1、專業(yè)代碼：070101學(xué)號：100704010073貴 州 師 范 大 學(xué)（本科）畢 業(yè) 論 文題 目：淺談函數(shù)解析性的判斷方法學(xué) 院：數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級：2010級姓 名：游延超指導(dǎo)老師：羅永貴完成時間：2014年04月01日目 錄摘要3引言4一、 解析函數(shù)的概念 4二、 函數(shù)解析的判斷 51、 根據(jù)解析函的定義判斷 5例：1 5例：2 52、 根據(jù)CauchyRiemann條件證明函數(shù)的解析性 6定理1： 6例：3 7定理2： 8定理2的證明 83、 根據(jù)初等函數(shù)的解析性判斷 94、 利用積分形式的等價定理 10例：4 5、 關(guān)于冪級數(shù)形式的等價定理 106、

2、 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的解析性 10例：5 117、 根據(jù)級數(shù)來判斷函數(shù)的解析性 11三、總結(jié) 11參考文獻(xiàn) 12淺談函數(shù)解析性的判斷方法游延超摘 要：解析函數(shù)是局部上由收斂冪級數(shù)給出的函數(shù)，解析函數(shù)可分成實(shí)解析函數(shù)和復(fù)解析函數(shù)。二者有類似之處，同時也有重要的差別。此外在超度量域上也可以定義解析函數(shù)，這套想法在當(dāng)代數(shù)論與算術(shù)代數(shù)幾何中有重要的應(yīng)用。解析函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)的一個研究的重要對象。解析函數(shù)理論在數(shù)論、電學(xué)、工程等方面都有重要的應(yīng)用，解析函數(shù)的涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計算都是用它來解決的。在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論

3、等學(xué)科，對他們的發(fā)展有極其深遠(yuǎn)的影響。本文的主要工作如下：第一 根據(jù)解析函數(shù)的定義判斷，第二 根據(jù) CauchyRiemann 條件證明函數(shù)的解析性，第三 根據(jù)初等函數(shù)的解析性判斷，第四 利用積分形式的等價定理，第五 關(guān)于冪級數(shù)形式的等價定理，第六 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的解析性判斷，第七 根據(jù)級數(shù)判別函數(shù)的解析性。關(guān)鍵詞：解析函數(shù)；連續(xù)性定義；CauchY-Riemann；積分；初等函數(shù)；冪級數(shù)；導(dǎo)函數(shù)；級數(shù)；實(shí)解析函數(shù)；復(fù)解析函數(shù)。Abstract: Theanalytic function islocally givenby theconvergent power series. Theanalyt

4、ic functioncan be divided intoreal analyticfunctions and complexanalytic function.Both of them have something in common, butthere are alsoimportant differences.In addition, itcan be also defined in theultrametricdomain. Thisidea hasimportant applicationin modernnumber theory andarithmetic algebraicg

5、eometry.Animportant object of the complex variableanalytic functionis theanalytic function.Analytic function theoryhas important applications innumber theory,electrical,engineering and other aspects. The usageof analytic functionis very wide,and there are many complicatedcalculationssolved by it.In

6、theapplication ofthe solution of fluid mechanicsand aviationmechanicsproblem, it has madethe important contribution.It has depth to thedifferential equation,integral equation,probability theory,andnumber theoryand other disciplines, and thathas afar-reaching influence on thedevelopment of them. The

7、main work of this paperare as follows:firstly, the definition of analytic function is used to makejudgment;secondly, according to Cauchy Riemannsconditions, I use it to prove the analyticfunction;thirdly, I will make analyticjudgment by elementary function; fourthly, I do theequivalence theoremin in

8、tegral form;fifthly,aboutthe form of power series;sixthly, according toguidefunction I will make theanalyticjudgment; seventhly,according to the analysis ofseriesof discriminant functions.Keywords:analytic function;continuity definition;Cauchy-Riemann;integration;elementary function;power series;der

9、ivative;series;real analytic functions; complex analytic functions.引言：解析函數(shù)是局部上由收斂冪級數(shù)給出的函數(shù)，解析函數(shù)可分成實(shí)解析函數(shù)和復(fù)解析函數(shù)。二者有類似之處，也存在重要的差異。另外也在超度量域上也是可以定義為解析函數(shù)，這套想法在現(xiàn)代數(shù)論與算術(shù)代數(shù)幾何中有作重要的應(yīng)用。解析函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)研究的一個重要對象，解析函數(shù)理論同時也在數(shù)論、電學(xué)、工程等多方面都有作重要的應(yīng)用價值，解析函數(shù)的涉及面很廣，在很多復(fù)雜的計算過程都是用它來解決的。在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決航空力學(xué)和流體力學(xué)等方面的問題上也是做出了巨大貢獻(xiàn)的。它已經(jīng)深入我們學(xué)

