1、雞兔同籠問(wèn)題幾種不同的解法 英國(guó)數(shù)學(xué)教育家貝克浩斯（Backhousl）在研究“問(wèn)題解決”時(shí)首先提到的是中國(guó)古算題，其中包括雞兔同籠問(wèn)題、100個(gè)和尚買100個(gè)饅頭問(wèn)題等。解這些問(wèn)題需要想象，解者在其情景中有明確的且力所能及的目的，但缺少現(xiàn)成的方法達(dá)到此目的，因此常常作為夜航船中或納涼賞月時(shí)的一種試智比知式考問(wèn)的備辦學(xué)問(wèn)，一代一代傳下來(lái)，還傳到世界各地，雞兔問(wèn)題傳到日本叫龜鶴問(wèn)題。明代作家張岱曾說(shuō)：“天下學(xué)問(wèn)，惟夜航船中最難對(duì)付”。又到納涼的季節(jié)，老公公們要用這些問(wèn)題來(lái)試試兒孫輩的學(xué)問(wèn)怎樣？有位小朋友聽了老公公提出的問(wèn)題，覺得難度不大，便滿懷信心地對(duì)老公公說(shuō)：慢點(diǎn)，讓我打開燈，拿紙和筆。老公公

2、講不用筆就不可以算嗎？這一下，許多小朋友都被難住了。顯然老公公解這些難題的技巧肯定不同凡響，那么老公公是怎樣解這些問(wèn)題的呢？我們先舉個(gè)例子說(shuō)說(shuō)。 一、雞兔同籠問(wèn)題 例1 籠中有若干只雞和兔，它們共有50個(gè)頭和140只腳，問(wèn)雞兔各有多少只？ 解法1 假設(shè)法 假設(shè)一個(gè)未知數(shù)是已知的，比如假定50個(gè)頭全是兔，則共有腳（450=）200（只），這與題中已知140只不符，多出（200-140=）60（只），多的原因是雞當(dāng)兔后每只雞多算了2只腳，所以雞的只數(shù)是（602=）30（只），則兔的只數(shù)為（50-30）20（只）。 這種解法，思路清晰，但較復(fù)雜，不便操作。能不能形象地畫個(gè)圖呢？讓我們?cè)囋嚒?解法2

3、圖形法 從圖中看ACDF的面積450200（只腳），比實(shí)際多出GHEF的面積200-14060（只腳），AB=GH=602=30（只雞），BC=AC-AB=50-3020（只兔） 解法2比解法1高級(jí)，算理是一樣的。這里答案是圖上算出的，顯然這兩種解法都要用紙和筆。不用紙和筆肯定是用口訣或易記的公式，這是老公公的傳家寶。 解法3 公式法 老公公講：只要用哨子一吹，并喊一聲口令：“全體肅立”。這時(shí)每只雞呈金雞獨(dú)立之狀，每只兔呈玉兔拜月狀，著地的腳數(shù)之和有（1402）70（只），其中雞的頭數(shù)與腳數(shù)相等，由于每只兔的腳比頭數(shù)多1，因此兔的頭數(shù)為（7050）20（個(gè)），即兔有20只，則雞有（5020）3

4、0（只）。這個(gè)故事實(shí)際上老公公用了如下的公式。 腳數(shù)和2-頭數(shù)和=兔子數(shù)。 小孫子們聽了興趣為之大增，紛紛叫老公公再出幾道題。老公公又出了 （1）30個(gè)頭，80只腳。（兔10，雞20）。 （2）100只腳，40個(gè)頭。（兔10，雞30）。 （3）80個(gè)頭，200只腳。（兔20，雞60） 小孫子們個(gè)個(gè)都愉快地答出來(lái)了。 這個(gè)公式簡(jiǎn)潔好用，它是祖代傳下來(lái)的還是老公公想出來(lái)的呢？我們中華文化博大精深，這兩種可能性都是有的。這個(gè)公式是碰巧做對(duì)還是符合算理的呢？這是十分重要的。數(shù)學(xué)家高斯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)中許多方法與定理是靠歸納發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù)而已?！爆F(xiàn)在我們就來(lái)補(bǔ)行這個(gè)手續(xù)。 2雞頭=雞腳。 4兔頭

