1、類似于數(shù)列極限，如果在自變量的某個(gè)變化過程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可以無限接近于某個(gè)確定的常數(shù)，那么這個(gè)確定的常數(shù)就叫做函數(shù)在該變化過程中的極限。,對(duì)于數(shù)列極限,故,很自然地,函數(shù)的極限,相似地,語言表述 當(dāng) 時(shí)有 則,自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,1） 表示 時(shí) 有無極限 與 有無定義沒有關(guān)系.,2） 任意給定后，才能找到 ， 依賴于 ，且 越小， 越小.,3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.,注,函數(shù)極限的幾何解釋,如果函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)極限為A,以任意給定一正數(shù),作兩條平行于x軸的直線y=A+和y=A-,存在點(diǎn)x0的鄰域(x0-, x0+),當(dāng)x在鄰域(x0-, x0+)內(nèi),但xx0

2、時(shí),曲線y=f(x)上的點(diǎn)(x,f(x)都落在兩條平行線之間。,要使,只要取,當(dāng) 時(shí),就有,證,要使,成立,證,取,當(dāng) 時(shí),成立,可任取一,當(dāng) 時(shí),要使,左極限 left-hand limit,右極限 right-hand limit,x 僅從 x0 的左側(cè)趨于x0 ，,記作,或,x 僅從 x0 的右側(cè)趨于x0 ，,記作,或,左極限與右極限,考慮符號(hào)函數(shù),現(xiàn)在考慮 x 從左右兩個(gè)方向趨于0時(shí) f (x) 的極限,右極限,左極限,從右邊趨于0,從左邊趨于0,左右極限不相等,證明函數(shù)極限不存在的方法是: (1)證明左極限與右極限至少有一個(gè)不存在 (2)或證明左極限和右極限均存在, 但不相等,例 題

3、,自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限,設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義.如果存在常數(shù)A, 對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正數(shù)X，使得當(dāng)x滿足不等式|x|X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式 |f(x)A|, 那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x時(shí)的極限,即,的方式有兩種可能： （ 且無限增大）,（ 且無限增大）,注,且,若 或 不存在,則 不存在.,若 , 則 不存在.,幾何意義,如果函數(shù)f(x)當(dāng)x時(shí)極限為A，以任意給定一正數(shù),作兩條平行于x軸的直線y=A-和y=A+,則總存在一個(gè)正數(shù)X，使得當(dāng)xX時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖形位于這兩條直線之間.,觀察 y = arctan x

4、的圖像,從圖像容易看出結(jié)果,所以,考慮函數(shù) f (x) = ax , 分 a1, 0a1兩種情形下，分別求 x +, x ， x 時(shí) f (x)的極限。,函數(shù)極限的性質(zhì),唯一性 函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)極限存在，則極限必唯一.,局部有界性,局部保號(hào)性,設(shè),推論: 如果 ，且當(dāng) 時(shí)， 則 ，即,如果函數(shù) f (x) 在某個(gè)極限過程中的極限為零， 那么就稱 f (x)是此極限過程的無窮?。浚?無窮小舉例,無窮小是以零為極限的變量（函數(shù)），不是絕對(duì)值很小的固 定數(shù)。但0可以作為無窮小的唯一一個(gè)常數(shù).,都是無窮小量,是無窮小量,是無窮小量,與,與,無 窮 小,不能說函數(shù) f(x)是無窮小,應(yīng)該說在什么

5、情況下的無窮小.即無 窮小與自變量的變化過程有關(guān).如 時(shí) 是無窮小， 但 時(shí)，則 不是無窮小。,無窮小的性質(zhì),定理1,極限與無窮小的關(guān)系,即,其中,兩個(gè)無窮小的和或差，仍是無窮小。 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。 有界變量與無窮小的乘積仍是無窮小。 有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小。 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。,例如 ，因?yàn)?所以,同理,如果函數(shù) f (x) 在某個(gè)極限過程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值可以無限增大， 那么就稱 f (x)是此極限過程的無窮大（量）。,只有一種趨勢(shì),包括兩種趨勢(shì),如,無 窮 大,觀察函數(shù) y=1/x 的圖像,再考察函數(shù) y = ln x,注意：無窮大不是很大的數(shù)，而是

6、表示函數(shù)的絕對(duì)值可以無限增大，反映函數(shù)值的一種變化趨勢(shì)。,無窮小和無窮大的關(guān)系,在同一極限過程中，無窮小與無窮大之間是通過取倒數(shù)互相轉(zhuǎn)化。,無窮小和無窮大的運(yùn)算法則,以下A 表示有極限的函數(shù)，K 表示有界函數(shù)，C 代表常數(shù),結(jié)果不定，稱為未定式,極限的四則運(yùn)算法則,注： 設(shè)有數(shù)列 和 .如果 則1) 2) 3)當(dāng) 且 時(shí),例 求,解 這里分母的極限不為零,故,小結(jié):,例 求,解,例 求,解,例 求,解,例 求,解,例 求,解,例 求,解,因式分解 消除零因子,有理化 消除零因子,消除零因子,例 求,解,思考,由題設(shè)知，分子必須是 x 的零次多項(xiàng)式,解 答,由 x0 得 3x0 即 u0,重要極限的應(yīng)用舉例,重要極限,(6),例,重要極限的應(yīng)用舉例,公式特點(diǎn)：,定義,無窮小的比較,例,比較下列兩個(gè)無窮小,低階,高階,同階,練一練,無窮小的階揭示了無窮小趨向于零的速度快慢程度：高階的較快，低階的