1、第五章 平面圖形的幾何性質(zhì) (Geometrical properties of plane graph),拉壓正應(yīng)力,扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力,彎曲正應(yīng)力,應(yīng)力的計(jì)算通常用要到構(gòu)件 截面的幾何參數(shù)，例如：,統(tǒng)一為,m =0 零次矩(或面積 ) Moment of zero order,m =1 一次矩、線性矩(或靜矩 ) Moment of first order,m =2 二次矩(或慣性矩、積) Moment of second order,實(shí)質(zhì) 1、數(shù)學(xué)，不是力學(xué) 2、顛倒了學(xué)科發(fā)展順序 （歷史是：彎曲內(nèi)力彎曲應(yīng)力慣性矩） 目的 1、翦除彎曲前面的攔路虎之一（慣性矩) 2、從更高的觀點(diǎn)，統(tǒng)一截面幾何性

2、質(zhì) 3、便于學(xué)習(xí)（弊?。褐挥写髲B，無(wú)腳手架）,零次矩：,一次矩（靜矩）：,5.1 靜矩（Statical moment)、 形 心(Centroid),形心 C 的坐標(biāo)：,1、為什么用z-y坐標(biāo)而不是x-y坐標(biāo)？,思考,形心：使平面圖形各微元靜矩和為零的坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱圖形形心的位置,有一個(gè)對(duì)稱軸：,形心C位于該軸上,有兩個(gè)對(duì)稱軸： 兩個(gè)對(duì)稱軸的交點(diǎn)就 是形心C的位置,對(duì)某點(diǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱）：,形心C位于對(duì)稱中心,由 n 個(gè)規(guī)則形狀組成的圖形,組合（復(fù)合）圖形的形心,已知b, c, t ，求C的坐標(biāo),c,C1、C2、C的坐標(biāo):,組合圖形的形心算例,注1：由兩塊組成組合圖形，其復(fù)合圖形形心一定 位

3、于兩個(gè)子圖的形心連線上 注2：組合圖形形心計(jì)算公式也適用于負(fù)面積情況， 但要記住面積為負(fù)號(hào),慣性矩,慣性積,5.2 慣性矩（Moment of inertia)與慣性積(Product of inertia) （ 二次矩，Moment of second order ）, 質(zhì)點(diǎn)Newton定律,對(duì)于平面圖形，當(dāng)密度取單位值時(shí)，dm = dA， 此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就等于極慣性矩,你們是否遇到過(guò)二次矩？,推廣到剛體，何種形式？, I 是什么？,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（Rotational inertia）：,力學(xué)問(wèn)題中，有不同層次的 外因、內(nèi)因結(jié)果 關(guān)系 1、外力、受力物性能 運(yùn)動(dòng)響應(yīng) 2、內(nèi)力、截面量 變形響應(yīng)（應(yīng)

4、力等）,溫故知新，我們進(jìn)行類(lèi)比 動(dòng)力學(xué) 材料力學(xué),慣性矩、慣性積的性質(zhì),（1）慣性矩為正，即,（2）若圖形有一對(duì)稱軸，其慣性積為零,（3）任一點(diǎn)為原點(diǎn)的所有正交坐標(biāo)系中，兩個(gè)慣性矩之 和等于 不變的極慣性矩 Ip 值,（4）組合圖形慣性矩（積）為各個(gè)子圖慣性矩（積）之和,座標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)不改變極慣性矩,例題5.4 P133 圓截面的慣性矩,設(shè)圓截面直徑D，則圓方程為,其他方法1、書(shū)中微元 2、極慣性矩的一半,問(wèn)題的提出 工程問(wèn)題的許多截面（工字、丁字、槽形等）是簡(jiǎn) 單截面（如矩形）的組合，總慣性矩 = 分慣性矩之和， 而分慣性矩在 各自的 形心坐標(biāo)系 中計(jì)算 將 分慣性矩 轉(zhuǎn)換到 總形心坐標(biāo)系 時(shí)，要

5、考慮坐標(biāo) 系轉(zhuǎn)換的影響 分坐標(biāo)系 與 總形心坐標(biāo)系通常是 平行關(guān)系，于是 就抽象出慣性矩計(jì)算的 平行移軸 問(wèn)題,5.3 平行移軸公式（平行軸定理 Parallel axis theorem）,已知：,計(jì)算：,z1 y1為形心坐標(biāo)系,同理,例 題,矩形1,矩形2,已知組合截面尺寸：,計(jì)算截面對(duì)軸 z 的慣性矩,以（z2, y2)為基準(zhǔn)坐標(biāo)，則,確定移軸量（a, b),矩形1到 z 軸的距離:,矩形2到 z 軸的距離:,由平行移軸定理,矩形1對(duì) z 軸的慣性矩:,矩形2對(duì) z 軸的慣性矩:,整個(gè)截面的慣性矩：,如同平行移軸問(wèn)題，轉(zhuǎn)軸問(wèn)題也很重要, 且對(duì)彎曲受力合理很關(guān)鍵 書(shū)上的推導(dǎo),5.4 轉(zhuǎn)軸公

6、式（Formula of rotation of axes)、主慣性軸 (Principal axes) 和主慣性矩 (Principal moment of inertia),坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的矩陣形式,操作式的推導(dǎo),用投影代替轉(zhuǎn)動(dòng),y 變 y1 的操作 1、y（AF）向 y1 軸投影得 y1 + GF,2、再減去GF 得y1,z 變 z1 的操作 1、z（OF）向z1 軸投影得 z1 - GD,2、再加上GD 得z1,思考 能否用復(fù)數(shù)推導(dǎo)？ C1，C 為復(fù)數(shù)（Complex number），i為虛單位,已知：截面對(duì) y、z 軸的慣性矩、慣性積,求解：截面對(duì)y1、z1軸的慣性矩、慣性積,顯然,創(chuàng)造的

7、機(jī)遇提出問(wèn)題：因?yàn)榻嵌葘?duì)應(yīng)坐標(biāo)系， 在哪個(gè)坐標(biāo)系中，慣性矩為極大（ 或極?。?？ 意義對(duì)于給定的截面，選擇坐標(biāo)系使慣性矩 最大（抵抗彎曲的能力最強(qiáng)），避免慣性矩最小,說(shuō)明取極大（或極?。T性矩時(shí) 慣性積等于零,由方程,確定兩個(gè)相互垂直的軸 主慣性軸,也就是說(shuō)：1、對(duì)于給定的截面 坐標(biāo)軸選擇得恰當(dāng)，慣性矩極大； 2、同時(shí)，慣性矩極小的坐標(biāo)軸， 恰好與前者（慣性矩極大的坐標(biāo)軸） 垂直；3、兩個(gè)坐標(biāo)軸組成了 主慣性坐標(biāo)系,求解出,主慣性矩：主慣性軸上的慣性矩,將 代入,得到一大一小兩個(gè)主慣性矩：,主形心慣性系：坐標(biāo)原點(diǎn)取在截面形心上的主慣性系 主形心慣性矩：主形心慣性軸上的慣性矩,截面幾何性質(zhì)小結(jié),1. 靜矩、慣性矩依賴坐標(biāo)系數(shù)值不同，但是不同坐標(biāo)系 中的數(shù)值有一定的關(guān)系,2. Iz、Iy 恒為正，Sz、Sy、Iyz可