10、習(xí)的積分方程、微分方程、數(shù)論和概率論等學(xué)科，對這些學(xué)科的發(fā)展是有極其深遠(yuǎn)的影響的。解析函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)論主要研究的對象，在復(fù)變函數(shù)和數(shù)學(xué)的整個發(fā)展的歷史時期都占據(jù)著很重要的地位，它在不斷延續(xù)和發(fā)展的同時也影響了很多學(xué)科的發(fā)展。一、解析函數(shù)的概念在。如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)解析，則稱f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析。注：1）如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)的解析，那么D內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，從而D是開區(qū)域。2）如果函數(shù)f(z)是閉圓盤 上包含該圓盤的某個區(qū)域內(nèi)解析。 3）f（z）在z解析，則f（z）在z可導(dǎo)；f（z）在z可導(dǎo)，則f（z）在z不一定解析。但是f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析和可導(dǎo)是等價的。 4）一個

11、解析函數(shù)不可能僅有一個點(diǎn)或一條曲線上解析；所有解析點(diǎn)的集合必為開集。定理：在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個函數(shù)f（z）與g（z）的和、差、積、商（除去分母為零的點(diǎn)）在D內(nèi)解析。所以由此定理可以知道：A：所有的多項式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析；B: 任何一個有理分式函數(shù)在不含分母為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析的，使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn)。二、函數(shù)解析的判定1 根據(jù)解析函數(shù)的定義判定 要考察函數(shù)在某一點(diǎn)的解析性，首先看函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義，然后看函數(shù)在該點(diǎn)極其領(lǐng)域內(nèi)是否可導(dǎo)。定義： （1）f（z）在z解析：f（z）在z的某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。z稱為解析點(diǎn)，否則稱為奇點(diǎn)。例1：討論函數(shù)f（z）=1/z的解析性。解：，故f（z）=1/

12、z在z時處處解析；z=0是它的一個奇點(diǎn)。（2） f（z）在區(qū)域D內(nèi)解析：f（z）在D內(nèi)處處解析。函數(shù)在一點(diǎn)解析在該點(diǎn)可導(dǎo)。反之不一定成立。在區(qū)域內(nèi)：解析可導(dǎo)例2：因為f（z）=Z在整個復(fù)平面上處處可導(dǎo)；且則由解析的定義可知。若函數(shù) w= f (z)在區(qū)域 D 內(nèi)可微, 則稱 f (z) 為區(qū)域D 內(nèi)的解析函數(shù), 或稱 f (z) 在區(qū)域D 內(nèi)解析.例如： 復(fù)變函數(shù) f (z)= u(x, y)+ iv( x, y)，如何判別其解析性？（）設(shè)函數(shù)w=f（z）= u(x, y)+ iv( x, y)在D內(nèi)解析。 即存在于是： 稱為Cauchy-Riemannf方程即w=f（z）=u(x, y)+i

13、v(x, y)在D內(nèi)一點(diǎn)（x，y）解析u(x,y) 與 v(x,y) 在該點(diǎn)可微, 并且滿足柯西黎曼Cauchy-Riemann)方程。設(shè)u(x, y)與v（x，y）在點(diǎn)（x，y），并且滿足柯西黎曼（Cauchy-Riemann）方程。于是有 =( 即函數(shù) f (z)在點(diǎn) z = x + iy 處可導(dǎo)，由 z 的任意性可知：w=f(z)=u(x , y)+iv(x , y)在D內(nèi)解析。2、 根據(jù) CauchyRiemann 條件證明函數(shù)的解析性由于復(fù)變函數(shù)的表示法的不同, 下面給出三個相互等價的定理. 其在應(yīng)用中可根據(jù)題目中的函數(shù)而靈活運(yùn)用復(fù)變函數(shù) f (z)= u(x, y)+ iv( x,

14、 y)在區(qū)域 D 內(nèi)有定義, 則在區(qū)域 D 內(nèi)解析的充要條件: 在D 內(nèi)連續(xù); (b)u( x, y), v(x, y) 在 D 內(nèi)滿足 C- R 條件 .這種方法在證明復(fù)變函數(shù)的解析性中有最廣泛的應(yīng)用, 是5復(fù)變函數(shù)論6中最重要的方法之一. 另外, 應(yīng)用 CauchyRiemann 條件證明函數(shù)解析性還有另外兩種等價的定理.定理1：設(shè)函數(shù) f ( z)= u(r, H)+ iv( r, H) 在區(qū)域 D 內(nèi)有定義, 則 f ( z) 在 D 內(nèi)解析的充要條件為：在D 內(nèi)連續(xù), 且滿足 C- R 條件 例3：判斷函數(shù)f（z）=的解析性。解：令z=則 處處不滿足C-R條件，所以f（z）在z平面上

