1、.,量子力學(xué),第四章 力學(xué)量與算符,.,第二章中，求 的平均值時，引入了算符概念： 將這一概念推廣，得量子力學(xué)的第四個基本假定： * 任一力學(xué)量A，對應(yīng)于一力學(xué)量算符 即， 那么： 量子力學(xué)中算符的一般定義是什么？ 算符之間如何運算？ 與力學(xué)量A對應(yīng)的算符 與數(shù)學(xué)上的一般算符有何異同？ 的本征值問題？ 如何隨時間變化？ An如何隨 中參數(shù)變化？ 這就是本章將要解答的問題！,.,4.1 力學(xué)量算符的定義及運算,一，定義：對任意波函數(shù) ， = 算符的定義與波函數(shù)是分不開的，若無特別說明，算符對它后面的波函數(shù)都起作用。 二，算法運算： 1，加減 a，結(jié)合律 b，交換律 2，乘 note: 不一定等于

2、,.,3，對易關(guān)系 4, 逆算符：若 ，則 5，除： 6，算符函數(shù)：,.,三. 算符的厄米共軛運算與厄米算符,1，內(nèi)積 2，算符的復(fù)共軛運算： 在某一表象下，求算符的共軛算符。如： 3，定義算符的轉(zhuǎn)置算符，滿足 * 厄米共軛運算：,.,4，算符的厄米共軛運算 定義：若 則 性質(zhì)： 5，厄米算符：若 ，則稱 為厄米算符,.,4.2 厄米算符的性質(zhì),厄米算符的平均值為實數(shù) 厄米算符的本征波函數(shù)具有正交性 厄米算符的本征函數(shù)是完備的 兩個厄米算符有共同本征波函數(shù)完備集的充分必要條件是：二者對易。,.,4.3 力學(xué)量與力學(xué)量算符及平均值,量子力學(xué)第三個基本假定：力學(xué)量和力學(xué)量算符 任一力學(xué)量 都對應(yīng)于

3、一個力學(xué)量算符 ； 且 是厄米算符， ； 力學(xué)量算符 的本征值就是力學(xué)量F允許的取值； 當(dāng)且僅當(dāng)粒子處在 本征態(tài)時，粒子的力學(xué)量有確定值，i.e.相應(yīng)的本征值。,.,量子力學(xué)第四個基本假定：力學(xué)量的平均值 量子力學(xué)中所說的力學(xué)量算符的本征波函數(shù)是完備的，i.e. 任一波函數(shù)均可用此本征波函數(shù)展開； 展開系數(shù)模平方是粒子處在該本征態(tài)的幾率； 力學(xué)量在態(tài)的平均值是：,.,4.4 常見力學(xué)量算符的本征值和,常見力學(xué)量算符： 坐標(biāo)： ， 任意且連續(xù) 歸一化：,.,二，動量,正交歸一： 經(jīng)驗：當(dāng)本征值取連續(xù)值時，本征波函數(shù)要歸一化為函數(shù) 三，軌道角動量 角動量算符及其對易關(guān)系,.,可證： 有共同的本征波

4、函數(shù)完備集,.,2. 球坐標(biāo)系下，軌道角動量算符的表達(dá)式,特點 、 只與 有關(guān)，與r無關(guān) 可求 或 或 的共同本征波函數(shù)完備集。,.,3.球坐標(biāo)下求解 的共同本征波函數(shù)完備集,在球坐標(biāo)下有： 利用自然邊界條件： 和 是同一點 得 將其帶入方程并作參數(shù)變換，變形后對比Legendre方程可得： 其中 為球諧函數(shù)， 為連帶Legendre多項式,.,球諧函數(shù)的性質(zhì)： 正交歸一性； 宇稱確定； 完備性； 遞推性。 升降算符 定義： 厄米共軛： 對易關(guān)系： 對于球諧函數(shù)有：,.,4.5 不確定關(guān)系,引入： 兩算符 有共同本征波函數(shù)完備集的充分必要條件是： 當(dāng)粒子處于算符 本征態(tài)時， 有確定值， 當(dāng)粒子

5、處于算符 本征態(tài)時， 有確定值， 因此，當(dāng) 時， 、 可同時有確定值 那么，當(dāng) 時，兩者是否可同時有確定值？ 計算可知： 此式稱為測不準(zhǔn)關(guān)系或不確定關(guān)系。,.,測不準(zhǔn)關(guān)系的理解,測不準(zhǔn)關(guān)系表示不論粒子處于什么狀態(tài)，在任一時刻測量到的粒子力學(xué)量A與B的幾率分布寬度A與B之間，存在一定的關(guān)系。若 與 不對易， 一般不為零，這時測不準(zhǔn)關(guān)系表示乘積A與B一定大于或等于某一個正數(shù)。這表明A與B不能同時為零，粒子波函數(shù)不可能同時是 與 的本征函數(shù)，粒子不可能同時處于 與 的本征態(tài)上。,.,4.7 力學(xué)量平均值隨時間的變化，守恒量,在由歸一化波函數(shù) 描寫的態(tài)中，力學(xué)量F的平均值 一般為時間t的函數(shù)，上式對t

6、微商，得 利用薛定諤方程及其復(fù)共軛方程，結(jié)合 是厄米算符的特點，得 如果 不含t，且 與 對易，則 ， 不隨時間變化，可見，力學(xué)量算符不含t，且與 對易的條件下，無論粒子處于何態(tài)，該力學(xué)量的平均值均不隨時間變化，該力學(xué)量稱為守恒量。,.,討論,在某一力場中力學(xué)量F守恒，并不表示力學(xué)量F一定去確定值fn。它僅表示無論粒子處于此力場的哪一個態(tài)上，力學(xué)量F的平均值均不隨時間變化。如果t=0時粒子的F=fn，即粒子處于 的本征值為fn的本征態(tài)上，則任何時候該粒子的F都是fn，即粒子永遠(yuǎn)處于 的本征值為fn的本征態(tài)上；反之亦然。,.,4.7 維里定理與F-H定理,維里定理 維里定理包含以下兩個內(nèi)容： 當(dāng)粒子處于勢場V(r)中的束縛定態(tài)n(r)時