1、第五章平面向量,5.1平面向量的概念及其 線性運算,1、向量的有關(guān)概念,知識梳理,答案：大小方向模長度00為1個單位 方向相同或相反的非零平行,相等相同相等相反,2.向量的線性運算,續(xù)表,答案：b+aa+(b+c)|a|相同,相反0()aa+aa+b,3.平面向量共線定理,向量a(a0)與b共線的充要條件是:.,答案：存在唯一的實數(shù),使b=a,基礎(chǔ)自測,1.給出下列命題:,向量與向量的長度相等,方向相反;,+=0;,a與b平行,則a與b的方向相同或相反;,兩個相等向量的起點相同,則其終點必相同;,與是共線向量,則A,B,C,D四點共線,其中不正確的個數(shù)是( ).,A.2B.3C.4D.5,答案

2、：B,2.已知O,A,B是平面上的三個點,直線AB上有一點C,滿足2+=0, 則等于().,A.2-,B.-+2,C.-,D.-+,答案：A,3.平面向量a,b共線的充要條件是().,A.a,b方向相同,B.a與b中至少有一個為零向量,C.R,使b=a,D.存在不全為零的實數(shù)1,2,使1a+2b=0,答案：D,4.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,共線的三點是 .,答案:A,B,D,5.在平行四邊形ABCD中,E為DC邊的中點,且=a,=b,則= (用a,b表示) .,答案：b-a,思維拓展,1.兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同?,提示:平行向量也叫共線向量,

3、這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同,兩向量平行時,兩向量可以在同一條直線上.,2.當(dāng)兩個非零向量a,b共線時,一定有b=a,反之成立嗎?,提示:成立.,3.若|a+b|=|a-b|,你能給出以a,b為鄰邊的平行四邊形的形狀嗎?,提示:如圖,說明平行四邊形的兩條對角線長度相等,故四邊形是矩形.,一、向量的概念,【例1】 判斷下列各命題是否正確.,(1)零向量沒有方向;,(2)若|a|=|b|,則a=b;,(3)單位向量都相等;,(4)向量就是有向線段;,(5)如果ab,bc,那么ac;,(6)若a=b,b=c,則a=c.,(7)若四邊形ABCD是平行四邊形,則=,=;,(8)a=b的

4、充要條件是|a|=|b|且ab.,解:(1)不正確,零向量方向是任意的;,(2)不正確.兩向量模相等.方向不一定相同;,(3)不正確.要看向量方向是否相同;,(4)不正確.,(5)不正確(6)正確(7)不正確(8)不正確.ab,兩向量方向不一定相同.,準(zhǔn)確把握概念是關(guān)鍵;掌握向量與數(shù)的區(qū)別,充分利用反例進行否定也是行之有效的方法.,請做針對訓(xùn)練1,方法提煉涉及平面向量的有關(guān)概念命題的真假判斷,二、向量的線性運算,【例2-1】 已知:任意四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點,求證:=(+).,證明:方法一:如圖所示,E,F分別是AD,BC的中點,+=0,+=0.,又+=0,=+.,同理

5、=+,由+得,2=+(+)+(+)=+,=(+).,方法二;如圖所示,連接,則=+,=+, EF = 1 2 ( EC + EB ) = 1 2 ( ED + DC + EA + AB ) = 1 2 ( AB + DC ).,【例2-2】 如圖所示,已知=a,=b,=c,=d,=e,=f,試 用a,b,c,d,e,f表示:,(1)-;(2)+.,解:(1)-=-=d-b.,(2)+=-+=b-a-c+f.,方法提煉三角形法則和平行四邊形法則是向量線性 運算的主要方法,共起點的向量和用平行四邊形法則,差用三角形法則;在ABC中,當(dāng)M為BC中點時,=(+)應(yīng)作為公式記住.,請做針對訓(xùn)練3,三、向

6、量的共線問題,【例3-1】 設(shè)e1,e2是兩個不共線向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2, =2e1-e2.,(1)求證:A,B,D三點共線;,(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三點共線,求k的值.,解:(1)證明:由已知得,=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,=2e1-8e2,=2,又有公共點B,A,B,D三點共線.,(2)由(1)可知=e1-4e2,且=3e1-ke2,由B,D,F三點共線,所以存在實數(shù),使得=,即3e1-ke2=e1-4e2,得解得k=12,k=12.,【例3-2】 設(shè)兩個非零向量a與b不共線.,(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求證:A,B,D三點共線;,(2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.,(1)證明:=a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.,與共線.,它們有公共點B,A,B,D三點共線.,(2)解:ka+b與a+kb共線,存在實數(shù),使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.,a,b是不共線的兩個非零向量,k-=(k-1)=0.k=1.,方法提煉1.向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共 線時,通常只有非零向量才能表示與之