1、1,第11章彎曲應(yīng)力,目錄,2,對稱彎曲正應(yīng)力對稱彎曲切應(yīng)力梁的強度條件梁的合理強度設(shè)計彎拉（壓）組合,0,目錄,3,純彎曲梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上只有彎矩而無剪力(如圖中的CD段)。,對稱彎曲正應(yīng)力,4,從三方面考慮：,變形幾何關(guān)系,物理關(guān)系,靜力學(xué)關(guān)系,5,梁的純彎曲實驗,橫向線(mn、pq）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榛【€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍保持垂直。,由梁變形的連續(xù)性可知：在梁中一定有一層上的纖維既不伸長也不縮短，此層稱為中性層。中性層與梁橫截面的交線稱為中性軸。,幾何方面,6,根據(jù)表面變形情況，對純彎曲變形下作出如下假設(shè)：,（1）平面假設(shè)梁在純彎曲時，其原來

2、的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持垂直。,（2）單向受力假設(shè)梁的縱向纖維處于單向受力狀態(tài)，且縱向纖維之間的相互作用可忽略不計。,7,正應(yīng)力公式的推導(dǎo),弧線O1O2的長度為：,距中性層為y處的縱向纖維ab的伸長為：,(b),8,物理方面,此式表明，梁橫截面上的正應(yīng)力與其作用點到中性軸的距離成正比，并且在y坐標(biāo)相同的各點處正應(yīng)力相等，如圖所示。,梁的各縱向纖維均處于單向受力狀態(tài)，因此，在彈性范圍內(nèi)正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系為：,9,靜力學(xué)方面,由圖可以看出，梁橫截面上各微面積上的微內(nèi)力dFN=dA構(gòu)成了空間平行力系，它們向截面形心簡化,

3、，,由截面法可知，上式中的FN等于零，而MZ就是該截面上的彎矩M，所以有,10,因為不等于零，所以有,由此可知，中性軸通過橫截面的形心，于是就確定了中性軸的位置。,11,上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。,最后，可得梁在純彎曲時橫截面上任一點的正應(yīng)力的計算公式為,12,橫截面上的最大正應(yīng)力,中性軸z為橫截面對稱軸的梁其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(如圖)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。,中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值為,Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)。,13,橫截面上應(yīng)力分布,中性軸z不是橫截面的對稱軸時，其

4、橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為,14,慣性矩與平行軸定理,簡單截面的慣性矩,矩形截面,圓形截面,組合公式,平行軸定理,15,在豎向荷載作用下，通常梁橫截面上不僅有彎矩而且有剪力，這種情況下我們稱之為橫力彎曲。而實際工程中的梁，大多發(fā)生的都是橫力彎曲。對于工程實際中常用的梁，應(yīng)用純彎曲時的正應(yīng)力計算公式來計算梁在橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力，所得的結(jié)果雖略偏低一些，但足以滿足工程中的精度要求。,橫力彎曲,16,解：先求出C截面上彎矩,例題長為l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F(xiàn)=1.5kN，求C截面上K點的正應(yīng)力。,截面對中

5、性軸的慣性矩,將MC、Iz、y代入正應(yīng)力計算公式，則有,K點的正應(yīng)力為正值，表明其應(yīng)為拉應(yīng)力。,17,對稱彎曲切應(yīng)力,1、兩點假設(shè),（1）橫截面上各點處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行。（2）橫截面上距中性軸等距離各點的切應(yīng)力相等。,2、切應(yīng)力公式的推導(dǎo),矩形截面梁的切應(yīng)力,從梁中取出長為dx的微段，如右圖所示。,18,現(xiàn)假設(shè)用一水平截面將微段梁截開，并保留下部脫離體，由于脫離體側(cè)面上存在豎向切應(yīng)力，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在脫離體的頂面上一定存在切應(yīng)力，且=,如圖c所示。,微段梁上的應(yīng)力情況如圖b所示。,19,得,（a）,由,以FN1、FN2分別代表作用在脫離體左側(cè)面、右側(cè)面上法向內(nèi)力的總和，dFS代表

