1、第二章 線性控制系統(tǒng)的運動分析,本章是通過求解系統(tǒng)方程的解來研究系統(tǒng)性能的。由于系統(tǒng)的狀態(tài)方程是矩陣微分方程，而輸出方程是矩陣代數(shù)方程。因此，只要求出狀態(tài)方程的解，就很容易得到系統(tǒng)的輸出，進而研究系統(tǒng)的性能。,本章內容為,1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解; 2 狀態(tài)轉移矩陣;,3 線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解; 4 線性時變系統(tǒng)的運動分析,線性連續(xù)系統(tǒng)方程的離散化; 6 線性離散系統(tǒng)的運動分析; 7 用MATLAB求解系統(tǒng)方程,2.1 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為,（1）,將（3）式代入（2）式,這時系統(tǒng)的輸入為零,等式兩邊t 的同次冪的系數(shù)相等，因此有,而,將（

2、5）式代入（1）式,如果,則,（8）,將（8）式代入（1）式驗證,和,矩陣指數(shù)函數(shù) 又稱為狀態(tài)轉移矩陣，記作,由于系統(tǒng)沒有輸入向量， 是由初始狀態(tài) 激勵的。因此，這 時的運動稱為自由運動。 的形態(tài)由 決定，即是由矩陣A 惟一決定的。,2.2 狀態(tài)轉移矩陣,線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解為,或,其幾何意義是：系統(tǒng)從初始狀態(tài) 開始，隨著時間的推移，由 轉移到 ，再由 轉移到 ， 。 的形態(tài)完全由 決定。,2.2.1 狀態(tài)轉移矩陣的基本性質,3）可逆性,即,2.2.2 狀態(tài)轉移矩陣的求法,方法1 根據(jù)定義，計算,方法2 應用拉普拉斯變換法，計算,對上式求拉普拉斯變換，得,如果 為非奇異,（9）,例2-

3、2 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為,求其狀態(tài)轉移矩陣,解,方法3 應用凱萊-哈密頓定理，計算,凱萊-哈密頓定理： 矩陣 A 滿足自身的特征方程。,即,根據(jù)凱萊-哈密頓定理,（11）,例 用凱萊-哈密頓定理計算,解,由凱-哈定理：,所以,凱萊-哈密頓定理,在線性代數(shù)中，凱萊-哈密頓定理（以數(shù)學家阿瑟凱萊與威廉盧云哈密頓命名）表明每個實或復方陣都滿足方陣的特征方程式。 設A為給定的n*n矩陣，并設 I 為 n*n 單位矩陣，則 A 的特征多項式定義為： P()=det(I-A)=0 凱萊-哈密頓定理斷言：P(A)=0 此定理對布于任何交換環(huán)上的方陣皆成立。 可以簡化高次冪的運算 ;也是計算特征向量的

4、重要工具。,（11）式表明： 是 、 、 、 、 的線性組合,（12）,（其中， ）,例2-3 線性定常系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為,用凱-哈定理計算其狀態(tài)轉移矩陣,解,即,2）A 的特征值相同，均為,（16）,3）A 的特征值有重特征值，也有互異特征值時，待定系數(shù) 可以根據(jù)（16）式和（15）式求得。然后代入（13）式，求出狀態(tài)轉移矩陣,A 的特征值為,于是,狀態(tài)轉移矩陣,方法4 通過線性變換，計算,因為,1）矩陣 A 可以經過線性變換成為對角陣，計算,因此，狀態(tài)轉移矩陣為,解,（17）,2）矩陣 A 可以經過線性變換成為約當形陣，計算,狀態(tài)轉移矩陣為,（18）,3）矩陣 A 可以經過線性變換成為模

