1、第三章 一階微分方程的解的存在定理,需解決的問題,3.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法,一 存在唯一性定理,1 定理1 考慮初值問題,證明思路,(2) 構造(3.5)近似解函數(shù)列,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),這是為了,即,下面分五個命題來證明定理,為此先給出,積分方程的解,如果一個數(shù)學關系式中含有定積分符號且在定積分符號下含有未知函數(shù), 則稱這樣的關系式為積分方程.,積分方程,命題1 初值問題(3.1)等價于積分方程,證明:,即,反之,故對上式兩邊求導,得,且,構造Picard逐步逼近函數(shù)列,問題:這樣構造的函數(shù)列是否行得通, 即上述的積分 是否有意義?,注,命題2,證明:(用數(shù)學

2、歸納法),命題3,證明:,考慮函數(shù)項級數(shù),它的前n項部分和為,對級數(shù)(3.9)的通項進行估計,于是由數(shù)學歸納法得知,對所有正整數(shù)n,有,現(xiàn)設,命題4,證明:,即,命題5,證明:,由,綜合命題15得到存在唯一性定理的證明.,一 存在唯一性定理,1 定理1 考慮初值問題,命題1 初值問題(3.1)等價于積分方程,構造Picard逐步逼近函數(shù)列,命題2,命題3,命題4,命題5,2 存在唯一性定理的說明,3 一階隱方程解存在唯一性定理,定理2,考慮一階隱方程,則方程(3.5)存在唯一解,滿足初始條件,三 近似計算和誤差估計,求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,這里,注:上式可用數(shù)學歸納法證明,

3、則,解,由于,由(3.19),解,解,與初值問題等價的積分方程為,其迭代序列分別為,取極限得,即初值問題的解為,3.2 解的延拓,問題提出,對于初值問題,例如 初值問題,1 飽和解及飽和區(qū)間,定義1,2 局部李普希茨(Lipschitz)條件,定義2,對定義2也可如下定義,注,3 解的延拓定理,定理,證明,定義函數(shù),以上這種把曲線向左右兩方延拓的步驟可一次一 次地進行下去.直到無法延拓為止.,它已經(jīng)不能向左右兩方繼續(xù)延拓的,即得到了(3.1) 的飽和解.,最后得到一條長長的積分曲線,推論1,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.,推論2,證明,推論3,例1 討論方程,解,該方程右側函數(shù)確定在整個

4、xy平面上且滿足解 的存在唯一性定理及解的延拓定理條件.其解為,例2,解,注,3.3 解對初值的連續(xù)性和可微性定理,解對初值的連續(xù)性 解對初值和參數(shù)的連續(xù)性 解對初值的可微性,內容:,G,圖例分析(見右),解對初值的對稱性:,Q:當初值發(fā)生變化時,對應的解是如何變化的? 當初始值微小變動時,方程的解變化是否也是很小呢？,證明,則由解的唯一性知,即此解也可寫成:,且顯然有:,按解的存在范圍是否有限,又分成下面兩個問題:,一 解對初值的連續(xù)性,定義,設初值問題,1.解對初值的連續(xù)依賴性,初值問題,引理 如果函數(shù) 于某域G內連續(xù)，且關于 y 滿足利普希茨條件（利普希茨常數(shù)為L），則對方程 的任 意兩

5、個解 及 ,在它們的公共存在區(qū)間內成立著不 等式 .其中 為所考慮 區(qū)間內的某一值。,證明,則,于是,因此,兩邊取平方根即得,2 定理1 (解對初值的連續(xù)依賴性定理),條件: I. 在G內連續(xù)且關于 滿足局部Lips.條件; II. 是(1)滿足 的解,定義 區(qū)間為a,b.,結論: 對 , 使得當,時,方程(1)過點 的解 在a,b上也有 定義,且,方程,思路分析：,記積分曲線段S：,顯然S是xy平面上的有界閉集.,第一步:找區(qū)域D,使 ,且 在D上滿足Lips.條件.,G,(見下圖),由已知條件,對 ,存在以它為中心的圓 ,使 在其內滿足Lips.條件,利普希茨常數(shù)為 .根據(jù)有限 覆蓋定理,

