1、第三節(jié) 二次型和對(duì)稱矩陣的有定性,一、正定二次型和正定矩陣,定義5.6,設(shè)n元二次型 ，其中A為n階實(shí) 對(duì)稱矩陣。如果對(duì)于任意的 ，有,則稱該二次型為正定二次型，矩陣A稱為正定矩陣。,例1,設(shè)二次型,則f 為正定二次型，因?yàn)閷?duì)于任意的,都有,若二次型 ，,則g不是正定二次型。,實(shí)際上,對(duì)于,定理5.5,可逆線性變換不改變二次型的正定性。,定理5.6,推論,n階對(duì)角矩陣,為正定二次型的充分必要條件是,定理5.7,二次型 為正定二次型的充分 必要條件是它的正慣性指數(shù)等于n.,推論1,實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A合同于 單位矩陣E.即存在可逆矩陣C，有,推論2,推論3,實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定

2、矩陣的充分必要條件是存在可 逆矩陣C，使得,如果實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣，則A的行列式大于零。,定理5.8,實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的所有 特征值都是正數(shù)。,例2,如果實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣，則 也是正定矩陣。,證法1,由 ，有,即 也是對(duì)稱矩陣。,又A為正定矩陣，所以存在可逆矩陣C，有,于是,記,則,所以 也是正定矩陣。,證法2,如果A為正定矩陣，其特征值為 ，,則,而矩陣 的特征值為 ，且,所以 也是正定矩陣。,例3,設(shè)A為 矩陣，且A的秩r (A)= n，,證明 為正定矩陣。,證,因?yàn)?故 是n階對(duì)稱矩陣。,又r(A)= n，可知齊次線性方程組AX= 0僅有零解。,所以，對(duì)

3、于任意的,必有,于是,即二次型 為正定二次型，矩陣 為正定矩陣。,定義5.7,設(shè)n階矩陣 A的子式,稱為矩陣A的k階順序主子式。,定理5.9,實(shí)對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的所有 順序主子式都大于零。即,例4,判斷二次型,是否為正定二次型。,解法1,用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,由此得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,其正慣性指數(shù)為3。,故該二次型為正定二次型。,解法2,二次型f 的矩陣為,而A的特征多項(xiàng)式,得A的特征值,由于A的特征值全為正數(shù)，知A為正定矩陣。,對(duì)應(yīng)的二次型為正定二次型。,解法3,只需判定二次型矩陣A 的順序主子式是否全大于零。,因?yàn)槎涡蚮 的矩陣,中各階主子式,故A為正定矩陣，對(duì)應(yīng)

4、的二次型為正定二次型。,例5,設(shè)二次型,試問(wèn)t為何值時(shí)，該二次型為正定二次型。,解,該二次型的矩陣為,當(dāng)A的各順序主子式都大于零時(shí)，A為正定矩陣， 對(duì)應(yīng)的二次型為正定二次型。,解之得,即當(dāng) 時(shí)，二次型 為正定二次型。,二、二次型的有定性,定義5.8,設(shè)二次型,(1) 若對(duì)于任意的 有,則稱二次型f 為負(fù)定的，實(shí)對(duì)稱矩陣稱為負(fù)定矩陣。,(2) 若對(duì)于任意的 有,且存在 使得,則稱二次型f 為半正定(半負(fù)定)的，實(shí)對(duì)稱矩陣A 稱為半正定(半負(fù)定)矩陣。,(3) 若二次型 既不是半正定的，也 不是半負(fù)定的，則稱二次型f 是不定的，實(shí)對(duì)稱矩陣也稱 為不定矩陣。,定理5.10,設(shè)二次型,則下列各條件等價(jià)

5、：,(1) 為負(fù)定二次型；,(3) 實(shí)對(duì)稱矩陣A合同于-E；,(4) 實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值均小于零；,(5) 實(shí)對(duì)稱矩陣A的奇數(shù)階矩陣順序主子式小于零，偶數(shù) 階順序主子式大于零。,(2) 的負(fù)慣性指數(shù)為n；,定理5.11,設(shè)二次型,則下列各條件等價(jià)：,(1) 為半正定二次型；,(2) 的正慣性指數(shù)為p= rn；,(3) 實(shí)對(duì)稱矩陣A合同于 ,且rn；,(4) 實(shí)對(duì)稱矩陣A的所有特征值大于或等于零，且至少存在 一個(gè)特征值等于零。,例6,設(shè)矩陣,雖然A的主子式,但A并不是半正定矩陣。,實(shí)際上，矩陣A對(duì)應(yīng)的二次型,當(dāng) 時(shí)，,當(dāng) 時(shí)，,由此看出：二次型 是不定的，A也是不定的。,例7,設(shè)二次型,試判斷 是否為正定二次型。,解,二次型的矩陣,A的特