1、數(shù)學(xué)破題 36 個(gè)大招目 錄高考數(shù)學(xué)常考問(wèn)題-大闖關(guān)（36 關(guān)）錯(cuò)誤！未定義書簽。目 錄1第 1 關(guān)： 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題-對(duì)數(shù)不等式法錯(cuò)誤！未定義書簽。第 2 關(guān)： 參數(shù)范圍問(wèn)題常見(jiàn)解題 6 法7第 3 關(guān)： 數(shù)列求和問(wèn)題解題策略 8 法10第 4 關(guān)： 絕對(duì)值不等式解法問(wèn)題7 大類型15第 5 關(guān)： 三角函數(shù)最值問(wèn)題解題 9 法22第 6 關(guān)： 求軌跡方程問(wèn)題6 大常用方法28第 7 關(guān)： 參數(shù)方程與極坐標(biāo)問(wèn)題“考點(diǎn)”面面看41第 8 關(guān)： 均值不等式問(wèn)題拼湊 8 法48第 9 關(guān)： 不等式恒成立問(wèn)題8 種解法探析54第 10 關(guān)： 圓錐曲線最值問(wèn)題5 大方面60第 11 關(guān)： 排列組合應(yīng)用問(wèn)

2、題解題 21 法64第 12 關(guān)： 幾何概型問(wèn)題5 類重要題型71第 13 關(guān)： 直線中的對(duì)稱問(wèn)題4 類對(duì)稱題型74第 14 關(guān)： 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題4 大解題技巧76第 15 關(guān)： 函數(shù)中易混問(wèn)題11 對(duì)82第 16 關(guān)： 三項(xiàng)展開式問(wèn)題破解“四法”88第 17 關(guān)： 由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題“不動(dòng)點(diǎn)”法89第 18 關(guān)： 類比推理問(wèn)題高考命題新亮點(diǎn)93第 19 關(guān)： 函數(shù)定義域問(wèn)題知識(shí)大盤點(diǎn)99第 20 關(guān)： 求函數(shù)值域問(wèn)題7 類題型 16 種方法107第 21 關(guān)： 求函數(shù)解析式問(wèn)題7 種求法130第 22 關(guān)：解答立體幾何問(wèn)題5 大數(shù)學(xué)思想方法134第 23 關(guān)： 數(shù)列通項(xiàng)公式常見(jiàn)

3、 9 種求法140第 24 關(guān)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題9 種錯(cuò)解剖析152第 25 關(guān)：三角函數(shù)與平面向量綜合問(wèn)題6 種類型155第 26 關(guān)：概率題錯(cuò)解分類剖析7 大類型162第 27 關(guān)：抽象函數(shù)問(wèn)題分類解析165第 28 關(guān)：三次函數(shù)專題全解全析169第 29 關(guān)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題大盤點(diǎn)181第 30 關(guān)：解析幾何與向量綜合問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)大掃描192第 31 關(guān)：平面向量與三角形四心知識(shí)的交匯193第 32 關(guān)：數(shù)學(xué)解題的“靈魂變奏曲”轉(zhuǎn)化思想197第 33 關(guān)：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題求解策略209第 34 關(guān)：求離心率取值范圍常見(jiàn) 6 法214第 35 關(guān)：高考數(shù)學(xué)選擇題解題策略217第 36 關(guān)

4、：高考數(shù)學(xué)填空題解題策略228以下只要證明上述函數(shù)不等式即可.以下我們來(lái)看看對(duì)數(shù)不等式的作用.題目 1：（2015 長(zhǎng)春四模題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 a.b.c.d.有極小值點(diǎn)，且【答案】c【解析】函數(shù)導(dǎo)函數(shù)：有極值點(diǎn)，而極值，a 正確. 有兩個(gè)零點(diǎn)：，即：-得：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：，而，b 正確，c 錯(cuò)誤而+得：，即 d 成立.題目 2：（2011 遼寧理）已知函數(shù).若函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】原題目有 3 問(wèn)，其中第二問(wèn)為第三問(wèn)的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問(wèn)：設(shè)，則，-得：，化簡(jiǎn)得：而根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：等式代換到上

