1、.,1,小波變換原理與應(yīng)用,學(xué)院：電子信息工程學(xué)院 專業(yè)：xxx 姓名：,時(shí)間：2016年3月26號,.,為什么需要要對信號進(jìn)行變換,原始信號有一些信息是很難獲取的，為了獲得更多的信息，我們需要對原始信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。從而獲得更多的信息。例如生活中常見的心電圖，在心電圖的時(shí)域信號中一般很難找到這些病情，所以心臟病專家一般用記錄在磁帶上的時(shí)域心電圖來分析心電信號，從而確定病癥是否存在。,.,3,一、FT和STFT 二、小波變換 三、小波變換在圖像處理中的應(yīng)用,主要內(nèi)容,.,1.1 傅里葉變換（FT）,FT：,IFT：,通過上述FT公式可以發(fā)現(xiàn)，信號的頻域是一些指數(shù)項(xiàng)的累加和，每個(gè)指數(shù)項(xiàng)對應(yīng)特定的

2、頻率，然后在整個(gè)時(shí)域整合起來。其中指數(shù)項(xiàng)可以用以下的表達(dá)式表示：,即信號是由一些不同頻率的正弦項(xiàng)疊加起來的，如果信號中頻率為f的分量幅度較大，那么這個(gè)分量就和正弦項(xiàng)重疊，他們的即就比較大，這表明信號有一個(gè)頻率為f的主要分量。,.,信號一,cos(2*pi*10*t)+cos(2*pi*25*t)+cos(2*pi*100*t)+cos(2*pi*50*t),信號二,.,對上面兩個(gè)信號進(jìn)行FT后得到的頻域圖,信號一,信號二,由于這個(gè)信號的頻率分量一直保持不變，我們將此類信號稱之為平穩(wěn)信號,非平穩(wěn)信號,.,由上面兩個(gè)頻域圖可以看出傅里葉變換只能給出信號的頻譜分量，而無法給出相應(yīng)的頻譜分量的出現(xiàn)時(shí)間

3、，當(dāng)我們想知道頻率分量出現(xiàn)的確切時(shí)間時(shí)，傅里葉變換對于非平穩(wěn)信號是不合適的。而且現(xiàn)實(shí)中幾乎所有的生物信號都是非平穩(wěn)的。那么我們應(yīng)該怎樣將時(shí)間信息加到頻率圖中去呢？這時(shí)我們可以考慮將部分非平穩(wěn)信號看成平穩(wěn)信號。,.,1.2STFT,STFT:,STFT只不過是對乘了一個(gè)窗函數(shù)的信號做傅里葉變換，以此得到在某段時(shí)間內(nèi)的頻率信息。,根據(jù)海森堡測不準(zhǔn)原理，在STFT中由于窗口長度有限，它僅僅覆蓋了信號的一部分，因此導(dǎo)致頻率分辨率較差，即我們不能確切的知道信號中那些頻率分量存在，只知道那些頻段的分量存在。,.,如果我們有一個(gè)無限長的窗口，然后做傅里葉變換，會(huì)得到完美的頻率分辨率，但是結(jié)果中不包含時(shí)間信息

4、。更進(jìn)一步為了獲得信號的平穩(wěn)性，我們需要一個(gè)寬度足夠短的窗函數(shù)，窗口越短，時(shí)間分辨率越高，信號的穩(wěn)定性越高，但是頻率分辨率卻越來越低。,窄窗=高時(shí)間分辨率，低頻率分辨率 寬窗=高頻率分辨率，低時(shí)間分辨率,.,加窄窗之后對應(yīng)的STFT，可見有較好的時(shí)間分辨率，但是頻率分辨率很差。,加較寬窗之后對應(yīng)的STFT，可見有較好的頻率分辨率，但是時(shí)間分辨率很差。,.,11,2.1 小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué),1807: Joseph FourierFT，只有頻率分辨率而沒有時(shí)間分辨率 1909: Alfred Haar發(fā)現(xiàn)了Haar小波 1945: GaborSTFT 1980：MorletMorlet小波

