1、線性代數(shù)習題課,第三章 矩陣的初等變 換與線性方程組,（第 行的 倍加到第 行上，記作 ）.,一、內(nèi)容提要,（一）初等變換,定義1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:,（i）對調(diào)兩行（對調(diào)兩行 ，記作 ）；,（ii）以數(shù) 乘某一行中的所有元素（第 行乘 ，記作 ),（iii）把某一行所有元素的 倍加到另一行對應的元素上去；,（記號：“ ”換為“ ” ）,矩陣 與 列等價；記作 ；,若矩陣 經(jīng)過有限次初等列變換變成矩陣 ，則稱,陣 與 等價；記作 ；,矩陣 與 行等價；記作 ；,若矩陣 經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 ，則稱矩,定義2 若矩陣 經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣 ，則稱,注 （1）將定義中

2、“行”改為“列”，稱為矩陣的初等列變換；,（2）初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換,（二）初等矩陣,1定義 由單位矩陣 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為,2三種初等矩陣 ， ， .,行列式： ， ， .,逆矩陣： , , .,作 用：“左乘變行，右乘變列”,初等矩陣,（三）矩陣的秩,1定義 設矩陣 中有一個不等于 的 階子式 ，且所有,階子式（如果存在的話）全為 ,則稱 為 的最高,階非零子式數(shù) 稱為矩陣 的秩，記為 .,規(guī)定：零矩陣的秩為 ,2性質 （1） .,（2） .,（3）若 ，則 .,（4）若 可逆，則 .,3求法 （1）定義法；,（四）線性方程組的解,1 有非零解 ；,2 有解 ，

3、 ；即,（1）當 時， 有唯一解；,（2）當 時， 有無窮多解；,（3）當 時， 無解,3通解的求法: 初等行變換法,（2）利用初等行變換化 為與之等價的行階梯形,矩陣 非零行的行數(shù)就是 的秩,存在可逆陣 、 ，使 ,（五）一些重要結論,1 可逆 （ 為初等矩陣， ） ,2逆矩陣的求法 ,二、典型例題舉例,（一）填空題,【例1】 給 矩陣 左乘一個初等方陣，相當于對 施行 一次相應的 ；給 矩陣 右乘一個初等方陣，相當于 對 施行一次相應的 .,分析 本題是考查初等方陣的性質,解 初等行變換；初等列變換,【例2】 ， ， .,分析 本題是考查初等方陣的定義及性質,解 ； ； ,【例3】設矩陣

4、， ,則逆矩陣 .,分析 本題可利用初等行變換法求逆矩陣,解 ,可知， 的任何 階子式均為 ，故此時 ，所以,分析 本題是考查矩陣和伴隨矩陣秩之間的關系由,解 ,【例4】設 4 階方陣A 的秩為2，則其伴隨矩陣 的秩為 .,注 與 的秩的一般關系是 .,【例5】設 是 矩陣， 的秩 ，而 ，,分析 本題是考查矩陣秩的性質因 ，所以 可逆，,解 ,.,從而,【例6】已知 矩陣 的秩為 ， 矩陣 的秩為 ，則,的秩為 .,分析 本題是考查列乘行形式的矩陣秩的性質因 ，,，故 與 均至少有一個非零元，所以 也至少有,一個非零元，從而 ；又 的各行元素對應成比例，,所以 的任何階 子式均為 ，故 .可

5、見 .,解 ,注 一般結論：設 ， 均為非零列矩陣，則 .,分析 本題是考查初等方陣的性質及逆由于 與 互為逆矩陣，所以 ， 故應選 .,.,. 【 】,.,.,解 選 .,【例2】設 ， 是3 階初等方陣，則 等于,.,.,.,.,【 】,【例1】設A是n 階方陣，則下列各式中正確的是,（二）選擇題,知應選 .,矩陣 的第三行，故應選 .,分析 本題是考查初等方陣的性質由于 為用 乘,解 選 .,【例3】設線性方程組 有唯一解，則必有,.,.,.,.,【 】,分析 本題是考查線性方程組有唯一解的條件由,解 選 .,【例4】設 為 矩陣, 為 矩陣，若方程組,.,.,.,.,【 】,有無窮多解

6、，則必有,知應選 .,分析 本題是考查線性方程組有無窮多解的條件由：,解 選 .,（三）計算題,【例1】求矩陣 的逆矩陣,分析 本題A為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求逆陣.,解,所以,首元所在列的原矩陣中尋找A的最高階非零子式,將A 化為行階梯形矩陣，則與之等價的行階梯形矩陣的非零,行的行數(shù)就是A 的秩另外，可在階梯形矩陣中非零行非零,【例2】求矩陣 的秩，并求一最高階的非子式,分析 本題中A 為具體的矩陣，故可采用初等行變換法求秩,解 因 所以,因 ，所以 即為一個最高階的非零子式.,【例3】設矩陣 與 滿足 ，其中,（1）求 ；（2）求 .,分析 本題為常規(guī)的解矩陣方程題型一般方法是先

7、將矩陣,解（1）由 ，得 ；因,所以,方程化為基本型，再用初等行變換法求未知矩陣,（2）因 ，所以 .,【例4】求解齊次線性方程組,分析 本題為解齊次線性方程組題一般方法 將系數(shù)矩陣作初等行變換化為行最簡形； 由 判斷解的情況； 由最簡形得同解方程組； 選擇非自由未知數(shù)，寫出通解,解 因,同解方程組為,通解為 ，,【例5】設非齊次線性方程組 . 問 取何值 時，方程組有解；在方程組有解時，求出其通解,分析 本題為解含參數(shù)的非齊次線性方程組題，是個很重要的典型題一般方法 將增廣矩陣 作初等行變換化為行最簡形； 由 與 的關系判斷解的情況，由此得相應的取值； 由最簡形得同解方程組； 選擇非自由未知

8、數(shù)，寫出通解,解 因,所以，當 ，即 時，方程組才有解，此時,同解方程組為 ， 通解為,【例6】設 ， ，求 .,（教材P78, 習題6）,解 由 可得 ，因,由上述結果可知 可逆，且,【例7】求解非齊次線性方程組 .,(教材P.79, 習題14(3),解,所以 ，故原方程組有無窮多解 .,且同解方程組為 ,令 ， ，則得通解,【例8】問 取何值時，非齊次線性方程組,（1）有唯一解；（2）無解；（3）有無窮多個解？ （教材P.80, 習題16）,解法1 對增廣矩陣 作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣,可見（1）當 且 時， . 此時方程組有唯一解,（2）當 時， ， ， ；此時方程,（3）當 時， ，此時方程組有無窮多解.,組無解.,通解為,【 由于此時 ，同解