5、述不等式根據(jù)：（由得出）式變?yōu)椋?，在函?shù)單減區(qū)間中，即：題目 3：(2010 天津理)已知函數(shù).如果，且.證明：.【解析】原題目有 3 問(wèn)，其中第二問(wèn)為第三問(wèn)的解答提供幫助，現(xiàn)在我們利用不等式直接去證明第三問(wèn)：設(shè)，則，兩邊取對(duì)數(shù)-得：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式題目 4：（2014 江蘇南通市二模）設(shè)函數(shù)，其圖象與軸交于兩點(diǎn)，且.證明：（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.【解析】根據(jù)題意：，移項(xiàng)取對(duì)數(shù)得：-得：，即：根據(jù)對(duì)數(shù)平均值不等式：，+得：根據(jù)均值不等式：函數(shù)在單調(diào)遞減由題于與交于不同兩點(diǎn)，易得出則上式簡(jiǎn)化為:第 2 關(guān)： 參數(shù)范圍問(wèn)題常見(jiàn)解題 6 法求解參數(shù)的取值范圍是一類常見(jiàn)題型近年來(lái)在各地的模擬試題以及高

6、考試題中更是屢屢出現(xiàn)學(xué)生遇到這類問(wèn)題，較難找到解題的切入點(diǎn)和突破口，下面介紹幾種解決這類問(wèn)題的策略和方法一、確定“主元”思想常量與變量是相對(duì)的，一般地，可把已知范圍的那個(gè)看作自變量，另一個(gè)看作常量例 1.對(duì)于滿足 0的一切實(shí)數(shù)，不等式 x2+px4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范圍分析：習(xí)慣上把 x 當(dāng)作自變量，記函數(shù) y= x2+(p-4)x+3-p,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng) p時(shí) y0 恒成立，求 x 的范圍解決這個(gè)問(wèn)題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實(shí)根分布原理，這是相當(dāng)復(fù)雜的若把 x 與 p 兩個(gè)量互換一下角色，即 p 視為變量，x 為常量，則上述問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在0,4內(nèi)關(guān)于 p 的一次函數(shù)大于

7、 0 恒成立的問(wèn)題解：設(shè) f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，當(dāng) x=1 時(shí)顯然不滿足題意由題設(shè)知當(dāng) 0時(shí) f(p)0 恒成立，f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10，解得 x3 或 x3 或 x g(k)g(k) f(x) minf(x)g(k)f(x) maxg(k)f(x)g(k)f(x) max 0,a1，不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來(lái)求解。設(shè)，在（0，1）上為減函數(shù)，當(dāng) t=1 時(shí)，。七 數(shù)形結(jié)合由于，所以從圖形考慮，點(diǎn)(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對(duì)一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問(wèn)題可考慮用幾何方法求得。例

8、 9 求函數(shù)的最小值。分析 法一：將表達(dá)式改寫成y 可看成連接兩點(diǎn) a(2,0)與點(diǎn)(cosx,sinx)的直線的斜率。由于點(diǎn)(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓（如圖），所以求 y 的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn)，使得相應(yīng)的直線斜率最小。設(shè)過(guò)點(diǎn) a 的切線與半圓相切與點(diǎn) b,則可求得所以 y 的最小值為（此時(shí)）.法二：該題也可利用關(guān)系式 asinx+bcosx=（即引入輔助角法）和有界性來(lái)求解。八 判別式法例 10 求函數(shù)的最值。分析 同一變量分子、分母最高次數(shù)齊次，常用判別式法和常數(shù)分離法。解：時(shí)此時(shí)一元二次方程總有實(shí)數(shù)解由 y=3，tanx=-1，由九 分類討論法含參數(shù)的三角函數(shù)

9、的值域問(wèn)題，需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。例 11 設(shè)，用 a 表示 f(x)的最大值 m(a).解：令 sinx=t,則（1） 當(dāng)，即在0，1上遞增，（2） 當(dāng)即時(shí)，在0，1上先增后減，（3） 當(dāng)即在0，1上遞減，以上幾種方法中又以配方法和輔助角法及利用三角函數(shù)的有界性解題最為常見(jiàn)。解決這類問(wèn)題最關(guān)鍵的在于對(duì)三角函數(shù)的靈活應(yīng)用及抓住題目關(guān)鍵和本質(zhì)所在。第 6 關(guān)： 求軌跡方程問(wèn)題6 大常用方法知識(shí)梳理：（一）求軌跡方程的一般方法：1. 待定系數(shù)法：如果動(dòng)點(diǎn) p 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程，

