1、2.2 橢圓周長和面積計算公式橢圓定理（又名：橢圓猜想）橢圓定理易亞蘇（關(guān)鍵詞：橢圓周長公式、橢圓周長定理、橢圓面積公式、橢圓面積定理等。）圓完美的和諧，橢圓和諧的完美。一、橢圓第一定義橢圓第一定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。橢圓第一定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式：MF1+MF2=2aF1F2（由于網(wǎng)上發(fā)文的遺憾，公式和符號略有缺陷，相信您能夠看懂。）M為動點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為定點(diǎn)，a為常數(shù)。在橢圓中，用a表示長半軸的長，b表示短半軸的長，且ab0；2c表示焦距。二、橢圓定理（一）橢圓定理（橢圓焦距定理）

2、橢圓定理：任意同心圓，小圓任意切線與大圓形成的弦等于以大圓半徑為長半軸長、小圓半徑為短半軸長的橢圓焦距。該橢圓中心在同心圓圓心，焦點(diǎn)在圓心以焦距一半為半徑的圓上。附圖：橢圓的奧秘圖解之一（焦距定理）（略）（二）橢圓定理（橢圓第一常數(shù)定理）定義1：K1=2/(-2)，K1為橢圓第一常數(shù)。定義2：f=b/a，f為橢圓向心率（ab0）。定義3：T=K1+f，T為橢圓周率。橢圓定理：橢圓是同心圓依照勾股定理和諧組合，橢圓第一常數(shù)K1的數(shù)值加上橢圓向心率f的數(shù)值等于橢圓周率T的數(shù)值。（三）橢圓定理（橢圓第三常數(shù)定理）橢圓具有三特性，也稱橢圓三態(tài)。1、當(dāng)橢圓bc時，橢圓為向外膨脹型，其焦點(diǎn)在以b為半徑的圓

3、內(nèi)；2、當(dāng)橢圓b=c時，橢圓為相對穩(wěn)定型，其焦點(diǎn)在以b為半徑的圓上；3、當(dāng)橢圓bb0，則有 ：b2+c2=1（橢圓單位）當(dāng)b=c時，2b2=1（橢圓單位），b=根號1/2（橢圓單位）。定義：K3=根號1/2，K3為橢圓第三常數(shù)。橢圓定理：橢圓第三常數(shù)K3與橢圓單位決定橢圓特性。當(dāng)橢圓bc時，橢圓向心率（f）大于橢圓第三常數(shù)（K3），橢圓離心率（e）小于橢圓第三常數(shù)（K3），橢圓為向外膨脹型；當(dāng)橢圓b=c時，橢圓向心率（f）和橢圓離心率（e）都等于橢圓第三常數(shù)（K3），橢圓為相對穩(wěn)定型；當(dāng)橢圓bb0。橢圓周長公式：L=2b+4(a-b)橢圓周長定理：橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長（2

4、b）加上四倍的該橢圓長半軸長（a）與短半軸長（b）的差。橢圓面積公式： S=ab橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率（）乘該橢圓長半軸長（a）與短半軸長（b）的乘積。二、橢圓常數(shù)由來及周長、面積公式推導(dǎo)過程（一）發(fā)現(xiàn)橢圓常數(shù)常數(shù)在于探索和發(fā)現(xiàn)。橢圓三要素：焦距的一半（c），長半軸的長（a）和短半軸的長（b）。橢圓三要素確定任意兩項就確定橢圓。橢圓三要素其中兩項的某種數(shù)學(xué)關(guān)系決定橢圓周長和面積。橢圓的周長取值范圍：4aL2a （1）橢圓周長猜想：L=(2a-4a)T （2）T是猜想的橢圓周率。將（1）等式與（2）等式合并，得：4a(2a-4a)T2a （3）根據(jù)不等式基本性質(zhì)，將不等式（3）同除(

5、2a-4a)，有：4a/(2a-4a) T2a /(2a-4a) （4）簡化表達(dá)式（4）：2/(-2)T/(-2) 定義：K1=2/(-2)；K2=/(-2) 計算K1、K2的值會發(fā)現(xiàn)K1、K2是兩個非常奇特的數(shù)：K11.75193839388411 K22.75193839388411橢圓第二常數(shù)：K2=K1+1橢圓常數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程描述簡單，得來卻要復(fù)雜得多。（二）橢圓周長公式推導(dǎo)長期以來我們只用橢圓離心率e=c/a來描述橢圓，卻忽視了橢圓a與b的關(guān)系。定義：橢圓向心率為f，f=b/a 。根據(jù)橢圓第一定義，橢圓向心率f，有0f1的范圍。K1+fK2的數(shù)學(xué)關(guān)系正是橢圓周長計算時存在的數(shù)學(xué)關(guān)系。定

