1、淺談數(shù)學(xué)發(fā)展史中的三次“危機(jī)”數(shù)學(xué)常常被人們認(rèn)為是自然科學(xué)中發(fā)展得最完善的一門(mén)學(xué)科，但在數(shù)學(xué)的發(fā)展史中，卻經(jīng)歷了三次危機(jī)，人們?yōu)榱耸箶?shù)學(xué)向前發(fā)展，從而引入一些新的東西使問(wèn)題化解，在第一次危機(jī)中導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生；第二次危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)微積分誕生后，無(wú)窮小量的刻畫(huà)問(wèn)題，最后是柯西解決了這個(gè)問(wèn)題；第三次危機(jī)發(fā)生在19世紀(jì)末，羅素悖論的產(chǎn)生引起數(shù)學(xué)界的軒然大波，最后是將集合論建立在一組公理之上，以回避悖論來(lái)緩解數(shù)學(xué)危機(jī)。本文回顧了數(shù)學(xué)上三次危機(jī)的產(chǎn)與發(fā)展，并給出了我對(duì)這三次危機(jī)的看法，最后得出確定性喪失的結(jié)論。一、數(shù)學(xué)史上的第一次“危機(jī)”第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是發(fā)生在公元前580568年之間的古希臘。那時(shí)的

2、數(shù)學(xué)正值昌盛，特別是以畢達(dá)哥拉斯為代表的畢氏學(xué)派對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)進(jìn)行了研究，他們認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”。所謂數(shù)就是指整數(shù)，他們確定數(shù)的目的是企圖通過(guò)揭示數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙的永恒真理，信條是：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比，即世界上只存在整數(shù)與分?jǐn)?shù)，除此之外他們不認(rèn)識(shí)也不承認(rèn)別的數(shù)。在那個(gè)時(shí)期，上述思想是絕對(duì)權(quán)威、是“真理”。但是不久人們發(fā)現(xiàn)即使邊長(zhǎng)為1的正方形對(duì)角線不是可比數(shù)。這樣畢達(dá)哥拉斯“萬(wàn)物皆數(shù)”是不成立的，絕對(duì)的權(quán)威受到了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)：一方面證明單位正方形對(duì)角線的長(zhǎng)不是整數(shù)分?jǐn)?shù)，按照他們的觀點(diǎn)，這種長(zhǎng)度不是數(shù)！另一方面，他們不承認(rèn)自己的觀點(diǎn)有問(wèn)題，這就陷入了極大的矛盾之中，這是第一次數(shù)學(xué)危

3、機(jī)。二、數(shù)學(xué)史上的第二次“危機(jī)”第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在十七世紀(jì)。十七世紀(jì)微積分誕生后，由于推敲微積分的理論基礎(chǔ)問(wèn)題，數(shù)學(xué)界出現(xiàn)混亂局面，即第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。其實(shí)我翻了一下有關(guān)數(shù)學(xué)史的資料，阿基米德的逼近法實(shí)際上已經(jīng)掌握了無(wú)限小分析的基本要素，直到很多年后，牛頓和萊布尼茲開(kāi)辟了新的天地 微積分。微積分的主要?jiǎng)?chuàng)始人牛頓在一些典型的推導(dǎo)過(guò)程中，第一步用了無(wú)窮小量作分母進(jìn)行除法，當(dāng)然無(wú)窮小量不能為零；第二步牛頓又把無(wú)窮小量看作零，去掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式，在力學(xué)和幾何學(xué)的應(yīng)用證明了這些公式是正確的，但它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程卻在邏輯上自相矛盾。直到19世紀(jì)，柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論。柯西認(rèn)為

4、把無(wú)窮小量作為確定的量，即使是零，都說(shuō)不過(guò)去，它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾。無(wú)窮小量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質(zhì)上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無(wú)窮小的概念，另外weistrass創(chuàng)立了極限理論，加上實(shí)數(shù)理論，集合論的建立，從而把無(wú)窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來(lái)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決。三、數(shù)學(xué)史上的第三次“危機(jī)”1.悖論的產(chǎn)生及意義（1）什么是悖論悖論來(lái)自希臘語(yǔ)，意思是“多想一想”。這個(gè)次的意義比較豐富，它包括一切與人的知覺(jué)和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論，那些結(jié)論會(huì)使我們驚異無(wú)比。悖論是自相矛盾的命題，即如果承認(rèn)這個(gè)命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認(rèn)這

5、個(gè)命題的否定命題成立，又可推出原命題成立。如果承認(rèn)它是真的，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認(rèn)它是假的，經(jīng)過(guò)一系列正確的推理，卻又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖論，他們震撼了邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，激發(fā)了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來(lái)許多思想家和愛(ài)好者的注意力。解決悖論難題需要?jiǎng)?chuàng)造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來(lái)全新的觀念。（2）悖論產(chǎn)生的意義悖論是在數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系發(fā)展到相當(dāng)高的階段才出現(xiàn)的。它是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科理論體系可能存在的內(nèi)在矛盾的揭示。雖然暫時(shí)引起人們的思想混亂，對(duì)正常的科學(xué)研究可能會(huì)形成一定的沖擊，但它對(duì)于揭露原有理論體系中的邏輯矛盾，對(duì)于揭露原有理論的缺陷

