1、應(yīng)用四點(diǎn)向量定理與斯坦納定理解題浙江省桐鄉(xiāng)第二中學(xué) 范廣法 314511 一、四點(diǎn)向量定理與斯坦納定理對(duì)向量,有，從而,，.這樣數(shù)量積僅用四邊形abcd的四條邊ab, bc, cd,ad的長(zhǎng)度表示，向量夾角余弦值這類式子不再充斥在表達(dá)式中文1將“”稱之為四點(diǎn)向量定理考慮到abc d四點(diǎn)的順序，筆者的記憶方法是數(shù)量積等于.設(shè)直線所成的角為，則，文2稱“”為斯坦納定理二、定理的應(yīng)用1求數(shù)量積例1 在中，.若點(diǎn)滿足，則 .解析 由四點(diǎn)向量定理得,右邊只有不知. 即，又，從而，. 圖1 點(diǎn)評(píng) 由四點(diǎn)向量定理直接寫出數(shù)量積的表達(dá)式，省去轉(zhuǎn)化成共點(diǎn)向量的數(shù)量積的麻煩，特別是試

2、題給出較多的線段長(zhǎng)度的試題. 變式1 如圖1，在三棱錐中d-abc中，已知ab=2，=-3. 設(shè)ad=a，bc=b，cd=c，則的最小值為 .變式2 在abc中，ab2，ac4，點(diǎn)p為線段bc的垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則 .2判斷直線是否垂直由四點(diǎn)向量定理或斯坦納定理得：成立的充要條件是意即平面（或空間）四邊形兩對(duì)角線垂直等價(jià)于兩組對(duì)邊的平方和相等例2（2012年浙江高考）已知矩形abcd，ab1，bc將abd沿矩形的對(duì)角線bd所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過(guò)程中，圖2a存在某個(gè)位置，使得直線ac與直線bd垂直b存在某個(gè)位置，使得直線ab與直線cd垂直c存在某個(gè)位置，使得直線ad與直線bc垂直d對(duì)

3、任意位置，三直線“ac與bd”，“ab與cd”，“ad與bc”均不垂直 解析 在矩形abcd沿直線bd翻折過(guò)程中，四邊及對(duì)角線的長(zhǎng)度中只有在變化當(dāng)沒(méi)有折疊時(shí)最長(zhǎng)，這時(shí)；當(dāng)折疊時(shí)最短，這時(shí)（可由平面幾何知識(shí)并結(jié)合圖2推證），從而對(duì)選項(xiàng)a, ，顯然直線ac與直線bd不垂直；對(duì)選項(xiàng)b, ,所以當(dāng)時(shí)直線ab與直線cd垂直，故選b 點(diǎn)評(píng) 此題是借折疊問(wèn)題考查空間想象能力及邏輯推理能力的壓軸題，難度較大但用四點(diǎn)向量定理則將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問(wèn)題，這樣就轉(zhuǎn)化成計(jì)算問(wèn)題，問(wèn)題簡(jiǎn)單多了對(duì)于選項(xiàng)a，我們可得到任意的四邊形在沿對(duì)角線折疊過(guò)程中的一個(gè)不變量，即兩對(duì)角線對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積保持不變變式3 矩形abcd中，

4、ab2，bc4將abd沿矩形的對(duì)角線bd折起到的位置，在空間四邊形中,異面直線與所成角的最大值為( )a b c d 3求兩直線所成的角 空間角能較好的集中考查學(xué)生的空間想象能力(特別是與翻折問(wèn)題結(jié)合在一起),也是歷年來(lái)高考必考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)之一借助于四點(diǎn)向量定理、斯坦納定理我們可以解決空間角（本文僅涉及兩條異面直線所成的角、二面角）大小問(wèn)題圖3 例3（2015年浙江高考）如圖3，在三棱錐abcd中，abacbdcd3，adbc2，點(diǎn)m，n分別為ad，bc的中點(diǎn)，則異面直線an，cm所成的角的余弦值是_ 解析 易求得，設(shè)直線an，cm所成的角為，則點(diǎn)評(píng) 若用幾何法，則要充分挖掘各線的位置及數(shù)量關(guān)

5、系，添加輔助線，找到平面角，然后再計(jì)算根據(jù)四點(diǎn)向量定理、斯坦納定理僅要解決的長(zhǎng)度即可，有效降低試題難度，比幾何法簡(jiǎn)單多了變式4 在四棱錐m-abcd中，ma平面abcd，四邊形abcd是正方形，且ma=ab=a，試求異面直線mb與ac所成的角例4（2016年浙江高考）如圖4，已知平面四邊形abcd，abbc3， cd1 , ad，沿直線ac將acd翻折成acd，直線ac與bd所成角的余弦的最大值是_圖4解析：由四點(diǎn)向量定理得：，即設(shè)與的夾角為(顯然為銳角，即異面直線與所成角也是)，則，當(dāng)最小時(shí)，與所成角的余弦值最大.又即，所以在翻折過(guò)程中的最小值為(此時(shí)acd沿直線ac翻折)，的最大值為圖5點(diǎn)

6、評(píng) 此題以四點(diǎn)向量定理、斯坦納定理及上面提到的不變量（）為背景，考查了線線角，向量夾角及函數(shù)思想只要得到，與的函數(shù)關(guān)系立刻就顯現(xiàn)出來(lái)，的最大值就不攻自破與傳統(tǒng)作輔助線方法相比，難度與計(jì)算量都下降了很多變式5（2015年10月浙江學(xué)考）如圖5，在菱形abcd中，bad=60，線段ad，bd的中點(diǎn)分別為e，f現(xiàn)將abd沿對(duì)角線bd翻折，則異面直線be與cf所成角的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 4 求二面角圖6下面再來(lái)看看用四點(diǎn)向量定理如何求解二面角例5（2015年浙江高考）如圖6，已知abc，d是ab的中點(diǎn)，沿直線cd將acd翻折成acd，所成二面角acdb的平面角為，則()aadb badbcacb dacb 解析 如圖6，作afcd于f，becd于e，d是ab的中點(diǎn)，故dedf由題意得，則,而,從而再考慮到余弦函數(shù)在上的單調(diào)性，選b點(diǎn)評(píng) 關(guān)鍵是adb等于的夾角，平面角等于的夾角，然后再用四點(diǎn)