1、淺談立體幾何引入法向量的快速解法圖1眾所周知，解決立體幾何問題，“平移是手段，垂直是關(guān)鍵”，向量的運(yùn)算中：兩向量的共線易解決垂直，兩向量所成角及線段的長度等問題。一般來說，當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問題這套強(qiáng)有力的工具，應(yīng)該說不僅會降低了學(xué)習(xí)的難度，而且增強(qiáng)了可操作性，為我們的學(xué)習(xí)提供了嶄新的視角，豐富了思維結(jié)構(gòu)，消除了學(xué)習(xí)立體幾何知識所產(chǎn)生的畏懼心理，有利于牢固對立幾知識的掌握。角這一幾何量本質(zhì)上是對直線與平面位置關(guān)系的定量分析，其中轉(zhuǎn)化的思想十分重要，三種空間角都可轉(zhuǎn)化為平面角來計(jì)算，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為向量的夾角求解。1、求兩條異面直線所成的角：求所成的角（），再化為異面直線所成的角切記

2、即：，其中分別是直線的方向向量。 例1、如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，求異面直線AB與CD所成角的大?。唤猓阂設(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則異面直線AB與CD所成角的大小為評注：以向量為工具，利用空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的數(shù)量積計(jì)算，異面直線所成角問題思路自然，解法靈活簡便；另本題也可用傳統(tǒng)方法（平移法）求解。例2、如圖5所示，AF、DE分別是O、O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直徑，ABAC6，OE/AD,求直線BD與EF所成的角.解：以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），

3、A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，0）所以，設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則直線BD與EF所成的角為2、求直線和平面所成的角：求與的法向量所成的角，則線面角是。利用此種方法的關(guān)鍵是求出平面的法向量。圖2具體求法：設(shè)是斜線的方向向量，是平面的法向量，則斜線與平面所成的角是特別的：最小角定理：是斜線與平面內(nèi)過斜足的直線所成的角；是線面角（斜線與射影）；是射影與過斜足的直線（面內(nèi)）所成的角。例3、如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， 底面，且，分別為、的中點(diǎn)。求與平面所成的角。解:如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以平面因此的余角即?/p>

4、與平面所成的角.，因?yàn)?，所以與面所成的角為.例4、如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.試確定，使得直線與平面所成角的正切值為；解、建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)所以又由知，為平面的一個(gè)法向量。設(shè)AP與平面所成的角為，則。依題意有解得。故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成的角的正切值為。圖3甲3、求二面角：范圍：二面角的求法有棱二面角：三步法-作（先作平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連線）、證、算射影面積公式：法向量法：方法一：構(gòu)造二面角的兩個(gè)半平面的法向量（都取向上的方向，如圖3所示），則圖3乙 若二面角是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量的夾角的補(bǔ)角，即 若二面角是“銳角型”的如圖3乙所示，那么其大小等于兩法向量的夾角，即圖4方法二：在二面角的棱上確定兩個(gè)點(diǎn)，過分別在平面內(nèi)求出與垂直的向量（如圖4所示），則二面角的大小等于向量的夾角，即 分別是的法向量，則二面角的平面角在內(nèi)，在內(nèi)，則二面角的平面角無棱二面角：方法一：無棱變有棱（延長、連線找到棱）射影面積公式：（大題一般按不可輕易使用）例5、三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直