10、也有人將此方法稱為定義法。2. 直譯法：如果動(dòng)點(diǎn) p 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn) p 滿足的等量關(guān)系易于建立， 則可以先表示出點(diǎn) p 所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn) p 的坐標(biāo)（x，y）表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3. 參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn) p 運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量 t，以此量作為參變數(shù)， 分別建立 p 點(diǎn)坐標(biāo) x，y 與該參數(shù) t 的函數(shù)關(guān)系 xf（t），yg（t），進(jìn)而通過(guò)消參化為軌跡的普通方程 f（x，y）0。4. 代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn) p 的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn) p的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)

11、坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出 p（x，y），用（x，y）表示出相關(guān)點(diǎn) p的坐標(biāo)，然后把 p的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn) p 的軌跡方程。5. 幾何法：若所求的軌跡滿足某些幾何性質(zhì)（如線段的垂直平分線，角平分線的性質(zhì)等），可以用幾何法，列出幾何式，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)較簡(jiǎn)單。6：交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這燈問(wèn)題通常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)（含 參數(shù)）的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求得所求的軌跡方程（若能直接消去兩方程的參數(shù)，也可直接消去參數(shù)得到軌跡方程）， 該法經(jīng)常與參數(shù)法并用。（二）求軌跡方程的注意事項(xiàng)：1. 求軌跡方程的關(guān)鍵是在紛繁復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化中，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)

12、p 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即 p 點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，因此要學(xué)會(huì)動(dòng)中求靜，變中求不變。來(lái)表示，若要判斷軌跡方程表示何種曲線，則往往需將參數(shù)方程化為普通方程。3. 求出軌跡方程后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其是否符合題意，既要檢驗(yàn)是否增解，（即以該方程的某些解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在軌跡上），又要檢驗(yàn)是否丟解。（即軌跡上的某些點(diǎn)未能用所求的方程表示），出現(xiàn)增解則要舍去，出現(xiàn)丟解，則需補(bǔ)充。 檢驗(yàn)方法：研究運(yùn)動(dòng)中的特殊情形或極端情形。4. 求軌跡方程還有整體法等其他方法。在此不一一綴述。課前熱身：1. p 是橢圓=1 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) p 作橢圓長(zhǎng)軸的垂線，垂足為 m，則 pm 中點(diǎn)的軌跡中點(diǎn)的軌跡方程為：（）a、b、c、d、=1【答案】

13、：b【解答】:令中點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(代入橢圓方程得,選 b2. 圓心在拋物線上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的方程是（）abcd【答案】：d【解答】:令圓心坐標(biāo)為(,則由題意可得,解得,則圓的方程為,選 d3: 一動(dòng)圓與圓 o：外切，而與圓 c：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心 m 的軌跡是：a：拋物線 b：圓 c：橢圓【答案】：dd：雙曲線一支【解答】令動(dòng)圓半徑為 r，則有，則|mo|-|mc|=2，滿足雙曲線定義。故選 d。4: 點(diǎn) p(x0，y0)在圓 x2+y2=1 上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn) m（2x0，y0）的軌跡是（）a.焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓b. 焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓c. 焦點(diǎn)在 y

14、軸上的雙曲線d. 焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線【答案】：a【解答】:令 m 的坐標(biāo)為則代入圓的方程中得,選 a【互動(dòng)平臺(tái)】一：用定義法求曲線軌跡求曲線軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過(guò)坐標(biāo)互化將其轉(zhuǎn)化為尋求變量之間的關(guān)系，在求與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)， 要特別注意圓錐曲線的定義在求軌跡中的作用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線定義時(shí)，通過(guò)待定系數(shù)法就可以直接得出方程。例 1：已知 的頂點(diǎn) a，b 的坐標(biāo)分別為（-4，0），（4，0），c 為動(dòng)點(diǎn)，且滿足求點(diǎn) c 的軌跡?！窘馕觥坑煽芍?，即，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則，則軌跡方程為（，