6、義：T=K1+f，將此等式代入等式（2）則有：L=(2a-4a)T=2(-2)a(K1+f) =2(-2)a(2/(-2)+b/a)=2b+4(a-b) 橢圓周長計算公式： L=2b+4(a-b) （三）橢圓面積公式推導(dǎo)橢圓面積的取值范圍：0Sa2 （5）（由于網(wǎng)上發(fā)文的遺憾，公式和符號略有缺陷，相信您能夠看懂。如：上式中a2為乘a的二次方。）橢圓面積猜想：S=a2T （6）T是猜想的橢圓面積率。將（5）等式與（6）等式合并，得：0a2Ta2 （7）根據(jù)不等式基本性質(zhì)，將不等式（7）同除a2，則有：0Tb0）。定義3：T=K1+f，T為橢圓周率”。有聰明的網(wǎng)友提出“定義：T=k1+f沒有依據(jù)”

7、，現(xiàn)就此問題作出如下分析說明。（一）在橢圓常數(shù)K1、K2的由來與周長、面積公式推導(dǎo)中，有“T是猜想的橢圓周率”，并“定義：T=K1+f”（橢圓定理中也有此定義，見上）。橢圓常數(shù)K1、K2的由來與周長、面積公式推導(dǎo)中還有表達(dá)式:2/(-2)T/(-2)。定義：K1=2/(-2)；K2=/(-2)。這樣定義理當(dāng)無可非議。那么，K1TK2，因為k2=k11，也可以說T是k1到k1+1之間的數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：k1Tk1+1。對于具體橢圓而言k1Tk1+f，f為橢圓向心率，f=b/a，0fb0）（參見橢圓定理）。因為0f1，所以k1Tb0,因為f=b/a,即0f1。當(dāng)b接近0時，橢圓接近雙直線，其長度近

8、似于4a；當(dāng)b接近a時，橢圓接近圓，其周長近似于2a。當(dāng)b在0與a之間變化時，形狀為橢圓，其周長為L=2b+4(a-b)。以下作簡要分析，如果把橢圓的a作為橢圓單位，那么f=B(橢圓單位)，Bb/a（橢圓單位），其中0B1，也即0f1。T=k1+f，k1Tk1+1或k1Tk2，即是2/(-2)Tb0，所以只能稱“圓是橢圓的范圍”，而不能稱圓是特殊的橢圓。但是在研究橢圓時以橢圓a為半徑的圓起到了很好的參考，所以筆者在橢圓定理中對圓和橢圓這兩種幾何圖形，只能發(fā)出“圓完美的和諧，橢圓和諧的完美”這樣的感嘆。（三）筆者認(rèn)為任何科學(xué)研究的方法都基于：1、發(fā)現(xiàn)特殊現(xiàn)象；2、提出假設(shè)或猜想；3、利用假設(shè)或猜

9、想做出結(jié)論；4、對結(jié)論進(jìn)行檢驗。橢圓定理就是基于這四點(diǎn)寫出的短文。筆者認(rèn)為論文不在長短，而在其價值。當(dāng)今的橢圓理論是不完整的（比如只有近似的橢圓周長計算公式，缺少標(biāo)準(zhǔn)的橢圓周長計算公式），那么“橢圓理論”的依據(jù)還需要靠發(fā)現(xiàn)來完善。任何科學(xué)的原始依據(jù)從哪里來？從發(fā)現(xiàn)來。對特殊現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)加以總結(jié)，通過檢驗就可以成為理論；理論升華就是科學(xué)，科學(xué)也是理論依據(jù)的源泉。（四）橢圓周長無疑在4aLb0）。如果引用橢圓單位，則4L2（橢圓單位）。在橢圓定理短文中有“后附橢圓的奧秘橢圓周長、面積驗算公式表”，可惜網(wǎng)上尚未能表示出“驗算公式表”，相信您用Excel可以很容易作出“驗算公式表”，并可以對橢圓周長計算