6、存在N,當 時,有,對 ,記,則以 為半徑的圓,當其圓心從S的 左端點沿S 運動到右端點時,掃過 的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域D,b,a,第二步:證明 在a,b上有定義.,假定 利用引理2及 的連續(xù)性可得:,第三步:證明,根據(jù)上面定理及方程的解關于自變量的連續(xù)性,顯然有:,3 定理2 (解對初值的連續(xù)性定理),條件: 在G內連續(xù)且關于 滿足局部Lips.條件;,方程,證明,令,二 解對初值的可微性,1 解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴定理,2 解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理,3 解對初值可微性定理,證明,因此,解對初值的連續(xù)性定理成立,即,即,和,于是,設,即,是初值問題,的解,根據(jù)解對初值和參數(shù)的連續(xù)性

7、定理,則,的解,不難求得,即,和,于是,即,是初值問題,的解,根據(jù)解對初值和參數(shù)的連續(xù)性定理,的解,不難求得,初值問題,例1,解,由公式得,作業(yè),P92 1,3,4,3.4 奇 解,一、包絡和奇解,1 包絡的定義,定義1：對于給定的一個單參數(shù)曲線族：,曲線族(3.23)的包絡是指這樣的曲線,它本身不包含在,曲線(3.23)中,但過這曲線的每一點有(3.23)中的一條曲線和它在這點相切.,對于給定的一個單參數(shù)曲線族：,其中,為參數(shù).,若存在一條曲線,滿足下列條件:,(1),(2) 對任意的,存在唯一的,使得,且,與,在,有相同的切線.,則稱,為曲線族,的一條包絡線,簡稱為包絡.,或定義：,例如,

8、單參數(shù)曲線族：,（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓. 如圖,R,從圖形可見,此曲線族的包絡顯然為:,注:并不是每個曲線族都有包絡.,例如: 單參數(shù)曲線族:,(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.,如圖,從圖形可見, 此曲線族沒有包絡.,問題:對于給定的單參數(shù)曲線族:,如何判斷它是否有包絡?,如果有包絡, 如何求?,根據(jù)定義, 假設該單參數(shù)曲線族有包絡,則對任意的,存在唯一的,使得,于是得到對應關系:,從而得到二元函數(shù),使得,若,可用參數(shù)形式表示為:,記,則,于是,上任取一個固定點M, 則M在某一條曲線,上.,由于,與,在M點有相同的切線,而,與,在M點的切線的斜率,分

9、別為,與,所以, 有,從而,由于在,上不同的點也在不同的,上,即,因此,現(xiàn)在,因此, 包絡線,任意一點M不僅要滿足,而且還要滿足,把聯(lián)立方程組:,中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線,稱為曲線族,的c-判別曲線,2 包絡的求法,曲線族(3.23)的包絡包含在下列兩方程,注:,解:,記,則,即,因此c-判別曲線包括兩條曲線(3.32)和(3.33),x,y,O,例2:,求直線族:,的包絡.,這里,是參數(shù),是常數(shù).,解:,記,則,消去參數(shù),得,的c-判別曲線:,經(jīng)驗證,是曲線族,的包絡.,如圖:,O,x,y,3 奇解,定義2:,微分方程的某一解稱為奇解,如果在這個解的每一點還有方程的

10、另外一個解存在.,注:一階微分方程的通解的包絡一定是奇解;反之微分方程的奇解(若存在)也是微分方程的包絡.,例如:,4 奇解的求法,方程,的奇解包含在由方程組,注:,例3:,求微分方程,的奇解.,解:,從,消去p(實際上p=0), 得到p-判別曲線,即,由于方程的通解為:,三、克萊羅（Clairaut）方程,1 定義3:,形如,的方程，稱為克萊羅(Clairaut)方程.,為求它的解,令,得,經(jīng)化簡,得,2 克萊羅(Clairaut)方程的求解,這是y已解出的一階微分方程.,如果,則得到,于是, Clairaut方程的通解為:,如果,它與等式,聯(lián)立,則得到Clairaut方程的以p為參數(shù)的解:,或,其中c為參數(shù).,消去參數(shù)p便得方程的一個解.,結果:,Clairaut方程,的通解,是一直線族,此直線族的包絡,或,是Clairaut方程的奇積分曲線