6、水平截面上切應(yīng)力的總和，如圖d。,式中的A1是橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積（圖e），,是A1對中性軸的靜矩。,20,由于微段的長度很小，脫離體水平截面上的切應(yīng)力可認為是均勻分布的，所以有,綜合考慮FN1、FN2、dFS，得到,經(jīng)整理得,21,上式即為矩形截面梁橫截面任一點的切應(yīng)力計算公式。式中：FS為橫截面上的剪力；Sz*為面積A1對中性軸的靜矩；Iz橫截面對中性軸的慣性矩；b為截面的寬度。,對于矩形截面梁，由圖67a可知,最后可得,22,例題一矩形截面的簡支梁如圖所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F(xiàn)=3kN，求mm截面上K點的切應(yīng)力。,解：先求出

7、mm截面上的剪力為3kN，截面對中性軸的慣性矩為,面積A*對中性軸的靜矩為,則K點的切應(yīng)力為,23,工字形截面梁的切應(yīng)力,工字型截面是由上、下翼緣及中間腹板組成的。,1、腹板上的切應(yīng)力,由于腹板是狹長矩形，完全可以采用前述兩個假設(shè)，因此上節(jié)推導(dǎo)的切應(yīng)力的計算公式，對于工字型截面的腹板來講也是適用的，即,式中：FS為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點到截面邊緣間的面積對中性軸的靜矩；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩；b1為腹板的厚度。,切應(yīng)力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖a所示，仍是按拋物線規(guī)律分布，最大切應(yīng)力max仍發(fā)生在截面的中性軸上。,24,翼緣上的切應(yīng)力的情況比較復(fù)雜，既有平行于y軸的切應(yīng)力分量（

8、豎向分量），也有與翼緣長邊平行的切應(yīng)力分量（水平分量）。當(dāng)翼緣的厚度很小時，豎向切應(yīng)力很小，一般不予考慮。,2、翼緣上的切應(yīng)力,25,梁的強度條件,梁的正應(yīng)力強度條件,對梁的某一橫截面來講，最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠的位置，而對整個等截面梁來講，最大應(yīng)力由彎矩分布和截面形狀二者決定,式中的Wz稱為彎曲截面系數(shù)，它與梁的截面形狀和尺寸有關(guān)。,26,梁的切應(yīng)力強度條件,整個等截面梁來說，最大切應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，即,為了保證梁的安全工作，梁在荷載作用下產(chǎn)生的最大切應(yīng)力不能超過材料的許用切應(yīng)力，即,此式即為切應(yīng)力的強度條件。,27,在進行梁的強度計算時，必須同時滿足正應(yīng)力強度條

9、件和切應(yīng)力強度條件。一般情況下，梁的強度計算由正應(yīng)力強度條件控制。因此，按正應(yīng)力強度條件設(shè)計的截面?？墒骨袘?yīng)力遠小于許用切應(yīng)力。所以一般情況下，總是根據(jù)梁橫截面上的最大正應(yīng)力來設(shè)計截面，然后再按切應(yīng)力強度條件進行校核。,28,解：（1）校核最大正應(yīng)力,彎矩圖如圖c所示，最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩的截面上。查型鋼表可知,例題一外伸工字型鋼梁如圖a所示。工字鋼的型號為22a，已知：l=6m，F(xiàn)=30kN，q=6kN/m，材料的許用應(yīng)力=170MPa，=100MPa,試校核梁的強度。,12kN.m,則最大正應(yīng)力,（2）校核最大切應(yīng)力,剪力圖如圖b所示，最大切應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大剪力的截面上。查型鋼表可知

10、,則最大切應(yīng)力,所以此梁安全。,29,梁的合理強度設(shè)計,梁的合理截面形狀,梁的合理截面形式是在截面面積相同的條件下具有較大的彎曲截面系數(shù)。,矩形截面、正方形截面和圓形截面在截面面積相同條件下其合理性的比較。,矩形和正方形的比較,當(dāng)時（圖b），可得，即，說明此時矩形截面不如同樣面積的正方形截面合理。,30,正方形和圓形的比較,31,變截面梁與等效強度梁,橫截面沿著梁軸線變化的梁，稱為變截面梁。最理想的變截面梁，是使梁的各個截面上的最大正應(yīng)力同時達到材料的許用應(yīng)力。即,這種梁梁稱為等強度梁。,現(xiàn)以跨度為l，自由端作用有集中力F的矩形截面懸臂梁為例，說明等強度梁的設(shè)計計算步驟。,假定梁截面的高度為常量h=h0，而其寬度為變量b=b(x)，則在離自由端距離為x處的彎曲截面系數(shù)為,彎矩為,32,而在固定端處的彎曲截面系