10、公式L=2b+4(a-b)進(jìn)行序列的直觀檢驗。橢圓周長計算公式L=2b+4(a-b)中雖然沒有出現(xiàn)橢圓周率T，但這個公式是通過橢圓周率T推導(dǎo)演變而來。常數(shù)為體，公式為用。（五）當(dāng)今尚無標(biāo)準(zhǔn)的橢圓周長計算公式是基礎(chǔ)科學(xué)中的遺憾之一，現(xiàn)在科學(xué)中所使用的橢圓周長都是近似值，這也是科學(xué)的遺憾之一，所以研究橢圓周長計算公式是十分有意義的。筆者認(rèn)為一個公式的對與錯，既有意義也沒有意義，因為科學(xué)是發(fā)展的，科學(xué)是循序漸進(jìn)的過程。科學(xué)探索的過程是寂寞而愉快的，但我們要認(rèn)識到今天的正確不代表明天的正確，如果沒有這樣的觀念，科學(xué)也就難于進(jìn)步。10的負(fù)50次方對古人而言除了代表0沒有其他的意義，然而10的負(fù)50次方對

11、現(xiàn)代人而言可以代表0，也可以不代表0。隨著科學(xué)技術(shù)的提高，10的負(fù)N次方的意義也在發(fā)生變化。宇宙之浩大，用橢圓周長的近似公式去研究宇宙，今天不出問題，明天必定要出大問題。人類對宇宙的認(rèn)識從神話到科學(xué)、從主觀到客觀是不以個人的意志為轉(zhuǎn)移的，科學(xué)發(fā)展到今天，我們更要具有科學(xué)發(fā)展觀。任一部分橢圓面積橢圓周長（一）橢圓周長計算公式 橢圓周長公式：L=2b+4(a-b) 橢圓周長定理：橢圓的周長等于該橢圓短半軸長為半徑的圓周長（2b）加上四倍的該橢圓長半軸長（a）與短半軸長（b）的差。 （二）橢圓面積計算公式 橢圓面積公式： S=ab 橢圓面積定理：橢圓的面積等于圓周率（）乘該橢圓長半軸長（a）與短半軸

12、長（b）的乘積。 以上橢圓周長、面積公式中雖然沒有出現(xiàn)橢圓周率T，但這兩個公式都是通過橢圓周率T推導(dǎo)演變而來。常數(shù)為體，公式為用。近似L=(4ab2+15(a-b)2)(1+MN) ( M=4/15-1 、N=(a-b)/a)9 ) 近似 L=Q(1+3h/(10+(4-3h)(1+MN) ( Q=a+b、H=(a-b)/(a+b)2、M=22/7-1、M=(a-b)/a)33.697 、) 標(biāo)準(zhǔn) LQ(1+h2/4+h4/43+h6/44+52*h8/47+72*h10/48) (h(a-b)/(a+b)， Qa+b，)幾何圖形及計算公式查詢平面圖形名稱符號周長C和面積S正方形a邊長C4aS

13、a2長方形a和b邊長C2(a+b)Sab三角形a,b,c三邊長ha邊上的高s周長的一半A,B,C內(nèi)角其中s(a+b+c)/2Sah/2ab/2sinC s(s-a)(s-b)(s-c)1/2a2sinBsinC/(2sinA)四邊形d,D對角線長對角線夾角SdD/2sin平行四邊形a,b邊長ha邊的高兩邊夾角Sahabsin菱形a邊長夾角D長對角線長d短對角線長SDd/2a2sin梯形a和b上、下底長h高m中位線長S(a+b)h/2mh圓r半徑d直徑Cd2rSr2d2/4扇形r扇形半徑a圓心角度數(shù)C2r2r(a/360)Sr2(a/360)弓形l弧長b弦長h矢高r半徑圓心角的度數(shù)Sr2/2(/

14、180-sin)r2arccos(r-h)/r - (r-h)(2rh-h2)1/2r2/360 - b/2r2-(b/2)21/2r(l-b)/2 + bh/22bh/3圓環(huán)R外圓半徑r內(nèi)圓半徑D外圓直徑d內(nèi)圓直徑S(R2-r2)(D2-d2)/4橢圓D長軸d短軸SDd/4立方圖形名稱符號面積S和體積V正方體a邊長S6a2Va3長方體a長b寬c高S2(ab+ac+bc)Vabc棱柱S底面積h高VSh棱錐S底面積h高VSh/3棱臺S1和S2上、下底面積h高VhS1+S2+(S1S1)1/2/3擬柱體S1上底面積S2下底面積S0中截面積h高Vh(S1+S2+4S0)/6圓柱r底半徑h高C底面周長S底底面積S側(cè)側(cè)面積S表表面積C2rS底r2S側(cè)ChS表Ch+2S底VS底hr2h空心圓柱R外圓半徑r內(nèi)圓半徑h高Vh(R2-r2)直圓錐r底半徑h高Vr2h/3圓臺r上底半徑R