P P(1 1，0 0) 2a2a b 222 (3 3)如圖所示，拋物線的對稱軸為x1，設(shè) M(1，m)，已知 A(