1、教學(xué)目的：多元函數(shù)的有關(guān)概念 教學(xué)重點：平面區(qū)域 二元函數(shù)的連續(xù)性 教學(xué)難點：二元函數(shù)極限的計算,多元函數(shù),多元函數(shù),以前討論的函數(shù)只含有一個自變量，稱為一元函數(shù).,本章將以一元函數(shù)微分學(xué)為基礎(chǔ)介紹多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用.,多元函數(shù),但實際問題通常受多種因素的影響.,例圓柱體的體積v =r2h，它含有兩個自變量.,又如溫度的變化，它與空間點的坐標（x, y, z） 和時間t等因素有關(guān)，故表示溫度的函數(shù)至少含 有4個自變量.,含有多個自變量的函數(shù)稱為多元函數(shù).,多元函數(shù),定義1 全部xoy平面或由xoy面上一條或幾條曲線圍成的一部分平面，稱為一個平面區(qū)域，常用字母D表示. 圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域

2、的邊界. 閉區(qū)域，開區(qū)域，有界區(qū)域，無界區(qū)域.,x軸上的區(qū)間可用x的不等式（組）表示， xoy平面上的區(qū)域可用x、y的不等式（組）表示.,平面區(qū)域與鄰域,例題,鄰域,例2 理想氣體的壓強P，體積V和絕對溫度 T之間具有關(guān)系,其中R是常數(shù). 對于V和T在它們的變化范圍內(nèi)所取的每一值，P的對應(yīng)值隨之而確定.,例題,例3 設(shè)長方體的長、寬、高分別為x、y、z，則其體積為,v = xyz.,在長、寬、高的變化范圍內(nèi)給定一組x、y、z的數(shù)值， 體積v就隨之而確定.,定義3 設(shè)D是平面上的一個點集，如果對于每個點 P(x，y) D，變量z按照一定的法則總有確定的 值與之對應(yīng)，則稱z是變量x、y的二元函數(shù)(

3、或點P 的函數(shù))，,例題,記為 z = f (x, y) (或z = f (P).,點集D稱為該函數(shù)的定義域，x、y稱為自變量，z稱為因 變量.,數(shù)集 z|z = f (x, y)，(x,y)D 稱為該函數(shù)的值域.,類似地 可以定義三元函數(shù)u=f(x, y, z)和更多元的函數(shù). 二元及二元以上的函數(shù)叫多元函數(shù).,多元函數(shù),在平面上它表示條型區(qū)域.,在平面上它表示無界開區(qū)域,多元函數(shù)定義域的求法和一元函數(shù)定義域的求法類似，定義域在幾何上的意義與一元函數(shù)是不同的.,例題,以x為橫坐標、y為縱坐標、z為豎坐標，在空間確定了一個點M (x, y, z).,設(shè)二元函數(shù)z = f (x, y) 的定義域

4、為D，對于任意取定的點P(x, y)D，對應(yīng)的函數(shù)值為z = f (x, y).,當點(x, y)在D上變化且取遍D上的一切點時，動點M (x, y, z)在空間移動形成一張曲面，稱為函數(shù)z = f (x, y)的圖形（圖示8.5）.,二元幾何意義,例5 指出下列二元函數(shù)對應(yīng)的空間曲面：,解 （1）過原點的平面.,例題,記為,二元函數(shù)的極限,如沿射線、沿曲線、沿點列等等.,因而二元函數(shù)的極限一般較難計算.,不過，二元函數(shù)的極限有與一元函數(shù)極限相同的四則運算法則，且某些二元函數(shù)極限問題可以轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來計算.,注意,解,例題,若f (x, y)在區(qū)域D上每點都連續(xù)，則稱f (x, y)為區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù).,定理1 (1) 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為 零）和 復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).,(2) 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域上連續(xù).,利用定理1很容易確定初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)域或求初等函數(shù)的某些極限.,二元函數(shù)連續(xù)性,故,定理2 （1）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的函數(shù)必在D上有最 大值和最小值.,（2）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的函數(shù)，必能取得介于最大值和最小值之間的任何值.,例題,(1) 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)和復(fù)合函數(shù) 仍連續(xù)；,(2) 初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域上連續(xù)；,(3) 在有界閉區(qū)