1、,高度,角度,距離,有關(guān)三角形計(jì)算,距離的測(cè)量,1、正弦定理：,知 識(shí) 點(diǎn) 小 結(jié),可以解決的有關(guān)解三角形問題： （1）已知兩角和任一邊； （2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角。,a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC,可以解決的有關(guān)解三角形的問題： （1）已知三邊；（2）已知兩邊和他們的夾角。,2、余弦定理：,經(jīng)緯儀，測(cè)量水平角和豎直角的儀器。 是根據(jù)測(cè)角原理設(shè)計(jì)的。目前最常用 的是光學(xué)經(jīng)緯儀。,光學(xué)經(jīng)緯儀,鋼卷尺,引例：如圖，A,B兩點(diǎn)在河兩岸，現(xiàn)有經(jīng)緯儀和 鋼卷尺兩種工具，如何測(cè)量A,B兩點(diǎn)距離？,練習(xí)1.如圖在鐵路建設(shè)中需要確定隧

2、道兩端A,B的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量A,B距離的方法？,練習(xí)2.如圖河流的一岸有條公路，一輛汽車在公路上勻速行駛，某人在另一岸的C點(diǎn)看到汽車從A 點(diǎn)到B點(diǎn)用了t秒，請(qǐng)你設(shè)計(jì)方案求 汽車的速度？,分析：用引例的方法，可以計(jì)算出AC,BC的距離，再測(cè)出BCA的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離。,公路,河流,解：在岸邊選定一點(diǎn)D，測(cè)得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在ADC和BDC中，應(yīng)用正弦定理得,計(jì)算出AC和BC后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離,測(cè)量問題之一：,水平距離的測(cè)量,兩點(diǎn)間不能到達(dá)，又不能相互看到。(如

3、圖1所示),需要測(cè)量CB、CA的長(zhǎng)和角C的大小，由余弦定理,可求得AB的長(zhǎng)。,兩點(diǎn)能相互看到，但不能到達(dá)。(如圖2所示),需要測(cè)量BC的長(zhǎng)、角B和角C的大小，由三角形的內(nèi)角和，求出角A然后由正弦定理，可求邊AB的長(zhǎng)。,圖1,圖2,兩點(diǎn)都不能到達(dá),1、分析：理解題意，畫出示意圖,2、建模：把已知量與求解量集中在一個(gè)三角形中,3、求解：運(yùn)用正弦定理和余弦定理，有順序地解這些三子角形，求得數(shù)學(xué)模型的解。,4、檢驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。,實(shí)際問題數(shù)學(xué)問題（三角形） 數(shù)學(xué)問題的解（解三角形）實(shí)際問題的解,解應(yīng)用題的一般步驟是：,小結(jié),練習(xí)1 如圖，為測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間

4、的距離，沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測(cè)得ACB60，BCD45，ADB60，ADC30，則A，B兩點(diǎn)的距離是,答案,解析,在BCD中，BDC603090， BCD45， CBD9045BCD，,在ACD中，ADC30，ACD6045105， CAD180(30105)45.,在ABC中，由余弦定理，得 AB2AC2BC22ACBCcosBCA,數(shù)學(xué)作業(yè)：,1. A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50 m，ACB45，CAB105后，求AB兩點(diǎn)的距離。,2.某人向東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)

5、點(diǎn)恰好 千米，求x的值。,3.如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求AC的長(zhǎng).,2.如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C的距離為50 m，ACB45，CAB105后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為,答案,解析,B1804510530，,1,2,3,3.某人向東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 千米，那么x的值是_.,由余弦定理，得x293x13， 整理得x23x40，解得

6、x4.,4,答案,解析,4.如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則AC的長(zhǎng)為_ km.,7,答案,解析,因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓， 所以DB. 在ABC和ADC中， 由余弦定理可得 8252285cos(D) 3252235cos D，,故AC7.,高度,角度,距離,有關(guān)三角形計(jì)算,高度和角度的測(cè)量,解應(yīng)用題中的幾個(gè)角的概念,1、仰角、俯角的概念： 在測(cè)量時(shí)，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫做俯角。如圖：,2、方向角：指北或指南方向

7、線與目標(biāo)方向線所成的小于90的水平角，如圖,問題的本質(zhì)如圖，已知AEC為直角，CDm，用、m表示AE的長(zhǎng)，所得結(jié)果再加上h.,梳理,練習(xí)1: 在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角 60 ，在塔底C處測(cè)得A處的俯角30。已知鐵塔BC部分的高為28m，求出山高CD.,分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出AB或AC的長(zhǎng),CD=BD-BC=42-28=14(m),答：山的高度約為14米。,解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，,例2 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北測(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15的方向上，行駛5km后到達(dá)B處

8、，測(cè)得此山頂在西偏北25的方向上，仰角為8，求此山的高度CD.,梳理,問題本質(zhì)是：如圖，已知三棱錐 DABC，DC平面ABC，ABm，用、m、表示DC的長(zhǎng),練習(xí) 如圖所示，A、B是水平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800 m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45，BAD120，又在B點(diǎn)測(cè)得ABD45，其中D點(diǎn)是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.,解答,由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD. 因此只需在ABD中求出AD即可， 在ABD中，BDA1804512015，,例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東450相距9海里的C處有 一艘走私船，正沿南偏東750的方向以10海里/小時(shí)的速 度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14

9、海里/小時(shí)的速度沿 著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要 多少時(shí)間才追趕上該走私船？,答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東830方向去追，經(jīng)過1.5小時(shí)才追趕上 該走私船.,跟蹤訓(xùn)練1 甲船在A點(diǎn)發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60的B處，乙船以每小時(shí)a海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時(shí) 海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇？,解答,如圖所示設(shè)經(jīng)過t小時(shí)兩船在C點(diǎn)相遇， 則在ABC中， BCat(海里)，,0CAB90，CAB30， DAC603030， 甲船應(yīng)沿著北偏東30的方向前進(jìn)，才能最快與乙船相遇,當(dāng)堂訓(xùn)練,1 江岸邊有一炮臺(tái)高30 m，江中有兩條船，船與炮臺(tái)底部在同一水面上，由炮

10、臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角，則兩條船相距_ m.,設(shè)兩條船所在位置分別為A、B兩點(diǎn)，炮臺(tái)底部所在位置為C點(diǎn)，,30,所以AB30(m).,答案,解析,1,2,3,2.甲、乙兩樓相距20米，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是_.,答案,解析,3 如圖，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60，再由點(diǎn)C沿北偏東15方向走10 m到位置D，測(cè)得BDC45，則塔AB的高是,答案,解析,在BCD中，CD10 m，BDC45， BCD1590105，DBC30， 由正弦定理，,4.一艘海輪從A