1、傳熱學(xué)大作業(yè)二維物體熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法1.二維熱傳導(dǎo)問題的物理描述：本次需要解決的問題是結(jié)合給定的邊界條件，通過二維導(dǎo)熱物體的數(shù)值解法，求解出某建筑物墻角穩(wěn)態(tài)下的溫度分布t以及單位長度壁面上的熱流量。1.1 關(guān)于邊界條件和研究對象選取的物理描述：如圖所示為本次作業(yè)需要求解的建筑物墻壁的截面。尺寸如圖中所標(biāo)注。1.2 由于墻角的對稱性，a-a，b-b截面都是絕熱面，并且由于對稱性，我們只需要研究墻角的1/4即可(圖中陰影部分)。假設(shè)在垂直紙面方向上不存在熱量的傳遞，我們只需要對墻角進(jìn)行二維問題的研究即可。1.3 關(guān)于導(dǎo)熱量計算截面的物理描述：本次大作業(yè)需要解決對流邊界條件和等溫邊界條件下兩類邊

2、界條件的問題。由于對稱性，我們只需研究1/4墻角外表面和內(nèi)表面的導(dǎo)熱量再乘4，即是墻壁的總導(dǎo)熱量。2.二維熱傳導(dǎo)問題的數(shù)學(xué)描寫：本次實驗的墻角滿足二維，穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源的條件，因此：壁面內(nèi)滿足導(dǎo)熱微分方程：2tx2+2ty2=0。在絕熱面處，滿足邊界條件：-(tn)=0。在對流邊界處滿足邊界條件：-tnw=h(tw-tf)3.二維熱傳導(dǎo)問題離散方程的建立：本次作業(yè)中墻角的溫度場是一個穩(wěn)態(tài)的連續(xù)的場。本次作業(yè)中將1/4墻角的溫度場離散化，劃分成若干小的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格的節(jié)點看成以它為中心的一個小區(qū)域的代表。通過這些節(jié)點，采用“熱平衡法”，建立起相應(yīng)的離散方程，通過高斯-賽德爾迭代法，得到最終收斂的溫度

3、場，從而完成對墻角溫度場的數(shù)值解。對1/4墻角的網(wǎng)格劃分如下：選取步長x=y=0.1m，為了方便研究，對導(dǎo)熱物體的網(wǎng)格節(jié)點進(jìn)行編碼，編碼規(guī)則如下： x,y坐標(biāo)軸的方向如圖所示，x,y軸的單位長度為步長x, 取左下角點為(1,1)點，其他點的標(biāo)號為其在x,y軸上的坐標(biāo)。以此進(jìn)行編碼，進(jìn)行離散方程的建立。 建立離散方程，要對導(dǎo)熱物體中的節(jié)點根據(jù)其邊界條件進(jìn)行分類（特殊節(jié)點用陰影標(biāo)出）：首先以對流邊界條件下的墻角為例1.外壁面上，平直邊界節(jié)點：建立離散方程：yti+1,j-ti,jx+x2ti,j+1-ti,jy+x2ti,j-1-ti,jy+hoxtfo-ti,j=0以(i,j)為中心節(jié)點，進(jìn)一步

4、整理得：ti,j=2ti,j-1+ti,j+1+ti+1,j+hoxtfo2+hox2.外部角點：建立離散方程：hoxtfo-ti,j+y2ti,j+1-ti,jx+x2ti,j-1-ti,jy=0以(i,j)為中心節(jié)點，進(jìn)一步整理得：ti,j=2ti+1,j+ti,j-1+hoxtfo+hox3.絕熱+對流邊界角點：建立離散方程：hoy2tfo-ti,j+x2ti,j+1-ti,jy+y2ti+1,j-ti,jx=0以(i,j)為中心節(jié)點，進(jìn)一步整理得：ti,j=2ti,j+1+ti+1,j+hoy2tfo+hoy24.內(nèi)部角點：建立離散方程：hixtfi-ti,j+xti,j+1-ti,j

