1、【課標(biāo)要求】 1理解等比數(shù)列的性質(zhì)并能應(yīng)用 2了解等比數(shù)列同指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系 3會(huì)用等比數(shù)列的性質(zhì)解題 【核心掃描】 1等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(重點(diǎn)) 2等比數(shù)列與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用(重點(diǎn)) 3與函數(shù)、方程、不等式等結(jié)合命題(難點(diǎn)),第2課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用,等比數(shù)列的項(xiàng)與序號(hào)的關(guān)系以及性質(zhì) 設(shè)等比數(shù)列an的公比為q. (1)兩項(xiàng)關(guān)系：an_(m，nN*) (2)多項(xiàng)關(guān)系：若mnpq(m，n，p，qN*)，則aman_. (3)若m，n，p(m，n，pN*)成等差數(shù)列時(shí)，am，an，ap成等比數(shù)列 等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性 有窮等比數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩,自學(xué)導(dǎo)引,1

2、,2,amqnm,apaq,an1,ank1,等比數(shù)列的“子數(shù)列”的性質(zhì) 若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則 (1)an去掉前幾項(xiàng)后余下的項(xiàng)仍組成公比為_的等比數(shù)列； (2)奇數(shù)項(xiàng)數(shù)列a2n1是公比為_的等比數(shù)列； 偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列a2n是公比為_的等比數(shù)列； (3)在數(shù)列an中每隔k(kN*)取出一項(xiàng)，按原來(lái)順序組成新數(shù)列，則新數(shù)列仍為等比數(shù)列且公比為qk1.,3,q,q2,q2,：如果等比數(shù)列an中，mn2k(m，n，kN*)，那么amanak2是否成立？反之呢？ 提示：如果等比數(shù)列的三項(xiàng)的序號(hào)成等差數(shù)列，那么對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列 事實(shí)上，若mn2k(m，n，kN*)， 則aman(a1qm1)(

3、a1qn1)a12qmn2a12(qk1)2ak2. 在等比數(shù)列an中，若amanapaqak2，不一定有mnpq2k，如非零常數(shù)列,等比數(shù)列的單調(diào)性 (1)當(dāng)q1，a10或01，a10時(shí)，等比數(shù)列an是遞減數(shù)列 (3)當(dāng)q1時(shí)，等比數(shù)列an是常數(shù)列 (4)當(dāng)q0時(shí)，等比數(shù)列an是擺動(dòng)數(shù)列 等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì) (1)若an是公比為q的等比數(shù)列，則 can(c是非零常數(shù))是公比為q的等比數(shù)列； |an|是公比為|q|的等比數(shù)列；,名師點(diǎn)睛,1,2,anm(m是整數(shù)常數(shù))是公比為qm的等比數(shù)列 特別地，若數(shù)列an是正項(xiàng)等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列anm(m是實(shí)數(shù)常數(shù))是公比為qm的等比數(shù)列 (2)若an，bn

4、分別是公比為q1，q2的等比數(shù)列，則數(shù)列anbn是公比為q1q2的等比數(shù)列 (3)數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列l(wèi)g an是公差為lg q的等差數(shù)列,題型一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,已知數(shù)列an為等比數(shù)列 (1)若an0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值； (2)若a1a2a37，a1a2a38，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 思路探索 應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)：a2a4a32，a4a6a52，a1a3a22，化簡(jiǎn)已知，可求解 解(1)法一an0，a10，q0. 又a2a42a3a5a4a636， a1qa1q32a1q2a1q4a1q3a1q536， 即a12q42a12q6a12q83

5、6，,【例1】,a12q4(12q2q4)36，即a12q4(1q2)236， a1q2(1q2)6， a3a5a1q2a1q4a1q2(1q2)6. 法二a2a42a3a5a4a636， a322a3a5a5236， (a3a5)236，a3a56. (2)a22a1a3代入已知，得a238，a22.,在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及到次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算若按常規(guī)解法，往往是建立a1，q的方程組，這樣解起來(lái)很麻煩，通過(guò)本例可以看出：結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行整體變換，會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的效果,在遞增等比數(shù)列an中，a1a964，a3a720，求a11的值 解在等比數(shù)列an中， a1a9a3a7， 由已

6、知可得：a3a764與a3a720聯(lián)立得： an是遞增等比數(shù)列，a7a3. 取a34，a716，164q4，q44. a11a7q416464.,【變式1】,有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12，求這四個(gè)數(shù) 思路探索 根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)出未知數(shù)，結(jié)合題中條件求解即可,題型二等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,【例2】,所以，當(dāng)a4，d4時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16； 當(dāng)a9，d6時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為15,9,3,1. 故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1. 當(dāng)a8，q2時(shí)，所求四個(gè)數(shù)為0,4,8

7、,16； 故所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.,三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其積為512，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減去2，則這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求這三個(gè)數(shù),【變式2】,某市2010年新建住房400萬(wàn)平方米，其中250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)今年后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬(wàn)平方米，那么到哪一年底 (1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2010年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4 750萬(wàn)平方米？ (2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. 審題指導(dǎo) 本題主要考查構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題

8、，通過(guò)閱讀之后，找出題目中的相關(guān)信息，構(gòu)造等差數(shù)列和等比數(shù)列,題型三等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,【例3】,規(guī)范解答 (1)設(shè)中低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列an，由題意可知，an是等差數(shù)列，其中a1250，d50， (2分) 令25n2225n4 750，即n29n1900， 解得n19或n10，而n是正整數(shù) n10. (4分) 故到2019年年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4 750萬(wàn)平方米 (6分),(2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)列bn， 由題意可知，bn是等比數(shù)列， 其中b1400，q1.08，則bn400(1.08)n1， (8分) 由題意可知an0.85bn， 即250(n1)50400(1

9、.08)n10.85滿足上述不等式的最小正整數(shù)n6. (10分) 故到2015年年底，當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%. (12分),【題后反思】 本題將實(shí)際問(wèn)題抽象出一個(gè)數(shù)列問(wèn)題，解決數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵是讀懂題意，建立數(shù)學(xué)模型，弄清問(wèn)題的哪一部分是數(shù)列問(wèn)題，是哪種數(shù)列在求解過(guò)程中應(yīng)注意首項(xiàng)的確立，時(shí)間的推算不要在運(yùn)算中出現(xiàn)問(wèn)題,始于2007年初的美國(guó)次貸危機(jī)，至2008年中期，已經(jīng)演變?yōu)槿蚪鹑谖C(jī)受此拖累，國(guó)際原油價(jià)格從2008年 7月每桶最高的147美元開始大幅下跌，9月跌至每桶97美元你能求出7月到9月平均每月下降的百分比嗎？若按此計(jì)算，到什么時(shí)間跌至谷底(

10、即每桶34美元)? 解設(shè)每月平均下降的百分比為x，則每月的價(jià)格構(gòu)成了等比數(shù)列an，記：a1147(7月份價(jià)格)， 則8月份價(jià)格：a2a1(1x)147(1x)； 9月份價(jià)格：a3a2(1x)147(1x)2. 147(1x)297，解得x18.8%. 設(shè)an34，則34147(118.8%)n1， 解得n8. 即從2008年7月算起第8個(gè)月，也就是2009年2月國(guó)際原油價(jià)格將跌至34美元每桶,【變式3】,A(n1)2 Bn2 C(n1)2 Dn(2n1) 錯(cuò)解 易得an2n，且log2a1log2a3log2a2n1 log2(a1a3a2n1)log2213(2n1),誤區(qū)警示因沒(méi)數(shù)清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)致誤,【示例】,對(duì)等差數(shù)列1,