15、圖形為橢圓（不含左，右頂點(diǎn)）。【點(diǎn)評(píng)】熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵。（1） 圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)（2） 橢圓：到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)的距離）（3） 雙曲線：到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)的距離）（4） 到定點(diǎn)與定直線距離相等?！咀兪?1】: 1:已知圓的圓心為 m1，圓的圓心為 m2，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心 p 的軌跡方程。解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為 r，由兩圓外切的條件可得：，。12動(dòng)圓圓心 p 的軌跡是以 m 、m 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，c=4，a=2，b2=12。故所求軌跡方程為2:一動(dòng)圓與圓 o：外切，而與圓 c：內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心

16、 m 的軌跡是：a：拋物線 b：圓 c：橢圓 d：雙曲線一支【解答】令動(dòng)圓半徑為 r，則有，則|mo|-|mc|=2，滿足雙曲線定義。故選 d。二：用直譯法求曲線軌跡方程此類問(wèn)題重在尋找數(shù)量關(guān)系。全國(guó)高中資料啟東中學(xué)資料共享群：700578906衡水中學(xué)資料共享群：720605560 共享群：765266758臺(tái)州中學(xué)資料共享群：276463099雅禮中學(xué)資料共享群：915349821成都七中資料共享群：920385244 長(zhǎng)郡中學(xué)資料共享群：310601280例 2：一條線段 ab的長(zhǎng)等于 2a,兩個(gè)端點(diǎn) a和 b分別在 x 軸和 y 軸上滑動(dòng)，求 ab中點(diǎn) p的軌跡方程？ 解 設(shè) m 點(diǎn)的

17、坐標(biāo)為由平幾的中線定理：在直角三角形 aob中，om=m點(diǎn)的軌跡是以 o為圓心，a 為半徑的圓周.【點(diǎn)評(píng)】此題中找到了 om=這一等量關(guān)系是此題成功的關(guān)鍵所在。一般直譯法有下列幾種情況：1） 代入題設(shè)中的已知等量關(guān)系：若動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律由題設(shè)中的已知等量關(guān)系明顯給出，則采用直接將數(shù)量關(guān)系代數(shù)化的方 法求其軌跡。2） 列出符合題設(shè)條件的等式：有時(shí)題中無(wú)坐標(biāo)系，需選定適當(dāng)位置的坐標(biāo)系，再根據(jù)題設(shè)條件列出等式，得出其軌跡 方程。3） 運(yùn)用有關(guān)公式：有時(shí)要運(yùn)用符合題設(shè)的有關(guān)公式，使其公式中含有動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，并作相應(yīng)的恒等變換即得其軌跡方程。4） 借助平幾中的有關(guān)定理和性質(zhì)：有時(shí)動(dòng)點(diǎn)規(guī)律的數(shù)量關(guān)系不明顯，這時(shí)可借

18、助平面幾何中的有關(guān)定理、性質(zhì)、勾股 定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等等，從而分析出其數(shù)量的關(guān)系，這種借助幾何定理的方法是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法.【變式 2】: 動(dòng)點(diǎn) p（x,y）到兩定點(diǎn) a（3，0）和 b（3，0）的距離的比等于 2（即 ），求動(dòng)點(diǎn) p的軌跡方程？【解答】|pa|=代入 得化簡(jiǎn)得（x5）2+y2=16，軌跡是以（5，0）為圓心，4 為半徑的圓.三：用參數(shù)法求曲線軌跡方程此類方法主要在于設(shè)置合適的參數(shù)，求出參數(shù)方程，最后消參，化為普通方程。注意參數(shù)的取值范圍。例 3過(guò)點(diǎn) p（2，4）作兩條互相垂直的直線 l1，l2，若 l1 交 x 軸于 a 點(diǎn)，l2 交 y 軸于 b

19、點(diǎn)，求線段 ab 的中點(diǎn) m 的軌跡方程。【解析】分析 1：從運(yùn)動(dòng)的角度觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn) m 的運(yùn)動(dòng)是由直線 l1 引發(fā)的，可設(shè)出 l1 的斜率 k 作為參數(shù)，建立動(dòng)點(diǎn) m 坐標(biāo)（x，y）滿足的參數(shù)方程。解法 1：設(shè) m（x，y），設(shè)直線 l1 的方程為 y4k（x2），（k）m 為 ab 的中點(diǎn)，消去 k，得 x2y50。另外，當(dāng) k0 時(shí)，ab 中點(diǎn)為 m（1，2），滿足上述軌跡方程； 當(dāng) k 不存在時(shí)，ab 中點(diǎn)為 m（1，2），也滿足上述軌跡方程。綜上所述，m 的軌跡方程為 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 時(shí)，需注意 k1、k2 是否存在，故而分情形討論，能否避開討論