5、態(tài)形陣，計算,如果矩陣A的特征值為共軛復數(shù) 經過線性變換，可轉換為模態(tài)矩陣M,其中,2.3 線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解,線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程為,（20）,（21）式兩邊同乘 得,（24）,（24）式兩邊同乘 ，并且移項,（25）,（26）,（28）,由式（25）或式（27）可知，系統(tǒng)的運動 包括兩個部分。一部分是輸入向量為零時，初始狀態(tài)引起的，即相當于自由運動。 第二部分是初始狀態(tài)為零時，輸入向量引起的，稱為強迫運動。正是由于第二部分的存在，為系統(tǒng)提供這樣的可能性，即通過選擇適當?shù)妮斎胂蛄?，使 的形態(tài)滿足期望的要求。,例2-8 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,由（26）式,系統(tǒng)的輸出方程

6、為,則,或,（29）,可見，系統(tǒng)的輸出 由三部分組成。 當系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣求出后，不同輸入狀態(tài)向量作用下的系統(tǒng)輸出即可以求出，進而就可以分析系統(tǒng)的性能了。,第3次學生經典部分回顧及MATLAB實踐講解題目,1、控制系統(tǒng)的頻率特性分析 及典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖和Bode圖 2、閉環(huán)頻率特性以及頻率特性的特征量 3、Matlab的實踐數(shù)據(jù)和函數(shù)的可視化,回顧,線性定常系統(tǒng)的解,關鍵是求狀態(tài)轉移矩陣，其求法有：根據(jù)定義，冪級數(shù)展開計算；應用拉普拉斯變換法，涉及到拉普拉斯變換及逆變換公式等；應用凱萊-哈密頓定理，運用特征方程的代數(shù)運算求解；通過線性變換,2.4 線性時變系統(tǒng)的運動分析,（30）,線

7、性時變系統(tǒng)方程為,證明,（30）式兩邊對 t 求導,并且 時,即,2.4.2 狀態(tài)轉移矩陣 的基本性質,1） 滿足自身的矩陣微分方程及初始條件，即,2） 可逆性,3） 傳遞性,4）,2.4.3 狀態(tài)轉移矩陣 的計算,（一般不滿足乘法交換律，所以有）級數(shù)近似法計算,（35）,解,將 代入（35）式,其中,由于不滿足,難以獲得自由解的封閉形式。,2.4.4 線性時變系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解,（38）,2.4.5 系統(tǒng)的輸出,（41）,2.5 線性連續(xù)系統(tǒng)方程的離散化,作以下假定： 1）被控對象上有采樣開關； 2）采樣周期為T，滿足香農采樣定理要求，包含連續(xù)信號全部信息； 3）具有零階保持器。,2.5

8、.1 線性時變系統(tǒng),香農采樣定理,采樣定理，又稱香農采樣定理，奈奎斯特采樣定理，是信息論，特別是通訊與信號處理學科中的一個重要基本結論. 采樣是將一個信號（即時間或空間上的連續(xù)函數(shù)）轉換成一個數(shù)值序列（即時間或空間上的離散函數(shù)）。采樣定理指出，如果信號是帶限的（即信號中高于某一給定值的頻率成分必須是零，或至少非常接近于零，這樣在重建信號中這些頻率成分的影響可忽略不計。 ），并且采樣頻率高于信號帶寬的一倍，那么，原來的連續(xù)信號可以從采樣樣本中完全重建出來。 帶限信號變換的快慢受到它的最高頻率分量的限制，也就是說它的離散時刻采樣表現(xiàn)信號細節(jié)的能力是有限的。采樣定理是指，如果信號帶寬小于采樣頻率（即

9、奈奎斯特頻率的二分之一），那么此時這些離散的采樣點能夠完全表示原信號。高于或處于奈奎斯特頻率的頻率分量會導致混疊現(xiàn)象。大多數(shù)應用都要求避免混疊，混疊問題的嚴重程度與這些混疊頻率分量的相對強度有關。,采樣簡介,從信號處理的角度來看，此采樣定理描述了兩個過程：其一是采樣，這一過程將連續(xù)時間信號轉換為離散時間信號；其二是信號的重建，這一過程離散信號還原成連續(xù)信號。 連續(xù)信號在時間（或空間）上以某種方式變化著，而采樣過程則是在時間（或空間）上，以T為單位間隔來測量連續(xù)信號的值。T稱為采樣間隔。在實際中，如果信號是時間的函數(shù)，通常他們的采樣間隔都很小，一般在毫秒、微秒的量級。采樣過程產生一系列的數(shù)字，稱

