1、第三章 自激振動(dòng) 3.1 自激振動(dòng)的機(jī)理和特征 3.2 極限環(huán)與 van der Pol 方程 3.3 工程中的自激振動(dòng)問題 3.4 張馳振動(dòng) 3.5 動(dòng)態(tài)分岔,1,優(yōu)質(zhì)課堂,第三章 自激振動(dòng),自激振動(dòng)與周期激勵(lì)的響應(yīng)相比，仍然是一種周期振動(dòng)，它也是靠外界能源的驅(qū)動(dòng)形成的，不同的是現(xiàn)在的能源是一個(gè)能量不變的能源，能源本身不直接給系統(tǒng)提供周期性變化的能量，系統(tǒng)振動(dòng)能量的周期性變化是靠系統(tǒng)固有的某種自動(dòng)調(diào)節(jié)機(jī)制、周期性地向能源和環(huán)境吞吐能量形成的。 當(dāng)然，振動(dòng)系統(tǒng)周期性地向能源吸收能量而能源的能量保持不變，這只能在能源的能量大大超過振動(dòng)能量的前提下才能近似實(shí)現(xiàn)，這是自激振動(dòng)系統(tǒng)的另一個(gè)特征。 自激

2、振動(dòng)系統(tǒng)（self-excited system）也稱為自振系統(tǒng),它的特性很復(fù)雜。本章只學(xué)習(xí)單自由度系統(tǒng)自激振動(dòng)的形成和演變的一些基本規(guī)律。,2,優(yōu)質(zhì)課堂,3.1 自激振動(dòng)的機(jī)理和特征,1. 自激振動(dòng)的機(jī)理 ,圖3.1、圖3.2為兩個(gè)自振系統(tǒng)的實(shí)例。就電鈴而言，能源為直流電源，在一定時(shí)期內(nèi)，能量近似恒定，接通電源后，鈴錘在電磁吸力作用下，彎曲敲擊銅鈴，同時(shí)電路觸點(diǎn)斷開，電磁吸力消失；在這個(gè)過程中，振系從能源吸收,3,優(yōu)質(zhì)課堂,電能，一部分轉(zhuǎn)化為鈴錘的動(dòng)能和彈性勢(shì)能，另一部分由于材料阻尼、敲擊等因素而耗散。接下來的過程是，彈性勢(shì)能使鈴錘恢復(fù)形狀，使電源再次接通，完成一次振動(dòng)，并開始下一次振動(dòng)。

3、可見，自激振動(dòng)的形成過程和機(jī)理是：振系在某些初始激勵(lì)下能作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)振系內(nèi)有一個(gè)固有的自動(dòng)調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)起作用，它能自動(dòng)感知振系狀態(tài)，根據(jù)振系狀態(tài)自動(dòng)調(diào)節(jié),能量的吸收，并能使振系在每個(gè)往復(fù)運(yùn)動(dòng)中吸收的能量逐漸等于耗散的能量，從而使振系的能量和狀態(tài)周期性變化，即形成自激振動(dòng)。自激振動(dòng)的形成機(jī)理，可用框圖表示，如圖3.3。,4,優(yōu)質(zhì)課堂,需要指出的是，圖中的調(diào)節(jié)器就是前述的自動(dòng)調(diào)節(jié)環(huán)節(jié)，對(duì)于某些振系，調(diào)節(jié)器是一個(gè)實(shí)際存在的裝置，如電鈴，其調(diào)節(jié)器為電磁斷續(xù)器，而對(duì)很多振系，調(diào)節(jié)器并不是一個(gè)明確的裝置，而是系統(tǒng)自身的特性和參數(shù)綜合形成的一個(gè)自動(dòng)控制環(huán)節(jié)。,2. 自激振動(dòng)的特征,參見課本p57的總結(jié)。,5