20、呢？只需利用 pab 為直角三角形的幾何特性：解法 2：設(shè) m（x，y），連結(jié) mp，則 a（2x，0），b（0，2y），l1l2，pab 為直角三角形化簡(jiǎn)，得 x2y50，此即 m 的軌跡方程。分析 3：設(shè) m（x，y），由已知 l1l2，聯(lián)想到兩直線垂直的充要條件：k1k21，即可列出軌跡方程，關(guān)鍵是如何用 m 點(diǎn)坐標(biāo)表示 a、b 兩點(diǎn)坐標(biāo)。事實(shí)上，由 m 為 ab 的中點(diǎn)，易找出它們的坐標(biāo)之間的聯(lián)系。解法 3：設(shè) m（x，y），m 為 ab 中點(diǎn)，a（2x，0），b（0，2y）。又 l1，l2 過(guò)點(diǎn) p（2，4），且 l1l2papb，從而 kpakpb1，注意到 l1x 軸時(shí)，l2y

21、軸，此時(shí) a（2，0），b（0，4）中點(diǎn) m（1，2），經(jīng)檢驗(yàn)，它也滿足方程 x2y50綜上可知，點(diǎn) m 的軌跡方程為 x2y50。【點(diǎn)評(píng)】1）解法 1 用了參數(shù)法，消參時(shí)應(yīng)注意取值范圍。解法 2，3 為直譯法，運(yùn)用了 kpakpb1，這些等量關(guān)系用參數(shù)法求解時(shí)，一般參數(shù)可選用具有某種物理或幾何意義的量，如時(shí)間，速度，距離，角度，有向線段的數(shù)量，直線的斜率，點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)等。也可以沒(méi)有具體的意義，選定參變量還要特別注意它的取值范圍對(duì)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響【變式 3】過(guò)圓 o：x2 +y2= 4 外一點(diǎn) a（4，0），作圓的割線，求割線被圓截得的弦 bc 的中點(diǎn) m 的軌跡解法一：“幾何法”設(shè)點(diǎn)

22、 m 的坐標(biāo)為（x,y）,因?yàn)辄c(diǎn) m 是弦 bc 的中點(diǎn)，所以 ombc,所以|om | | | ， 即(x2 +y2)+(x )2 +y2 =16化簡(jiǎn)得：（x2）2+ y2 =4由方程 與方程 x2 +y2= 4 得兩圓的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，所以點(diǎn) m 的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）。所以 m 的軌跡是以（2，0）為圓心， 2 為半徑的圓在圓 o 內(nèi)的部分。解法二：“參數(shù)法”設(shè)點(diǎn) m 的坐標(biāo)為（x,y），b（x1,y1）,c（x2,y2）直線 ab 的方程為 y=k(x4),由直線與圓的方程得（1+k2）x2 8k2x +16k24=0 (*),由點(diǎn) m 為 bc 的中點(diǎn)，

23、所以 x=.(1) , 又 ombc，所以 k=(2)由方程（1）（2）消去 k 得（x2）2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.所以點(diǎn) m 的軌跡方程為（x2）2+ y2 =4 （0x1）所以 m 的軌跡是以（2，0）為圓心，2 為半徑的圓在圓 o 內(nèi)的部分。四：用代入法等其它方法求軌跡方程例 4.軌跡方程。分析：題中涉及了三個(gè)點(diǎn) a、b、m，其中 a 為定點(diǎn)，而 b、m 為動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn) b 的運(yùn)動(dòng)是有規(guī)律的，顯然 m 的運(yùn)動(dòng)是由 b 的運(yùn)動(dòng)而引發(fā)的，可見(jiàn) m、b 為相關(guān)點(diǎn)，故采用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn) m 的軌跡方程?！窘馕觥吭O(shè)動(dòng)點(diǎn) m 的坐標(biāo)為（x，y），而設(shè) b 點(diǎn)坐標(biāo)為

