1、第三章 簡單的優(yōu)化模型,3.1 存貯模型 3.2 生豬的出售時機(jī) 3.3 森林救火 3.4 最優(yōu)價格 3.5 血管分支 3.6 消費者均衡 3.7 冰山運輸,現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題,靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)),建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù),求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法,靜 態(tài) 優(yōu) 化 模 型,3.1 存貯模型,問 題,配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè) 備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。,已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，貯存費 每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的

2、生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。,要 求,不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與 需求量、準(zhǔn)備費、貯存費之間的關(guān)系。,問題分析與思考,每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準(zhǔn)備費5000元。,日需求100件，準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。,10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+100 =4500元，準(zhǔn)備費5000元，總計9500元。,50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+100 =122500元，準(zhǔn)備費5000元，總計127500元。,平均每天費用950元,平均每天費用2550元,10天生產(chǎn)一次平均每天費用最

3、小嗎?,每天費用5000元,這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。,顯然不能用一個周期的總費用作為目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)每天總費用的平均值,周期短，產(chǎn)量小,周期長，產(chǎn)量大,問題分析與思考,模 型 假 設(shè),1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；,2. 每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費為 c2；,3. T天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量 為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；,建 模 目 的,設(shè) r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天總費用的平均值最小。,4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。,模 型 建 立,貯存量表示為時間的函數(shù) q(t),t=0生產(chǎn)Q件，q(

4、0)=Q, q(t)以 需求速率r遞減，q(T)=0.,一周期 總費用,每天總費用平均 值（目標(biāo)函數(shù)）,離散問題連續(xù)化,一周期貯存費為,A=QT/2,模型求解,求 T 使,模型分析,模型應(yīng)用,c1=5000, c2=1，r=100,回答問題,經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）,每天需求量 r，每次訂貨費 c1,每天每件貯存費 c2 ，,用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形,不允許缺貨的存貯模型,問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？,T天訂貨一次(周期), 每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到 零時，Q件立即到貨。,允許缺貨的存貯模型,A,B,當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失,原模型假設(shè)：貯存

5、量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨),現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費 c3 , 缺貨需補足,一周期貯存費,一周期缺貨費,周期T, t=T1貯存量降到零,一周期總費用,每天總費用 平均值 （目標(biāo)函數(shù)）,一周期總費用,求 T ,Q 使,為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T , Q記作Q,不允許缺貨模型,記,允許缺貨模型,允許缺貨模型,注意：缺貨需補足,Q每周期初的存貯量,每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）,Q不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量),3.3 森林救火,森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。 隊員多，森林損失小，救援費用大； 隊員少，森林損失大，救援費用小。 綜合考慮損失費和救援費，

6、確定隊員數(shù)量。,問題分析,問題,記隊員人數(shù)x, 失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 時刻t森林燒毀面積B(t).,損失費f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定.,救援費f2(x)是x的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定.,存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小,關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).,問題分析,失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 畫出時刻 t 森林燒毀面積B(t)的大致圖形,分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.,模型假設(shè),3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）,1）0tt1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度）,2）t1tt2, 降為-x (為隊員的平均滅火速度）,4）每個隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用c3,假設(shè)1）的解釋,火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費用,模型建立,目標(biāo)函數(shù)總費用,模型求解,求 x使 C(x)最小,結(jié)果解釋, / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù),其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù),模型應(yīng)用,c1,c2,c3已知, t1可估計,c2 x,c1, t1, x,c3 ,