4、,優(yōu)質(zhì)課堂,3.2 極限環(huán)與 van der Pol 方程,1. 極限環(huán),從以上定性分析已知，自激振動(dòng)是周期振動(dòng)，因此對(duì)單自由度系統(tǒng)，自激振動(dòng)的相軌跡是一條封閉曲線，與保守系統(tǒng)的自由振動(dòng)相軌跡不同的是，自激振動(dòng)的封閉相軌跡的形狀和運(yùn)動(dòng)周期，是由系統(tǒng)的固有參數(shù)和特性決定的，而與初始條件無關(guān)。因此，自激振動(dòng)的封閉相軌跡在相平面上是一條孤立的封閉曲線。在這條封閉曲線鄰近的相點(diǎn)，將沿某一螺旋狀相軌跡趨近或離開這條封閉曲線，因此稱它為極限環(huán)(limit cycle)。一個(gè)振系的極限環(huán)可能不止一個(gè)，當(dāng)極限環(huán)鄰近的相軌跡都趨近于極限環(huán)時(shí)，該極限環(huán)是穩(wěn)定的，否則，是不穩(wěn)定的，如圖3.4。只有穩(wěn)定的極限環(huán)才對(duì)應(yīng)

5、于能夠?qū)崿F(xiàn)的自激振動(dòng)，因此尋求極限環(huán)并確定其穩(wěn)定性，是非線性自治系統(tǒng)研究中的一個(gè)最重要的問題。,6,優(yōu)質(zhì)課堂, van der Pol 振蕩器是已知存在極限環(huán)的系統(tǒng)的一個(gè)經(jīng)典例子。 van der Pol 方程也可以由Rayleigh方程經(jīng)變換得到，Rayleigh方程為,2. van der Pol 方程,圖3.4,(3.2),這就是van der Pol 方程。對(duì)（3.2）作能量積分得,(3.1),（3.1）式對(duì) t 求導(dǎo)，得,7,優(yōu)質(zhì)課堂,E為積分常數(shù)。當(dāng)x 的幅值較小時(shí)，上式右端第二項(xiàng)圓括號(hào)中的值大于零，積分值隨時(shí)間增長(zhǎng)而增大，系統(tǒng)的機(jī)械能增大，即系統(tǒng)向外界吸收能量，同時(shí)使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)幅

6、度增大，這一過程一直到積分的平均值為零才停止。當(dāng)x 的幅值較大，上式右端第二項(xiàng)圓括號(hào)中的值小于零時(shí)，系統(tǒng)將耗散能量，同時(shí)使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)幅度減小。因此預(yù)計(jì)系統(tǒng)最后可能會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即自振狀態(tài)。 方程（3.2）的第二項(xiàng)與速度有關(guān)，相當(dāng)于一個(gè)阻尼項(xiàng)，由上述分析知，它不是常規(guī)阻尼，而是一個(gè)交變阻尼，耗散能量時(shí)，稱為正阻尼，吸收能量時(shí)稱為負(fù)阻尼。 下面用相平面法來確定其極限環(huán)。不失一般性，設(shè)Rayleigh方程（3.1）中 ，d = 1，相軌跡微分方程為,8,優(yōu)質(zhì)課堂,顯然，原點(diǎn)是系統(tǒng)唯一的奇點(diǎn)。用Lienard方法作相軌跡， Lienard輔助曲線為,(3.3),它也恰好是通過原點(diǎn)的零斜率等

7、傾線，圖3.5中的虛線。稍加考察可知，奇點(diǎn)附近的相軌跡是向外發(fā)散的，因此奇點(diǎn)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。最后作出的相軌跡如圖3.5。 也可用諧波平衡法來求出van der Pol 方程的近似解，設(shè),9,優(yōu)質(zhì)課堂,代入下面的van der Pol方程,注意，以上近似解只有當(dāng) e 為小參數(shù)時(shí)才成立，圖3.5也是針對(duì)e 為小參數(shù)的情況畫出的。對(duì)于e 為大參數(shù)的情況將在3.4節(jié)中研究。,10,優(yōu)質(zhì)課堂,3.3 工程中的自激振動(dòng)問題,1. 時(shí)鐘原理,機(jī)械時(shí)鐘的鐘擺簡(jiǎn)化模型如圖3.6，它是一個(gè)自激振動(dòng)系統(tǒng)。近似恒定的能源為發(fā)條彈性能，當(dāng)鐘擺向平衡位置運(yùn)動(dòng)并,(3.4),到達(dá)擺角 x= 時(shí)，會(huì)受到由發(fā)條能量轉(zhuǎn)換而來的脈沖