24、（x0，y0）則由 m 為線段 ab 中點(diǎn)，可得即點(diǎn) b 坐標(biāo)可表為（2x2a，2y）【點(diǎn)評(píng)】代入法的關(guān)鍵在于找到動(dòng)點(diǎn)和其相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)間的等量關(guān)系【變式 4】如圖所示，已知 p(4，0)是圓 x2+y2=36 內(nèi)的一點(diǎn)，a、b 是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足apb=90，求矩形 apbq的頂點(diǎn) q 的軌跡方程【解析】： 設(shè) ab 的中點(diǎn)為 r，坐標(biāo)為(x,y)，則在 rtabp 中，|ar|=|pr|又因?yàn)?r 是弦 ab 的中點(diǎn)，依垂徑定理在rtoar 中，|ar|2=|ao|2|or|2=36(x2+y2)又|ar|=|pr|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0因此

25、點(diǎn) r 在一個(gè)圓上，而當(dāng) r 在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q 點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè) q(x,y)，r(x1,y1)，因?yàn)?r 是 pq 的中點(diǎn)，所以 x1=,代入方程 x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程【備選題】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（i） 若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（ii） 在 軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：由條件知，設(shè)，解法一：（i）設(shè)，則 則，由得即qq 群：238455466于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與 軸垂直時(shí)，即 又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減

26、得，即將代入上式，化簡(jiǎn)得當(dāng)與 軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程 所以點(diǎn)的軌跡方程是（ii）假設(shè)在 軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)當(dāng)不與 軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是 代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以， 于是因?yàn)槭桥c 無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=當(dāng)與 軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，此時(shí)故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)解法二：（i）同解法一的（i）有當(dāng)不與 軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是 代入有則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以由得當(dāng)時(shí)，由得，將其代入有整理得當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與 軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方程故點(diǎn)的軌跡方程是（ii） 假設(shè)在 軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，當(dāng)不與 軸垂直時(shí)，由（i）有， 以上同解法一

27、的（ii）【誤區(qū)警示】1. 錯(cuò)誤診斷【例題 5】中，b，c 坐標(biāo)分別為（-3，0），（3，0），且三角形周長(zhǎng)為 16，求點(diǎn) a 的軌跡方程。【常見(jiàn)錯(cuò)誤】由題意可知，|ab|+|ac|=10，滿足橢圓的定義。令橢圓方程為，則由定義可知，則，得軌跡方程為【錯(cuò)因剖析】abc 為三角形，故 a，b，c 不能三點(diǎn)共線。【正確解答】abc 為三角形， 故 a， b， c 不能三點(diǎn)共線。軌跡方程里應(yīng)除去點(diǎn)， 即軌跡方程為2. 誤區(qū)警示1：在求軌跡方程中易出錯(cuò)的是對(duì)軌跡純粹性及完備性的忽略，因此，在求出曲線方程的方程之后， 應(yīng)仔細(xì)檢查有無(wú)“不法分子”摻雜其中，將其剔除；另一方面，又要注意有無(wú)“漏網(wǎng)之魚”仍逍遙

28、法外， 要將其“捉拿歸案”。2：求軌跡時(shí)方法選擇尤為重要，首先應(yīng)注意定義法，幾何法，直接法等方法的選擇。3：求出軌跡后，一般畫出所求軌跡，這樣更易于檢查是否有不合題意的部分或漏掉的部分?！菊n外作業(yè)】【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1: 已知兩點(diǎn)給出下列曲線方程： ； ； ； ，在曲線上存在點(diǎn) p 滿足的所有曲線方程是（）abcd【答案】:d【解答】: 要使得曲線上存在點(diǎn) p 滿足,即要使得曲線與 mn 的中垂線有交點(diǎn).把直線方程分別與四個(gè)曲線方程聯(lián)立求解,只有無(wú)解,則選 d2. 兩條直線與的交點(diǎn)的軌跡方程是 .【解答】:直接消去參數(shù)即得(交軌法):3:已知圓的方程為(x-1)2+y2=1,過(guò)原點(diǎn) o 作圓的弦 0

