1、熱傳導微分方程導熱又稱熱傳導，是兩個相互接觸的物體或同一物體的各部分之間，由于溫度不同而引起的熱量傳遞現(xiàn)象。此時熱量主要依靠分子、原子及自由電子等微觀粒子的運動進行傳遞，沒有明顯的物質轉移。熱量可以通過固體、液體以及氣體進行傳導，但是嚴格來說，單純的導熱只發(fā)生在密實的固體物質中。1 傅立葉定律傅立葉定律是導熱理論的基礎。其向量表達式為: (2-1)式中:熱流密度，是一個向量，溫度梯度，也是一個向量，/m 。導熱系數(shù)，又稱熱導率，；式中的負號表示的方向始終與相反。2 導熱系數(shù)（thermal conductivity）及其影響因素導熱系數(shù)（）是熱傳導過程中一個重要的比例常數(shù)，在數(shù)值上等于每小時每

2、平方米面積上，當物體內溫度梯度為1/m時的導熱量。導熱系數(shù)是指在穩(wěn)定傳熱條件下，1m厚的材料，兩側表面的溫差為1度（K，C）,在1秒內，通過1平方米面積傳遞的熱量，用表示，單位為瓦/米度，w/mk（W/mK,此處的K可用代替）。導熱系數(shù)為溫度梯度1/m，單位時間通過每平方米等溫面的熱傳導熱流量。單位是：W/(mK)。 在上述假設前提下，建立煤層瓦斯流動數(shù)學模型的控制方程。3熱傳導微分方程推導在t時刻w界面的溫度梯度為在t時刻e界面的溫度梯度為單位時間內六面體在方向流入的熱流量為：；單位時間內六面體在方向流出的熱流量為：；單位時間內六面體在方向流入的凈熱量為：PzxyesxnbtwWENSTB圖

3、3-1 微分單元體各面上進出流量示意圖Figure3-1 The figure of flow in and out on every surface of differential unit同理，單位時間內六面體在y方向流入的凈熱量為：單位時間內六面體在y方向流入的凈熱量為：單位時間內流入六面體的總熱量為： (3-1)六面體內介質的質量為:單位時間六面體內熱量的變化量（增加）為: 根據(jù)熱量守恒定律: 稱為熱擴散率或熱擴散系數(shù)（thermal diffusivity），單位m2/s. :導熱系數(shù)，單位W/(mK)； ：密度，單位kg/m3 c：熱容，單位J/(kgK).思考：如果單元體內有熱源

4、：單位體積單位時間的散熱量是q 方程怎么變？4巖石的熱擴散率（導溫系數(shù)) thermal diffusion coefficient ;thermal diffusivity; thermal degradation巖石的熱擴散率也叫或熱擴散系數(shù)，表示巖石在加熱或冷卻時各部分溫度趨于一致的能力。它反映巖石的熱慣性特征，是一個綜合性參數(shù)。熱擴散率越大的巖石，熱能傳播溫度趨于一致的速度越大，透入的深度也越大。熱擴散系數(shù)一般是根據(jù)巖石的導熱系數(shù)(ramuda)、和密度(rou)的測量數(shù)據(jù)計算得到的。如果單元體內有熱源：單位體積單位時間的散熱量是q 則在 左邊增加熱源散發(fā)的熱量，方程變?yōu)椋?如果是流體

5、除了熱傳導外，還有流體流動帶入和帶出微元體的熱量PzxyesxnbtwWENSTB圖3-1 微分單元體各面上進出流量示意圖Figure3-1 The figure of flow in and out on every surface of differential unit在t時刻w界面流體速度為U，流體溫度為T單位時間流入微元體的流體質量為： 帶入微元體的熱量為：e界面流體速度為,流體溫度為單位時間流出微元體的流體質量為：帶出微元體的熱量為: 如果不考慮x方向速度變化，略去高階微量，則e界面帶出微元體的熱量為：單位時間內在方向流入六面體的凈熱流量為：；同理， y方向： z方向：將上述三項加

6、入到熱傳導方程（左邊，進入微元體的熱量）： （能量方程）2.2巷壁與風流間的對流換熱運動著的流體與所接觸的固體壁面之間的熱量傳遞過程稱為對流換熱，它是流體(液體或氣體)由于宏觀相對運動，從某一區(qū)域遷移到溫度不同的另一區(qū)域時引起熱量傳遞的現(xiàn)象。固體壁面與流體之間存在溫度差將產(chǎn)生對流換熱，由于實際流體的粘性和壁面摩擦的共同影響，近壁流體分層流動，尤其與壁面直接接觸的幾何面上，總有一層很薄的流體粘附于表面，該層流體處于靜止狀態(tài)，所以熱流通過表面層的傳遞只能依靠導熱。顯然，在流體發(fā)生熱對流的同時，由于流體中溫度分布的不均勻，也將伴隨產(chǎn)生導熱現(xiàn)象。因此，對流換熱過程實際上是熱對流和熱傳導的綜合作用過程。

7、牛頓冷卻公式對流換熱過程是一個受很多因素影響的復雜過程，如流體的流動狀況、流體的物理性質、壁的形狀和大小、表面粗糙度等。一般情況下對流換熱的計算可采用牛頓冷卻公式。根據(jù)對流換熱定律，可以計算出從壁面某處進入通風風流的顯熱熱流密度： (3)式中：= 巷道壁面的溫度；= 巷道內風流的平均溫度；= 巷道壁面的換熱系數(shù)。在圍巖與風流的熱交換過程中，多半是井巷低溫風流流經(jīng)高溫巖壁，井巷壁面向風流放熱，所以礦內常把上式中的對流換熱系數(shù)（）稱為巷壁與風流的換熱系數(shù)，簡稱為放熱系數(shù)。TTw圓形巷道（柱體）圍巖與風流換熱控制方程地熱通過圍巖向風流的傳熱現(xiàn)象與圍巖本身的熱傳導、巷道壁面向風流的對流換熱以及壁面上的水分蒸發(fā)等因素有關。由于實際情況下圍巖的散熱是一個很復雜的過程，為了方便本論文的研究，對要研究的物理模型做了簡化和假設：1) 巷道為圓形、無限擴展，圍巖巖石均質、各向同性；2) 不考慮圍巖壁面的熱輻射作用。根據(jù)上述假設，可得到描述考慮壁面水分蒸發(fā)時圍巖與風流熱質傳遞的數(shù)學方程，如式（3-1）： (3-1)式中：R調熱圈半徑，m；其他符號的意義同前章所述。圖3-1 巷道圍巖內節(jié)點劃分Fig.3-1 N