5、=兔腳。 得：兔腳+雞腳=2雞頭+4兔頭 =2（雞頭+2兔頭）。 這就證明了老公公歸納的公式。 說(shuō)到雞兔同籠問(wèn)題，常常大家精神就緊張起來(lái)，以為是難題來(lái)了。現(xiàn)在掌握了規(guī)律其實(shí)不難，所以凡事都應(yīng)去摸索規(guī)律，照規(guī)律辦事。 雞兔同籠問(wèn)題在民間是當(dāng)故事講的，有沒(méi)有實(shí)際價(jià)值呢？我們?cè)賮?lái)看下面的問(wèn)題。 二、郵票問(wèn)題 例2 買3角與5角的郵票共24張，總值9.6元，問(wèn)兩種郵票各買了幾張？ 解這道題當(dāng)然可以用假設(shè)法和圖形法，但用什么樣的公式呢？美國(guó)數(shù)學(xué)教育家C波利亞說(shuō)：“不論初等數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)特別是不能沒(méi)有類比。”用類比很容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式是：郵 設(shè)3角郵票為A1張，價(jià)值A(chǔ)2角； 5角郵票為B1張，價(jià)值B

6、2角。 說(shuō)明數(shù)量關(guān)系與雞兔同籠問(wèn)題相一致。 又3A1=A2，5B1=B2。 得：A2B23A1+5B1， 這就與例1的公式相類似，很容易將這個(gè)公式翻譯成語(yǔ)言陳述，大家試 （2412）12（張）。 如果你認(rèn)為這個(gè)公式不太好記，就不妨用圖來(lái)解。 （24596）2=12（張、3角） 24-1212 所以解題方法的選用常常是根據(jù)具體情況而定的。 再試試 （1）6角與8角的郵票共18張，總價(jià)12.4元，問(wèn)兩種郵票各幾張？（10，8） （2）3角與8角的郵票共100張，總價(jià)50元，問(wèn)兩種郵票各幾張？（60，40） 三、植樹問(wèn)題 例3 一次植樹活動(dòng)，規(guī)定大樹每人種2棵，小樹每人種4棵，全班50人種樹140棵

7、，問(wèn)種這兩種樹的各有多少人？ 這道題可用例1的公式很快解得種大樹的有30人，種小樹的有20人。 四、運(yùn)輸（工作）問(wèn)題 例4 有小卡車50輛，大卡車每輛運(yùn)4噸，小卡車每輛運(yùn)2噸，共運(yùn)140噸化肥，問(wèn)大小卡車各幾輛？ 難道不是題目看完答案就出來(lái)了嗎？ 五、農(nóng)藥問(wèn)題 例5 甲種農(nóng)藥每千克兌水20千克，乙種農(nóng)藥每千克兌水40千克，現(xiàn)為了提高藥效，根據(jù)農(nóng)科所意見，甲乙兩種農(nóng)藥混合使用，已知兩種農(nóng)藥共50千克，要配藥水140千克，問(wèn)甲、乙兩種農(nóng)藥各需多少千克？ 用公式解很簡(jiǎn)單（30，20），如果將這個(gè)公式交給農(nóng)民，那么他們配起農(nóng)藥來(lái)就既方便又正確，你能想出這個(gè)公式是什么嗎？ 還會(huì)遇到許多許多的問(wèn)題，它們的數(shù)量關(guān)系（應(yīng)用題的本質(zhì)）與雞兔同籠問(wèn)題相一致，都可以用雞兔同籠問(wèn)題的三種方法來(lái)解，這些問(wèn)題我們將它們統(tǒng)稱為雞兔同籠問(wèn)題。 相傳大禹治水到黃河，發(fā)現(xiàn)一只神龜，背上馱了一張圖叫河圖（洛書）。（左圖），用阿拉伯?dāng)?shù)字表示就是右圖，圖中三條豎線、三條橫線、二條對(duì)角線共八條線上三個(gè)數(shù)的和都是15，這樣的圖是怎樣造出來(lái)的呢？其法一時(shí)失傳了，于是有人用它來(lái)占卜、相風(fēng)水，進(jìn)