5、y+yti-1,j-ti,jx+y2ti+1,j-ti,jx+x2ti,j-1-ti,jx=0以(i,j)為中心節(jié)點，進(jìn)一步整理得：ti,j=2ti+1,j+ti,j-1+(ti,j+1+ti-1,j)+hixtfi3+hix5.絕熱平直邊界節(jié)點：建立離散方程：x2ti,j+1-ti,jy+x2ti,j-1-ti,jx+yti-1,j-ti,jx=0以(i,j)為中心節(jié)點，進(jìn)一步整理得：ti,j=2ti,j-1+ti,j+1+ti-1,j26.對于普通內(nèi)部節(jié)點：建立離散方程：xti,j+1-ti,jy+xti,j-1-ti,jy+yti-1,j-ti,jx+yti+1,j-ti,jx=0以(i

6、,j)為中心節(jié)點，進(jìn)一步整理得：ti,j=ti,j-1+ti,j+1+ti-1,j+ti+1,j4等溫邊界條件下：等溫邊界下內(nèi)部節(jié)點和絕熱邊界下的節(jié)點離散方程與上述5，6式形式相同，在等溫壁面處，節(jié)點方程只需寫成ti,j=tw即可4.方程的求解：由上圖可知，本題中有16*12=192個節(jié)點，相應(yīng)地，就會有192個待求解的離散方程。在如此高階次的方程組下，根據(jù)目前的計算機發(fā)展水平，采用克萊姆法則求解是不現(xiàn)實的，因此，采用方便計算機求解的高斯賽德爾迭代法進(jìn)行迭代求解。根據(jù)數(shù)學(xué)上的“主對角線占優(yōu)”原則，在我們采用熱平衡法導(dǎo)出差分方程時，如果每一個方程都選用導(dǎo)出該方程的中心節(jié)點的溫度作為迭代變量，那么

7、迭代一定收斂。在計算過程中往往需要進(jìn)行足夠多的次數(shù)，迭代才能收斂。判斷收斂的方法是在相鄰兩次迭代值之差（或相對偏差）的絕對值足夠小時，稱已達(dá)到迭代收斂，迭代計算終止。本次計算中采用絕對殘差判據(jù)：max|ti(k)-ti(k+1)|下面是本次作業(yè)所采用的程序框圖：輸入被模擬對象的物性參數(shù)和幾何尺寸，確定步長根據(jù)設(shè)定的步長確定變量個數(shù)和分布，設(shè)定初場矩陣開始列寫邊界角點和特殊點的離散方程（同時迭代）列寫一般內(nèi)部角點的離散方程（同時迭代）殘差是否滿足要求？ 否 ， 是作圖，并根據(jù)結(jié)果計算熱流量4.方程的求解（續(xù)）：對于對流邊界條件下，內(nèi)壁面和外壁面的熱流量可以根據(jù)對流換熱公式：=hyt+ hxt在等

8、溫邊界條件下，由于環(huán)境未知，無法直接在等溫壁面上進(jìn)行計算。但由于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，可以借助等溫壁面附近的截面（下圖中標(biāo)紅）進(jìn)行計算。公式為：=xty+ ytx5.計算程序源代碼：（請見附件）等溫邊界條件：運算結(jié)果：計算獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分歧點用紅色標(biāo)出）：30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 29.0 28.1 27.1 26.2 25.5 24.9 24.5 24.3 24.2 24.1 24.1 24.0 24.0 24.0 24.0 30.0 28.1 26.1

9、 24.2 22.3 20.7 19.6 18.9 18.5 18.3 18.2 18.1 18.0 18.0 18.0 18.0 30.0 27.1 24.2 21.2 18.1 15.5 13.9 13.0 12.5 12.3 12.2 12.1 12.0 12.0 12.0 12.0 30.0 26.2 22.3 18.1 13.6 9.1 7.4 6.7 6.4 6.2 6.1 6.1 6.0 6.0 6.0 6.0 30.0 25.5 20.7 15.5 9.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 30.0 24.9 19.6 13

