1、【課標要求】,2.3.2 離散型隨機變量的方差,理解取有限個值的離散型隨機變量的方差及標準差的概念和計算 能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題 掌握方差的性質(zhì)，以及兩點分布、二項分布的方差的求法，會利用公式求它們的方差,1,2,3,離散型隨機變量的方差與標準差的概念和計算(難點) 離散型隨機變量的均值意義與方差意義的區(qū)別與聯(lián)系 (易混點) 兩點分布、二項分布的方差的求法,【核心掃描】,1,2,3,離散型隨機變量的方差、標準差 (1)定義：設(shè)離散型隨機變量X的分布列為,自學(xué)導(dǎo)引,1,(2)意義：隨機變量的方差和均值都反映了隨機變量取值偏離于_的平均程度方差或標準差越小，則隨機變量

2、偏離于均值的_ (3)離散型隨機變量方差的性質(zhì) 設(shè)a，b為常數(shù)，則D(aXb) _,(xiE(X)2,均值,平均程度越小,a2D(X),想一想：你能類比樣本數(shù)據(jù)方差的計算公式，理解離散型隨機變量方差的計算公式嗎？,服從兩點分布與二項分布的隨機變量的方差,2,p(1p),np(1p),對隨機變量X的方差、標準差的理解 (1)隨機變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的 (2)隨機變量X的方差和標準差都反映了隨機變量X取值的穩(wěn)定性和波動、集中與離散程度 (3)D(X)越小，穩(wěn)定性越高，波動越小 (4)標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛,名師點睛,1,數(shù)學(xué)期望與方差

3、的關(guān)系 (1)數(shù)學(xué)期望和方差是描述隨機變量的兩個重要特征數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均值，而方差表現(xiàn)了隨機變量所取的值相對于數(shù)學(xué)期望的集中與離散的程度 (2)E(X)是一個實數(shù)，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描述X的取值的平均水平，D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中 (3)D(X)與E(X)一樣也是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定 (當然方差是建立在數(shù)學(xué)期望這一概念上的),2,方差的性質(zhì) 當a，b均為常數(shù)時，隨機變量函數(shù)ab的方差D()D(ab)a2D()特

4、別地： (1)當a0時，D(b)0，即常數(shù)的方差等于0； (2)當a1時，D(b)D()，即隨機變量與常數(shù)之和的方差等于這個隨機變量的方差本身； (3)當b0時，D(a)a2D()，即隨機變量與常數(shù)之積的方差，等于這個常數(shù)的平方與這個隨機變量方差的乘積,3,題型一求離散型隨機變量的方差,袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1，2，3，4)現(xiàn)從袋中任取一球表示所取球的標號 (1)求的分布列、期望和方差； (2)若ab，E()1，D()11，試求a，b的值 思路探索 (1)根據(jù)題意，由古典概型概率公式求出分布列，再利用均值，方差公式求解 (2)運用E()aE()b

5、，D()a2D()求a，b.,【例1】,解(1)的分布列為：,規(guī)律方法求離散型隨機變量的均值或方差的關(guān)鍵是列分布列，而列分布列的關(guān)鍵是要清楚隨機試驗中每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果同時還能正確求出每一個結(jié)果出現(xiàn)的概率,已知X的分布列為,【變式1】,求：(1)E(X)，D(X)； (2)設(shè)Y2X3，求E(Y)，D(Y),思路探索 判斷某一離散型隨機變量是否服從二項分布，是利用公式E()np，D()np(1p)的先決條件,題型二兩點分布與二項分布的方差,【例2】,規(guī)律方法記準方差的性質(zhì)：D(ab)a2D()若服從兩點分布，則D()p(1p)若B(n，p)，則D()np(1p),設(shè)一次試驗的成功率為p，進行1

6、00次獨立重復(fù)試驗，求當p為何值時，成功次數(shù)的標準差的值最大？并求其最大值,【變式2】,A，B兩個投資項目的利潤率分別為隨機變量X1和X2.根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為,題型三均值與方差的綜合應(yīng)用,【例3】,(1)在A，B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)，D(Y2)； (2)將x(0 x100)萬元投資A項目，100 x萬元投資B項目，f(x)表示投資A項目所得利潤的方差與投資B項目所得利潤的方差的和求f(x)的最小值，并指出x為何值時，f(x)取得最小值(注：D(aXb)a2D(X),規(guī)范解答 (1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分

7、布列分別為,(2分),E(Y1)50.8100.26， D(Y1)(56)20.8(106)20.24. (4分) E(Y2)20.280.5120.38， D(Y2)(28)20.2(88)20.5(128)2 0.312. (6分),【題后反思】 解均值與方差的綜合問題時的注意事項 (1)離散型隨機變量的分布列、均值和方差是三個緊密聯(lián)系的有機統(tǒng)一體，一般在試題中綜合在一起考查，其解題的關(guān)鍵是求出分布列； (2)在求分布列時，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算概率，并注意結(jié)合分布列的性質(zhì)，簡化概率計算； (3)在計算均值與方差時要注意運用均值和方差的性質(zhì)以避免一些復(fù)雜

8、的計算若隨機變量X服從兩點分布、二項分布可直接利用對應(yīng)公式求解,從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機變量X表示所選3人中女生的人數(shù) (1)求X的分布列； (2)求X的均值與方差； (3)求“所選3人中女生人數(shù)X1”的概率,【變式3】,某農(nóng)科院對兩個優(yōu)良品種甲、乙在相同的條件下進行對比實驗，100公頃的產(chǎn)量列表如下： 甲：,誤區(qū)警示忽略對方差的比較致誤,【示例】,乙：,試判斷這兩個品種哪一個較好？ 錯解 設(shè)甲品種每公頃產(chǎn)量為X， 則X的概率分布為：,由上表可得E(X)甲9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72. 同理可以計算出 E(X)乙9.20.359.50.2100.35110.19.72. 由E(X)甲E(X)乙，可知甲、乙兩個品種的質(zhì)量相同,對于如何評價兩個品種的質(zhì)量的標準只是停在用均值來比較的層面上，誤以為均值相同即質(zhì)量相同，忽視了還可以利用方差對產(chǎn)量的穩(wěn)定性進行考察,正解 由錯解知：E(X)甲E(X)乙9.72， D(X)甲(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(10.29.72)20.150.064. D(