8、力。設(shè)鐘擺受到干摩擦，動(dòng)力學(xué)方程可寫成,系統(tǒng)的能量積分為,11,優(yōu)質(zhì)課堂,其中 E 為積分常數(shù)。 我們規(guī)定B 0、 x ，接下去相點(diǎn)先在下半相平面運(yùn)動(dòng)，因此按（3.5）式進(jìn)行。由初始條件求出積分常數(shù)E 后，（3.5）式變?yōu)?(3.5),(3.6),(3.7),這是一個(gè)以（0, B）為圓心的圓方程。,12,優(yōu)質(zhì)課堂,下面分三種情況分析： (1) x B ：這時(shí)按（3.7）式畫出的相軌跡如圖3.7a，這種相軌跡是不可能出現(xiàn)的，因此相點(diǎn)只能靜止不動(dòng)。實(shí)際上，這時(shí)系統(tǒng)的彈性力沒有超過最大摩擦力，彈性力與摩擦力平衡，再加上,初始速度為零、沒有受到脈沖的作用，因此系統(tǒng)將靜止，相點(diǎn)不再運(yùn)動(dòng)。 (2) B T

9、BC 對(duì)極限環(huán)上的CD和DA段有相同的結(jié)果。因此在自激振動(dòng)的一個(gè)周期中，有非常明顯的快、慢交替運(yùn)動(dòng)。將速度時(shí)間曲線畫出，是類似于鋸齒的鋸齒波，如圖3.18。這種一張一弛的振動(dòng)稱為張馳振動(dòng)。,36,優(yōu)質(zhì)課堂,張馳振動(dòng)的的過程，從物理本質(zhì)上講，是一個(gè)能量積聚和能量釋放或耗散的交替過程。如圖3.17，在相軌跡的AB段，系統(tǒng)從能源慢速吸能而使系統(tǒng)的勢(shì)能緩慢增長(zhǎng)，系統(tǒng)動(dòng)能緩慢變小，到達(dá)勢(shì)能的臨界值，系統(tǒng)的相軌跡進(jìn)入BC段，系統(tǒng)的速度發(fā)生跳變，但在跳變過程中，系統(tǒng)的位形幾乎不變，因而勢(shì)能幾乎不變；跳變完成后，在C 點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能與A 點(diǎn)的相同。因此以上整個(gè)過程，幾乎沒有發(fā)生動(dòng)能的改變，而勢(shì)能增大，是一個(gè)積聚

10、能量并同時(shí)使系統(tǒng)進(jìn)入釋放能量狀態(tài)的過程。接下來，在相軌跡的CDA段，是一個(gè)反向的能量變化過程，同時(shí)使系統(tǒng)進(jìn)入再次吸收能量的狀態(tài)。因此，張馳振動(dòng)系統(tǒng)只與外界交換能量，而系統(tǒng)內(nèi)部幾乎不進(jìn)行能量轉(zhuǎn)換，這與其它自振系統(tǒng)和保守系統(tǒng)是不同的。,37,優(yōu)質(zhì)課堂,3.5 動(dòng)態(tài)分岔,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨著參數(shù)變化而發(fā)生突變的現(xiàn)象稱為動(dòng)態(tài)分岔。下面以干摩擦自振系統(tǒng)為例，來說明和認(rèn)識(shí)這種現(xiàn)象。在3.3節(jié)中已經(jīng)給出如下結(jié)果：,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為,其中,以上方程和變換中需要注意的一點(diǎn)是: (1) y(0) = 0; (2) 原點(diǎn)是奇點(diǎn)。相軌跡如圖3.21。,38,優(yōu)質(zhì)課堂,由圖3.21可見，奇點(diǎn)附近的相軌跡是發(fā)散的，最后進(jìn)入極限環(huán)，系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)圖景是不穩(wěn)定焦點(diǎn)和極限環(huán)。這種情況與曲線 x = - y(y)在奇點(diǎn)附近的斜率有關(guān)，圖3.21所示情況對(duì)應(yīng)于斜率為正值。 當(dāng)