29、a，則弦的中點(diǎn) m 的軌跡方程是 .【解答】:令 m 點(diǎn)的坐標(biāo)為(,則 a 的坐標(biāo)為(2,代入圓的方程里面得:4:當(dāng)參數(shù) m 隨意變化時(shí)，則拋物線的頂點(diǎn)的軌跡方程為 ?！痉治觥浚喊阉筌壽E上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo) x，y 分別用已有的參數(shù) m 來(lái)表示，然后消去參數(shù) m，便可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。【解答】：拋物線方程可化為它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為消去參數(shù) m 得：故所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為。5:點(diǎn) m 到點(diǎn) f（4，0）的距離比它到直線的距離小 1，則點(diǎn) m 的軌跡方程為 ?！痉治觥浚狐c(diǎn) m 到點(diǎn) f（4，0）的距離比它到直線的距離小 1，意味著點(diǎn) m 到點(diǎn) f（4，0）的距離與它到直線的距離相等。由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出點(diǎn)

30、 m 的軌跡方程。【解答】：依題意，點(diǎn) m 到點(diǎn) f（4，0）的距離與它到直線的距離相等。則點(diǎn) m 的軌跡是以 f（4，0）為焦點(diǎn)、為準(zhǔn)線的拋物線。故所求軌跡方程為。6:求與兩定點(diǎn)距離的比為 1：2 的點(diǎn)的軌跡方程為 【分析】:設(shè)動(dòng)點(diǎn)為 p，由題意，則依照點(diǎn) p 在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件，可列出等量關(guān)系式?！窘獯稹浚涸O(shè)是所求軌跡上一點(diǎn)，依題意得由兩點(diǎn)間距離公式得：化簡(jiǎn)得：7 拋物線的通徑（過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦）與拋物線交于 a、b 兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) c 在拋物線上，求abc 重心 p 的軌跡方程?！痉治觥浚簰佄锞€的焦點(diǎn)為。設(shè)abc 重心 p 的坐標(biāo)為，點(diǎn) c 的坐標(biāo)為。其中【解答】：因點(diǎn)是重心，則由

31、分點(diǎn)坐標(biāo)公式得：即由點(diǎn)在拋物線上，得：將代入并化簡(jiǎn)，得：（【能力訓(xùn)練】8. 已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為 f（，0），直線 y=x1 與其相交于 m、n 兩點(diǎn)，mn 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 求此雙曲線方程?！窘獯稹浚涸O(shè)雙曲線方程為。將 y=x1 代入方程整理得。由韋達(dá)定理得。又有 ，聯(lián)立方程組，解得。此雙曲線的方程為 。9. 已知?jiǎng)狱c(diǎn) p 到定點(diǎn) f（1，0）和直線 x=3 的距離之和等于 4，求點(diǎn) p 的軌跡方程?！窘獯稹浚涸O(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（x，y），則由題意可得。（1） 當(dāng) x3 時(shí)，方程變?yōu)椋?jiǎn)得。（2） 當(dāng) x3 時(shí)，方程變?yōu)?，化?jiǎn)得 。故所求的點(diǎn) p 的軌跡方程是或 10. 過(guò)原點(diǎn)

32、作直線 l和拋物線交于 a、b 兩點(diǎn)，求線段 ab 的中點(diǎn) m 的軌跡方程。【解答】：由題意分析知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程y=kx。把它代入拋物線方程 ， 得。因?yàn)橹本€和拋物線相交，所以0，解得。由消去 k 得。又，所以。點(diǎn) m 的軌跡方程為?！緞?chuàng)新應(yīng)用】11. 一個(gè)圓形紙片，圓心為 o，f 為圓內(nèi)一定點(diǎn)，m 是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使 m 與 f 重合，然后抹平紙片，折痕為 cd，設(shè) cd 與 om 交于 p，則 p 的軌跡是（）a:橢圓b:雙曲線c:拋物線d:圓【答案】：a【解答】：由對(duì)稱性可知|pf|=|pm|，則|pf|+|po|=|pm|+|po|=r（r 為圓的半徑），則 p 的軌跡是橢圓，選 a第 7 關(guān)： 參數(shù)方程與極坐標(biāo)問(wèn)題“考點(diǎn)