1、第一講 行列式,一、考試要求,二、主要內(nèi)容,三、典型例題分析,2. 會(huì)利用行列式的性質(zhì)和行列式按行(列)展開定理計(jì)算行列式.,1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì).,一、要求,二、主要內(nèi)容,1. 排列的逆序數(shù)、奇偶排列、對(duì)換的定義及逆序數(shù)的計(jì)算法.,2. n 階行列式的定義,稱為 n 階行列式.,即,表示所有取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積,的代數(shù)和，,各項(xiàng)的符號(hào)由排列,的奇偶性決定，,奇負(fù)偶正，,1)行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.,2)互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).,則此行列式為零.,若行列式有兩行（列）完全相同，,3)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù) k ,等于用數(shù) k 乘

2、此行列式.,3. 行列式的性質(zhì),(即某一行(列)可提取公因數(shù)),若行列式有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，,則此行列式為零.,第i 行 與 j 行 互換，,(列) (列),式可拆成兩個(gè)行列式之和，,4)若行列式的某一行 (列)的元素都是兩數(shù)之和，,5)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)加到另一,(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，,行列式不變,這兩個(gè)行列式的這一行(列)的,元素分別為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，,則該行列,其余各行(列)的元素,與原行列式相同.,4.行列式按行(列)展開定理,余子式與代數(shù)余子式的定義：,行列式按行（列）展開定理：,的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.,行列式等于它的任一行（列）,即

3、,且元素的余子式或代數(shù)余子式只與元素的位置有關(guān)，,與該元素的值無(wú)關(guān).,行列式的每個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.,行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的,對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，,即,或,說(shuō)明：,5.主要公式及結(jié)論,1),2),3),4) 范德蒙 (Vandermonde)行列式,5)方陣的行列式,設(shè) A 與 B 是 n 階方陣，,三、典型例題分析,計(jì)算行列式，,或利用性質(zhì)化為上(下)三角形行列式等已知結(jié)果的行列式求，,或用行(列)展開定理求.,特別二階或三階行列式可對(duì)角線法求.,或利用定義求，,利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，常用：,(1) 其余各行(列)加到同一行(列)

4、上去，,(2)其余各行(列)加或減同一行(列)的倍數(shù)，將行列式化簡(jiǎn),(3)逐行(列)相加減或逐行(列)的倍數(shù)相加減，化簡(jiǎn)行列式；,(4) 把行列式拆成幾個(gè)行列式的和（差）.,適用于各列(行)諸元素之和相等的情形；,或化為上（下）三角形行列式；,適用于相鄰行(列)諸元素大小比較接近的情形；,(此種情況要注意先后順序),解法1：,例1. 計(jì)算行列式.,1.數(shù)字型行列式,解法2：,直接按某一行(列)展開，再計(jì)算4個(gè)三階行列式.,解法3：,例2 計(jì)算 n 階行列式,解:,此行列式的特點(diǎn)是：,各行(列)元素之和相等.,特點(diǎn)：,解：,例3.計(jì)算,其余行與第一行比 僅主對(duì)角線元素不同,或其余列減第一列的倍數(shù)

5、，得下三角形行列式.,例4.,解法1：,箭形行列式,此行列式的特點(diǎn)是：,其余行與第一行比僅第一及主對(duì)角線上的元素不同.,解法2：,加邊法,例5.計(jì)算,特點(diǎn)：,相鄰的行(列) 元素較接近,解法2：,例6.計(jì)算,特點(diǎn)：,除最后一行外，相鄰的行(列)的元素較接近,法二：,法三：,按第一行展開，用遞推法,法4：,用數(shù)學(xué)歸納法.,若按最后一行展開，,如：,例7.,證明：,證法一：,(08,1,計(jì)算題中一問(wèn)),(用歸納法),（三對(duì)角行列式）,證法二：,(用遞推法),證法三：,(化為上三角形),例7.,求,解：,已知,例8.,解：,2.抽象行列式,已知 A 為3階矩陣，且,則,分析：,(05,1,4,04),分析：,法1：,法2：,(04,1,2,04),分析：,(10,2,04),分析：,的第n列元素的代數(shù)余子式之和,計(jì)算n階行列式,例9.,解：,3.關(guān)于代數(shù)余子式,已知,則,已知,則,分析：,例