1、2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,1,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,2,年月,第五章 不可約張量算符,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,3,4.1不可約張量算符的定義及其代數(shù)運(yùn)算規(guī)則,Irreducible Tensor,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,4,引言,坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)物理量各有一定的變換規(guī)律,按坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下的變換規(guī)律將物理量分類(lèi),標(biāo)量，矢量（一階張量），二階張量,將物理量算符同樣分類(lèi),標(biāo)量算符，一階張量算符，二階張量算符,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,5,引言,算符的表示依賴(lài)于坐標(biāo)系的選擇,笛卡兒坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系，,不同坐標(biāo)系

2、的基矢通過(guò)幺正變換相聯(lián)系,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,6,一、球基矢,在量子力學(xué)中為計(jì)算方便引入球基矢,與笛卡兒坐標(biāo)系基矢的關(guān)系,逆變換,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,7,一、球基矢,性質(zhì),正交歸一條件,練習(xí)：證明上式,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,8,二、球基矢上的向量算符表示,坐標(biāo)向量,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,9,二、球基矢上的向量算符表示,在球基矢下坐標(biāo)向量算符的分量為,在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下按如下規(guī)律變換,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,10,二、球基矢上的向量算符表示,同理可得任一向量算符在球基矢上的表示,其中,在坐

3、標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)下的變換規(guī)律,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,11,三、不可約張量算符的定義,如下變換的算符稱(chēng)為一階不可約張量算符,進(jìn)而定義 l 階不可約張量算符,逆變換,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,12,四、不可約張量算符的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則,加法：兩個(gè) l 階不可約張量算符之和仍為 l 階不可約張量算符,證明,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,13,四、不可約張量算符的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則,乘法和收縮,兩個(gè)張量算符的乘法和收縮按下式定義,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,14,四、不可約張量算符的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則,乘法和收縮,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒

4、,15,四、不可約張量算符的代數(shù)運(yùn)算規(guī)則,乘法和收縮,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,16,五、零階張量算符及張量算符的標(biāo)量積,當(dāng),時(shí)可收縮得到零階張量,左=常數(shù)零階張量，在轉(zhuǎn)動(dòng)下不變右亦然,稱(chēng)式右為兩個(gè) l 階不可約張量的標(biāo)量積,記為,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,17,五、零階張量算符及張量算符的標(biāo)量積,一階不可約張量熟知的標(biāo)量積形式,例：兩個(gè)坐標(biāo)矢量的標(biāo)量積,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,18,六、不可約張量算符的Racah定義,Giulio (Yoel) Racah (1909 - 1965) Israeli physicist & mathem

5、atician,滿(mǎn)足下式的 2l+1 個(gè)算符為 l 階不可約張量算符,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,19,六、不可約張量算符的Racah定義,兩種定義的等價(jià)性,代入,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,20,六、不可約張量算符的Racah定義,代入,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,21,六、不可約張量算符的Racah定義,代入,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,22,六、不可約張量算符的Racah定義,綜合以上結(jié)果得,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,23,六、不可約張量算符的Racah定義,另一寫(xiě)法 利用角動(dòng)量算符在球基矢上的表示,于是,

6、2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,24,六、不可約張量算符的Racah定義,而,又因,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,25,六、不可約張量算符的Racah定義,又,也可統(tǒng)一寫(xiě)為,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,26,4.2不可約張量算符的實(shí)例,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,27,一、常見(jiàn)算符,可用拉卡定義判斷是否不可約張量算符,、坐標(biāo)算符與球諧函數(shù)相關(guān)，后者既是函數(shù)，又是不可約張量算符,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,28,一、常見(jiàn)算符,將坐標(biāo)重新組合可構(gòu)成一階和二階不可約張量算符,一階,二階,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41

7、秒,29,一、常見(jiàn)算符,、角動(dòng)量及動(dòng)量算符,角動(dòng)量算符在球基矢上的表示,利用,可證,均為一階不可約張量算符,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,30,一、常見(jiàn)算符,、角動(dòng)量及動(dòng)量算符,動(dòng)量算符在球基矢上的表示,其分量,也是一階不可約張量算符,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,31,一、常見(jiàn)算符,以上各向量算符，若用符號(hào),統(tǒng)一表示,則它們?cè)谇蚧干系姆至?都是,一階不可約張量算符，且具有如下性質(zhì),或,l 階不可約張量算符,也具有這個(gè)性質(zhì),一般的為,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,32,二、不可約張量算符的厄米共軛,不可約張量算符滿(mǎn)足,兩端取厄米共軛,定義,若,自共軛張量算符,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,33,三、相互作用的位能算符,微觀(guān)粒子間相互作用能都具有轉(zhuǎn)動(dòng)不變性,位能算符必為零階張量算符，,或兩個(gè)同階張量算符的標(biāo)量積, 標(biāo)量力, 自旋力, 自旋軌道耦合力, 張量力,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41秒,34,三、相互作用的位能算符,上式中,1) 2),又,2020年7月12日星期日4時(shí)30分41