10、為樣本。樣本代表了原來地信號。每一個樣本都對應著測量這一樣本的特定時間點，而采樣間隔的倒數(shù)，1/T即為采樣頻率，fs，其單位為樣本/秒，即赫茲(hertz)。,采樣簡介,從采樣定理中，我們可以得出以下結論： 如果已知信號的最高頻率fH，采樣定理給出了保證完全重建信號的最低采樣頻率。這一最低采樣頻率稱為臨界頻率或奈奎斯特頻率，通常表示為fN 相反，如果已知采樣頻率，采樣定理給出了保證完全重建信號所允許的最高信號頻率。 以上兩種情況都說明，被采樣的信號必須是帶限的，即信號中高于某一給定值的頻率成分必須是零，或至少非常接近于零，這樣在重建信號中這些頻率成分的影響可忽略不計。 在第一種情況下，被采樣信

11、號的頻率成分已知，比如聲音信號，由人類發(fā)出的聲音信號中，頻率超過5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的頻率來采樣這樣的音頻信號就足夠了。在第二種情況下，我們得假設信號中頻率高于采樣頻率一半的頻率成分可忽略不計。這通常是用一個低通濾波器來實現(xiàn)的。,令 ， ，則,（58）,（58）減（60）并且整理后，得到,令：,考慮到,于是,2.5.2 線性定常系統(tǒng),（63）,離散化后得到,（64）,其中,劉豹主編的現(xiàn)代控制理論第二版PP.74 例2-13試將下面狀態(tài)方程離散化。,如果采樣周期T較小時，可以近似離散化。即G（T）=TA+1;H（T）=TB,2.6 線性離散系統(tǒng)的運動分析,2.6.1 線

12、性定常離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：,其中，x(k)為n維狀態(tài)向量,采用迭代法可以求出系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解,（65）,2.6.2 狀態(tài)轉移矩陣,若系統(tǒng)初始狀態(tài)為 ，通過 將其轉移到狀態(tài) ，故 稱為狀態(tài)轉移矩陣。,1. 的基本性質,1）滿足自身的矩陣差分方程及初始條件,2）傳遞性,3）可逆性,2. 狀態(tài)轉移矩陣的計算,有4種狀態(tài)轉移矩陣的計算方法：按定義計算；用z反變換計算；應用凱-哈定理計算；通過線性變換計算。 在此，我們僅討論用z反變換計算。,離散系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為：,對上式進行 z 變換,Z,例2-13 離散系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為,求狀態(tài)轉移矩陣,解,Z,2.6.3 線性定

13、常離散系統(tǒng)(非齊次)方程的解,（69）,系統(tǒng)方程為,可以用迭代法求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解,2.6.3 線性時變離散系統(tǒng)方程的解,系統(tǒng)方程為,（72）,（用迭代法可以證明）,2.7 用MATLAB求解系統(tǒng)方程,2.7.1 線性齊次狀態(tài)方程的解,使用MATLAB可以方便地求出狀態(tài)方程的解。我們通過例子來說明。,程序執(zhí)行結果,這表示,2.7.2 線性非齊次狀態(tài)方程的解,通過以下例子說明。,例2-17 已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為,程序執(zhí)行結果為,這表示,2.7.3 連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化,在MATLAB中，函數(shù)c2d（）的功能就是將連續(xù)時間的系統(tǒng)模型轉換成離散時間的系統(tǒng)模型。其調用格式為：sysd=c2d(sysc,T,method)。其中，輸入?yún)⒘縮ysc為連續(xù)時間的系統(tǒng)模型；T為采樣周期（秒）；method用來指定離散化采用的方法 。,zoh采用零階保持器； foh采用一階保持器； tustin采用雙線性逼近方法； prewarm采用改進的tustin方法；,matched采用SISO系統(tǒng)的零極點匹配方法； 當method為缺省時（即