1、1.2 函數(shù)的概念和性質(zhì)知識、方法、技能I函數(shù)的定義 設(shè)A，B都是非空的數(shù)集，f是從A到B的一個(gè)對應(yīng)法則.那么，從A到B的映射f：AB就叫做從A到B的函數(shù).記做y=f(x)，其中xA，yB，原象集合，A叫做函數(shù)f(x)的定義域，象的集合C叫做函數(shù)的值域，顯然CB.II函數(shù)的性質(zhì) （1）奇偶性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的數(shù)集.若對任意的xD，都有f(x)=f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的xD，都有f(x)=f(x),則稱f(x)是偶函數(shù). （2）函數(shù)的增減性 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上滿足：對任意x1, x2D，并且x1x2時(shí)，總有f(x1)f(x2),則稱f(x)

2、在區(qū)間D上的增函數(shù)（減函數(shù)），區(qū)間D稱為f(x)的一個(gè)單調(diào)增（減）區(qū)間.III函數(shù)的周期性對于函數(shù) f(x),如果存在一個(gè)不為零的正數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域中的每個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，那么稱f(x)是周期函數(shù)，T稱做這個(gè)周期函數(shù)的周期.如果函數(shù)f(x)的所有周期中存在最小值T0，稱T0為周期函數(shù)f(x)的最小值正周期.IV高斯函數(shù)對任意實(shí)數(shù)x,我們記不超過x的最大整數(shù)為x，通常稱函數(shù)y=x為取整函數(shù)，又稱高斯函數(shù).進(jìn)一步，記x=xx，則函數(shù)y=x稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是x的小數(shù)部分.根據(jù)高斯函數(shù)的定義，可得到其如下性質(zhì).性質(zhì)1 對任意xR，均有 x1xx0，得1【評述】這種多

3、層對數(shù)及根式問題，一定要逐層由外向內(nèi)求解，要有耐心。例2 設(shè)A=a|a=7p,pN*,在A上定義函數(shù)f如下：若aA，則f(a)表示a的數(shù)字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，設(shè)函數(shù)f的值域是集合M.求證：M=n|nN*, n2.【思路分析】注意從充要條件的角度來進(jìn)行證明.【略解】先證Mn|nN*,n2.任取xM, 即x是被7整除的正整數(shù)的數(shù)字之和，由于710n，n=0, 1,2，所以x的數(shù)字之和是大于1的正整數(shù)，因此xn|nN*，n2.所以Mn|nN*,n2.再證n|nN*，n2 M.任取xn|nN*,n2,即x是大于1的正整數(shù).下面分兩種情形：當(dāng)x=2k(kN*)時(shí)，由于7|100|，于

4、是取a= 100110011001，k個(gè)1001則7|a，且f(a)=2k,所以xM.當(dāng)x=2k+1(kN*)時(shí)，由于7|100|，7|21，于是取b=10011001100121， k1個(gè)1001則7|b，且f(b)=2(k1)+3=2k+1,故xM,故xM.所以n|nN*, n2M.因此 M=n|nN*, n2.【評述】此類題目的證明嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué).例3 設(shè)正實(shí)數(shù)x, y滿足xy=1，求函數(shù) f(x, y) =的值域.（其中（x表示不超過x的最大整數(shù)）【思路分析】由x、y的對稱性，不妨設(shè)xy，則有x21，必分x=1與x1兩種情況討論.【詳解】不妨設(shè)xy，則x21,x1.有下面兩種情形：（1）當(dāng)

5、x=1時(shí)，y=1，此時(shí)f(x,y)=.（2）當(dāng)x1時(shí)，設(shè)x=n， x=xx=，則x=n+,01.于是，y=1，故y=0.由函數(shù)g(x)=x+在x1時(shí)是遞增的和00時(shí)，f(x)0且f(1)=2.（1）證明：f(x)是奇函數(shù)；（2）求f(x)在3，3上的最大值和最小值.【思路分析】因?yàn)閤R，由區(qū)間的特殊點(diǎn)，即x=0入手，是解題的出發(fā)點(diǎn).【略解】（1）令x=y=0,則有 f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0.再令y=x，得f(0)=f(x)+f(x),f(0)=0, f(x)=f(x), f(x)是奇函數(shù).（2）設(shè)x1, x2R，且x1x1, x2x10.由已知得 f(x2x1)0,f(x2

6、)0, 1lga=0,故a=10.【評述】利用“函數(shù)與方程的思想”來解題依然是本題的主線，但函數(shù)是奇函數(shù)是出發(fā)點(diǎn)。應(yīng)注意找好每道題解題的出發(fā)點(diǎn).例8 已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)且f(1)=2.（1）求證：f(x)為奇函數(shù)；（2）當(dāng)t2時(shí)，不等式f(klog2t)+f(log2tlog22t2)0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【思路分析】由f(x)的定義域?yàn)镽，從其特殊點(diǎn)，即x=y=0入手來解此題.【略解】（1）令x=y=0得f(0)=2f(0), f(0)=0.再令y=x, 得f(0)=f(x)+f(x),f(x)=f(x), 即f(x)為奇函數(shù).（2）f(0)=0, f(1)=2,且f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)，故f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù).又f(x)是