1、第十節(jié) 函數(shù)的極值與最值 一、函數(shù)的極值及其求法,定義,使得,有,則稱(chēng) 為 的一個(gè)極大值點(diǎn) (或極小值點(diǎn) ),極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn) .,極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值 .,1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).,2) 對(duì)常見(jiàn)函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為 0 或 不存在的點(diǎn)(稱(chēng)為可疑極值點(diǎn)).,稱(chēng) 為 的一個(gè)極大值 (或極小值 ),注意,函數(shù)極值的求法,定理1(函數(shù)取得極值的必要條件)(費(fèi)馬定理),定義,注意:,例如,設(shè),在點(diǎn),處具有導(dǎo)數(shù), 且在,處取得極值,則,定理2 (第一充分條件),(是極值點(diǎn)情形),設(shè),在點(diǎn),處連續(xù) ,(1) 若,時(shí),而,時(shí),則,在點(diǎn),處取得極大值;,(2) 若,時(shí),而,

2、時(shí),則,在點(diǎn),處取得極小值;,(3) 若,時(shí),的符號(hào)相同, 則,在點(diǎn),處無(wú)極值.,求極值的步驟:,(不是極值點(diǎn)情形),例1,解,列表討論,極大值,極小值,圖形如下,例2,解,的極值 .,解,得駐點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn),是極大值點(diǎn)，,其極大值為,是極小值點(diǎn)，,其極小值為,例3 求函數(shù),不存在,定理3(第二充分條件),證,同理可證(2).,二階導(dǎo)數(shù) , 且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn) x0 處 具有,例4,解,圖形如下,注意:,的極值 .,解:,令,得駐點(diǎn),因,故 為極小值 ;,又,故需用極值的第一充分條件來(lái)判別.,例5. 求函數(shù),則,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),2)

3、當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),為極值點(diǎn) , 且,不是極值點(diǎn) ,證,定理4,設(shè) f (x) 在點(diǎn) x0 處 具有n 階導(dǎo)數(shù)，且,則 在點(diǎn) 取極大值 ;,則 在點(diǎn) 取極小值 .,點(diǎn) 為拐點(diǎn) 。,故,1) 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí),由極限的保號(hào)性,知,又,得,故 在點(diǎn) 取極大值 。,則 在點(diǎn) 取極小值 .,同理可證，,2) 當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),可證 在 點(diǎn)鄰近兩,側(cè)異號(hào),故 在點(diǎn) 不取極值 。,故,當(dāng) 為奇數(shù)時(shí),可證 在 點(diǎn)鄰近兩側(cè)異號(hào),故點(diǎn) 為拐點(diǎn) 。,設(shè),其中a 為常數(shù) .,證明:,時(shí), f (0) 為 f (x)的極小值 ;,時(shí), f (0) 為 f (x)的極大值 .,證,時(shí),f (0) 為 f (x)的極小值 ;,時(shí),f

4、(0) 為 f (x)的極大值 ;,時(shí),例6,f (0) 為 f (x)的極大值.,函數(shù)圖形的描繪,步驟 :,1. 確定函數(shù),的定義域 ,期性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判別增減及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點(diǎn) ;,4. 求漸近線(xiàn) ;,5. 確定某些特殊點(diǎn) , 描繪函數(shù)圖形 .,為 0 和不存在,的點(diǎn) ;,并考察其對(duì)稱(chēng)性及周,例7,解,非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱(chēng)性.,定義域（-，+ ）0,列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):,不存在,拐點(diǎn),極值點(diǎn),間斷點(diǎn),作圖,小結(jié),極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)是可疑極值點(diǎn).,判別法,第一充

5、分條件;,第二充分條件;,(注意使用條件),思考與練習(xí),1. 設(shè),則在點(diǎn) a 處( ).,的導(dǎo)數(shù)存在 ,取得極大值 ;,取得極小值;,的導(dǎo)數(shù)不存在.,B,提示: 利用極限的保號(hào)性 .,(A) 不可導(dǎo) ;,(B) 可導(dǎo), 且,(C) 取得極大值 ;,(D) 取得極小值 .,D,提示: 利用極限的保號(hào)性 .,2. 設(shè),是方程,的一個(gè)解,若,且,(A) 取得極大值 ;,(B) 取得極小值 ;,(C) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加 ;,(D) 在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少 .,提示:,A,3. 設(shè),設(shè) f ( x )連續(xù)，且 f ( a )是 f ( x )的極值， 問(wèn) f 2( a )是否是 f 2( x )的極值 .,證,則,得 f 2( a ) 是 f 2( x ) 的極小值;,不妨設(shè) f ( a )是 f ( x )的極小值 ,有,由 f ( x )在 x = a 處連續(xù)，得,f 2( a )是 f 2( x )的極大值.,同理可討論f ( a ) 是f ( x )的極