6、或局限性，對(duì)于這一步深入理解，任何和評(píng)價(jià)原有科學(xué)理念，對(duì)于原有的科學(xué)概念或理論的進(jìn)一步充實(shí)完善和促進(jìn)科學(xué)管理的產(chǎn)生都有相當(dāng)重要的意義，同時(shí)也為科學(xué)研究提供了新的課題和研究方向。2.第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生與解決（1）什么是數(shù)學(xué)危機(jī) 為了講清楚第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的來(lái)龍去脈，我們首先要說(shuō)明什么是數(shù)學(xué)危機(jī)。一般來(lái)講，危機(jī)是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學(xué)上來(lái)看，矛盾是無(wú)處不在的、不可避免的，即便以確定無(wú)疑著稱的數(shù)學(xué)也不例外。數(shù)學(xué)中有大大小小的許多矛盾，比如正與負(fù)、加法與減法、微分與積分、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)與虛數(shù)等等。但是整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無(wú)窮，連續(xù)與離散，乃至存在與構(gòu)造，

7、邏輯與直觀，具體對(duì)象與抽象對(duì)象，概念與計(jì)算等等。在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭(zhēng)與解決。而在矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)，就產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。 （2）“羅素悖論”與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生于十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)初，當(dāng)時(shí)正是數(shù)學(xué)空前興旺發(fā)達(dá)的時(shí)期。首先是邏輯的數(shù)學(xué)化，促使了數(shù)理邏輯這門(mén)學(xué)科誕生。 十九世紀(jì)七十年代康托爾創(chuàng)立的集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是產(chǎn)生危機(jī)的直接來(lái)源。十九世紀(jì)末，戴德金及皮亞諾對(duì)算術(shù)及實(shí)數(shù)理論進(jìn)行公理化，推動(dòng)了公理化運(yùn)動(dòng)。而公理化運(yùn)動(dòng)的最大成就則是希爾伯特在1899年對(duì)于初等幾何的公理。1919年羅素提出著名的羅素悖論，它涉及到某村理發(fā)師的困境。理發(fā)師宣布了這樣

8、一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，只給村里這樣的人刮臉。當(dāng)人們?cè)噲D回答下列疑問(wèn)時(shí)，就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)：理發(fā)師是否自己給自己刮臉？如果他不給自己刮臉，那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則。 羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了。無(wú)怪乎弗雷格在收到羅素的信之后，在他剛要出版的算術(shù)的基本法則第2卷末尾寫(xiě)道：一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時(shí)，它的基礎(chǔ)垮掉了，當(dāng)本書(shū)等待印出的時(shí)候，羅素先生的一封信把我置于這種境地。于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研。羅素悖論除了集合概念外并不涉及任何其他概念，從而明白無(wú)疑地揭示了集合論本身確實(shí)存在著矛盾，在數(shù)

9、學(xué)界引起了一片震驚。因?yàn)椋藭r(shí)的數(shù)學(xué)大廈幾乎完全建立在集合論基礎(chǔ)上。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)出現(xiàn)了，并且其危險(xiǎn)程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于前兩次，人們進(jìn)行極大的努力試圖消除這個(gè)危機(jī)，卻都沒(méi)有獲得滿意的結(jié)果，但這個(gè)過(guò)程同樣極大地發(fā)展了數(shù)學(xué)，同時(shí)也改變了人們的數(shù)學(xué)觀念。 承認(rèn)無(wú)窮集合，承認(rèn)無(wú)窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來(lái)了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失?，F(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡(jiǎn)直難說(shuō)孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。所以，第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著。 （3）第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決羅素的悖論產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)

10、家們就開(kāi)始為這場(chǎng)危機(jī)尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以回避悖論。首先進(jìn)行這個(gè)工作的是德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會(huì)產(chǎn)生悖論的集合論，又經(jīng)過(guò)德國(guó)的另一位數(shù)學(xué)家弗芝克爾的改進(jìn)，形成了一個(gè)無(wú)矛盾的集合論公理系統(tǒng)（即所謂zf公理系統(tǒng)），這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)到此緩和下來(lái)?，F(xiàn)在，我們通過(guò)離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，知道集合論主要分為cantor集合論和axiomatic集合論，集合是先定義了全集i，空集，在經(jīng)過(guò)一系列一元和二元運(yùn)算而得來(lái)的。而在七條公理上建立起來(lái)的集合論系統(tǒng)避開(kāi)了羅素悖論，使現(xiàn)代數(shù)學(xué)得以發(fā)展。三次數(shù)學(xué)危機(jī)是我們數(shù)學(xué)史發(fā)展中的一個(gè)奠基，他為我們?nèi)蘸蟾敿?xì)、深入的研究數(shù)學(xué)做了很好的鋪墊，我想以后也許會(huì)有第四次數(shù)學(xué)危機(jī)，但數(shù)學(xué)家也會(huì)把它化解掉，只有出現(xiàn)危機(jī)，才能使我們的數(shù)學(xué)研究達(dá)到更高的境界。四、結(jié)論第