5、，并分別與20世紀(jì)70年代提出了小波變換的概念，20世紀(jì)80年代開發(fā)出了連續(xù)小波變換CWT（ continuous wavelet transform ） 1986：Y.Meyer提出了第一個(gè)正交小波Meyer小波 1988： Stephane MallatMallat快速算法（塔式分解和重構(gòu)算法）,.,12,小波的發(fā)展歷史工程到數(shù)學(xué),1988： Inrid Daubechies作為小波的創(chuàng)始人，揭示了小波變換和濾波器組(filter banks)之間的內(nèi)在關(guān)系，使離散小波分析變成為現(xiàn)實(shí) Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科學(xué)家在把小波理論引入到工程應(yīng)用

6、方面做出了極其重要貢獻(xiàn) 在信號處理領(lǐng)域中，自從Inrid Daubechies完善了小波變換的數(shù)學(xué)理論和Stephane Mallat構(gòu)造了小波分解和重構(gòu)的快速算法后，小波變換在各個(gè)工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，典型的如語音信號處理、醫(yī)學(xué)信號處理、圖像信息處理等,.,13,2.2.1 連續(xù)小波變換,如果函數(shù) 滿足以下容許性條件：,則稱 為一容許性小波，并定義如下的積分變換：,以上積分變換為 以 為母小波的積分連續(xù)小波變換，a為尺度因子，表示與頻率相關(guān)的伸縮，b為時(shí)間平移因子。,.,2.2.2離散小波變換,將a,b離散化，令 ，可以得到離散小波變換：,其中：,.,2.3 幾種常用小波,（1） Ha

7、ar小波,A.Haar于1990年提出一種正交函數(shù)系，定義如下：,.,（2）Meyer函數(shù),Meyer小波函數(shù) 和尺度函數(shù) 都是在頻域中進(jìn)行定義的，是具有緊支撐的正交小波。,其中， 為構(gòu)造函數(shù)Meyer的輔助函數(shù)，且有：,.,（3）其他常用小波,Daubechies(dbN)小波系 Biorthogonal(biorNr.Nd)小波系 Symlets(symN)小波系 Morlet(morl)小波 Coiflet(CoifN)小波系,.,2.4 塔式算法,(1) 信號在小波空間的展開為：,（2）小波分解算法 使用多分辨析的金字塔算法：,實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以一次一次地進(jìn)行小波分解，然后遞推實(shí)現(xiàn)(J-

8、j)次小波分解。假設(shè)一次小波分解的尺度系數(shù)和小波系數(shù)為：,.,可以得到：,因?yàn)椋?故：,代入得：,從而：,最后得到如下尺度系數(shù)和小波系數(shù)：,.,基于離散余弦變換的圖像壓縮算法，其基本思想是在頻域?qū)π盘栠M(jìn)行分解，去除信號點(diǎn)之間的相關(guān)性，并找出重要系數(shù)，濾掉次要系數(shù)，以達(dá)到壓縮目的。但是該方法在處理過程中不能提供時(shí)域的信息，在比較關(guān)心的時(shí)域特性的時(shí)候顯得無能為力。,三、小波分析在圖像處理中的應(yīng)用,有時(shí)，對圖像分析時(shí)，需要對某個(gè)局部的細(xì)節(jié)要求有很高的分辨率，單純的時(shí)域分析方法顯然不能達(dá)到這個(gè)要求，雖然可以通過對圖像進(jìn)行塊分解，然后對每塊作用不同的閾值或掩碼來達(dá)到這個(gè)要求，但分塊大小相對固定，有失靈活性。 在這個(gè)方面，小波分析就優(yōu)越的多。由于小波分析具有固定的時(shí)頻特性，可以在時(shí)頻兩個(gè)方向?qū)ο禂?shù)進(jìn)行處理，這樣就可以對感興趣的部分提供不同的壓縮精度。,.,3.1 二維小波變換的圖像壓縮,二維小波變換用于圖像壓縮是小波分析應(yīng)用中的一個(gè)重要方面。它的特點(diǎn)是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持圖像的特征基本不變，并且在壓縮過程中可以抗干擾。,對于一幅圖像（二維信號）來說，表現(xiàn)一副圖像的最主要部分是低頻部分，所以最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像的高頻部分而只保留低頻部分。,.,3.2 小波變換用于圖像去噪,噪聲就是妨礙人的視覺器官或系統(tǒng)傳感器所接收圖像源進(jìn)行理解和分析的各種噪聲