15、處處不解析。 由上例可看出這兩種形式的 CauchyRiemann 條件各有其方便之處, 在做題目時, 可以選擇適當(dāng)?shù)男问? 從而簡化證明過程. 下面再介紹另一種形式的 CauchyRiemann 條件.定理 2：設(shè)函數(shù) f (z)定義在區(qū)域 D 上, 對于 D 內(nèi)任一點(diǎn)上的兩個相互垂直的方向 s 與 n, 其中由 s到n 是按逆時針方向, 則函數(shù) f (z)在 D 內(nèi)解析的充要條件是: f (z)的實(shí)部與虛部在 D 內(nèi)可微并且在D內(nèi)每一點(diǎn)滿足證明 必要性：由 f (z)解析顯然有 f (z)的實(shí)部與虛部可微設(shè) s與正實(shí)軸交角為H, n 與正實(shí)軸交角為。在s方向上，對任意點(diǎn)z，： = = （1

16、）在n方向 （2）可得 充分性：由 f (z)的實(shí)部與虛部可微得, 存在使 （3）令 故 兩邊除以t，取極限后得到 （4）同樣，若令 在式（3）的兩邊除以t，取極限后得 （5）由（4），（5）可解出 同樣對v(x, y)用完全相同的過程且設(shè)無窮小量為E，E得由條件 利用在上式兩邊同時除以后再取極限就得到這說明了函數(shù)3、 根據(jù)初等函數(shù)的解析性判定 若復(fù)變函數(shù)是初等函數(shù)，則我們可以根據(jù)初等函數(shù)的解析性來進(jìn)行判定1）指數(shù)函數(shù)在整個復(fù)平面上解析；指數(shù)函數(shù)： 定義對任意的復(fù)數(shù)，規(guī)定函數(shù) 為z的指數(shù)函數(shù)，記做 2）對數(shù)函數(shù)lnz的主值函數(shù)和各個分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸外的每一點(diǎn)解析； 對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)

17、的反函數(shù)。我們把滿足方程 的函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，記作 設(shè) 由于是多值的，于是對于每個非零z，復(fù)對數(shù)也就是多值的。 3）冪函數(shù)，數(shù)在除去原點(diǎn)以外的整個復(fù)平面上解析；，在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面上解析；在各自的定義域內(nèi)解析。定義：設(shè)z為不為零的復(fù)變數(shù)，為任意一個復(fù)數(shù)，我們定義 當(dāng)z為正實(shí)數(shù)、為整數(shù)時，上式與微積分中的乘冪的定義一致；當(dāng)z為復(fù)變數(shù)、為復(fù)數(shù)時， （ k為整數(shù)） 4）sinz，cosz在整個復(fù)平面上解析；4、 利用積分形式的等價定理復(fù)變函數(shù) f ( z)在區(qū)域 D 內(nèi)解析的充要條件為: f (z)在 D 內(nèi)連續(xù)并且對任一圍線 c, 只要 c 及其內(nèi)部全含于D內(nèi)，就有。例4：。解：由+ie在

18、z平面上連續(xù)對于z平面上任一圍線c，有，。則 。所以f（z）在z平面上解析。5、 關(guān)于冪級數(shù)形式的等價定理 函數(shù)f (z) 在 D 內(nèi)解析的充要條件是: f ( z)在D內(nèi)任一點(diǎn)a 的鄰域內(nèi)可以展開成(z- a)的冪級數(shù).由于此種方法的要求是在任一點(diǎn)都可以展開成冪級數(shù)， 可以用來求在一點(diǎn)的可微性。6、 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的解析性(1)設(shè) 函數(shù)f (z)在區(qū)域 D 內(nèi)是解析的, 則在 D 內(nèi)是具有各階導(dǎo)函數(shù)的, 且在 D 內(nèi)解析. 這種判別方法一般可以用在已經(jīng)知道原函數(shù)是解析函數(shù)的情況下. 下面我們再給出一種判別的方法, 其本質(zhì)上還是運(yùn)用解析函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的存在并且解析而得到的。(2) 設(shè)f (z)在單

19、連通區(qū)域D 內(nèi)連續(xù), 并且沿區(qū)域D 內(nèi)任一圍線的積分為零(從而與路徑無關(guān))，則函數(shù)F(z)=（為內(nèi)任意一點(diǎn)）在D解析。例5：試判斷。解：由(z)=又在z平面上連續(xù)，且由例 4知對任一閉曲線 c 有所以在z平面上解析。此方法比較適合于原函數(shù)較好判別的情況。7、根據(jù)級數(shù)來判別函數(shù)的解析性。利用級數(shù)判別解析區(qū)域的方法：設(shè)雙邊冪級數(shù)的收斂圓環(huán)為 H ：r ，0。則在H內(nèi)絕對收斂且內(nèi)閉一致收斂于f（z），并且f（z）在H內(nèi)解析。三、總結(jié)：以上是我對函數(shù)解析性的判斷的幾種證明方法的歸納，在我們的學(xué)習(xí)中學(xué)會對已學(xué)過的知識點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)是一種重要的學(xué)習(xí)方法。這種方法不僅讓我們對學(xué)過的知識加以鞏固，獲得新知識；還能是我們的學(xué)習(xí)思維起到