1、1,計算方法,第二章 插值法,2,第二章 插值法和最小二乘法,2.1 引言,2.2 拉格朗日插值多項式,2.3 差商與牛頓插值公式,2.4 差分與等距節(jié)點插值公式,2.5 分段低次插值,2.6 三次樣條 插值,3,本章要點,用簡單的函數(shù)(如多項式函數(shù))作為一個 復(fù)雜函數(shù)的近似,最簡單實用的方法就是 插值,本章主要介紹有關(guān)插值法的一些基本概念, 及多項式插值的基礎(chǔ)理論和幾個常用的插 值方法:Lagrange插值、分段線性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次樣條插值,4,自然地，希望g(x)通過所有的離散點,實際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測到一些離散數(shù)據(jù)； 或者f(x)過于復(fù)

2、雜而難以運算。這時我們要用近似函數(shù)g(x)來逼近f(x)。,5,2.1 引言,一、插值問題,6,-(1),這就是插值問題, (1)式為插值條件,7,其插值函數(shù)的圖象如圖,問題,是否存在唯一 如何構(gòu)造 誤差估計,8,9,二、代數(shù)插值多項式的存在唯一性,整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞,為了使插值函數(shù)更方便在計算機上運算,一般插值函 數(shù)都使用代數(shù)多項式和有理函數(shù),本章討論的就是代數(shù)插值多項式,且滿足,-(2),-(3),10,-(4),上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式,11,定理1.,由Cramer法則,線性方程組(4)有唯一解,-(2),-(3),則滿足插值條件,的插

3、值多項式,存在且唯一.,雖然線性方程組(4)推出的插值多項式存在且唯一,但通過解線性方程組(4)求插值多項式卻不是好方法,12,根據(jù)線性空間的理論,并且形式不是唯一的,且在不同的基底下有不同的形式,2.2 拉格朗日插值多項式,13,14,-(5),-(6),且滿足(1)式,15,-(7),n+1次多項式,16,-(7),且,-(8),(請同學們思考),從而,17,令,即,由(8)式,可得,-(9),-(10),18,其中,-(7,7),-(11),19,例,解:,20,且,在例1中,如果只給出兩個節(jié)點169和225,也可以作插值 多項式,即1次Lagrange插值多項式,有兩個插值基函數(shù), 這

4、種插值方法稱為Lagrange線性插值,也可以在n+1個 節(jié)點中取相鄰的兩個節(jié)點作線性插值,21,Lagrange線性插值基函數(shù)為,Lagrange線性插值多項式為,參見圖,22,例,解:,Lagrange插值基函數(shù)為,Lagrange線性插值多項式為,23,所以,Lagrange插值多項式的缺點：,插值基函數(shù)計算復(fù)雜,高次插值的精度不一定高,24,插值多項式中的誤差,一、插值余項,滿足,不會完全成立,因此,插值多項式存在著截斷誤差,那么我們怎樣估 計這個截斷誤差呢？,25,令,設(shè),其中,26,27,根據(jù)Rolle定理,再由Rolle定理,依此類推,由于,因此,28,所以,定理1.,Lagrange型余項,29,設(shè),則,30,例,解:,31,32,例,并作圖比較.,解:,33,不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖,Runge現(xiàn)象,34,結(jié)果表明,并不是插