10、.9 7.4 0.0 30.0 24.5 18.9 13.0 6.7 0.0 30.0 24.3 18.5 12.6 6.4 0.0 30.0 24.2 18.3 12.3 6.2 0.0 30.0 24.1 18.2 12.2 6.1 0.0 30.0 24.1 18.2 12.2 6.1 0.0 熱流量：1=60.42=60.4根據(jù)“熱電模擬”實驗獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分歧點用紅色標(biāo)出）：30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 30.0 29.0 28.1 27.1 26

11、.2 25.5 24.9 24.5 24.3 24.2 24.1 24.1 24.0 24.0 24.0 24.0 30.0 28.1 26.1 24.2 22.3 20.7 19.6 18.9 18.5 18.3 18.2 18.1 18.1 18.0 18.0 18.0 30.0 27.1 24.2 21.2 18.1 15.5 13.9 13.0 12.5 12.3 12.2 12.1 12.1 12.0 12.0 12.0 30.0 26.2 22.3 18.1 13.6 9.1 7.4 6.7 6.4 6.2 6.1 6.1 6.0 6.0 6.0 6.0 30.0 25.5 20.

12、7 15.5 9.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 30.0 24.9 19.6 13.9 7.4 0.0 30.0 24.5 18.9 13.0 6.7 0.0 30.0 24.3 18.5 12.6 6.4 0.0 30.0 24.2 18.3 12.3 6.2 0.0 30.0 24.1 18.2 12.2 6.1 0.0 30.0 24.1 18.2 12.2 6.1 0.0 熱流量：1=60.352=60.35溫度分布圖像：對流邊界條件：運算結(jié)果：計算獲得的各節(jié)點溫度：29.9 29.7 29.5 29.3 29.1 28.9

13、 28.8 28.7 28.6 28.6 28.5 28.5 28.5 28.5 28.5 28.5 29.7 29.1 28.5 28.0 27.4 26.9 26.5 26.2 26.0 25.8 25.7 25.7 25.6 25.6 25.6 25.6 29.5 28.5 27.6 26.6 25.6 24.8 24.1 23.6 23.3 23.0 22.9 22.8 22.7 22.7 22.7 22.7 29.3 28.0 26.6 25.2 23.8 22.5 21.5 20.9 20.4 20.2 20.0 19.9 19.8 19.8 19.8 19.8 29.1 27.4

14、 25.6 23.8 21.9 19.9 18.6 17.9 17.4 17.2 17.0 16.9 16.9 16.9 16.8 16.8 28.9 26.9 24.8 22.5 19.9 16.7 15.2 14.6 14.3 14.1 14.0 14.0 13.9 13.9 13.9 13.9 28.8 26.5 24.1 21.5 18.6 15.2 28.7 26.2 23.6 20.9 17.9 14.6 28.6 26.0 23.3 20.5 17.5 14.3 28.6 25.9 23.1 20.2 17.2 14.1 28.5 25.8 23.0 20.1 17.1 14.1

15、 28.5 25.8 22.9 20.1 17.1 14.1 熱流量：1=28.32=28.3根據(jù)“熱電模擬”實驗獲得的各網(wǎng)格節(jié)點溫度（分歧點用紅色標(biāo)出）：29.9 29.7 29.5 29.3 29.2 29.0 28.8 28.7 28.6 28.6 28.528.5 28.5 28.5 28.5 28.5 29.7 29.1 28.6 28.0 27.5 27.0 26.6 26.3 26.0 25.9 25.8 25.7 25.6 25.6 25.6 25.6 29.5 28.6 27.6 26.6 25.7 24.8 24.1 23.6 23.3 23.1 22.9 22.8 22.8 22.8 22.7 22.7 29.3 28.0 26.6 25.2 23.8 22.5 21.5 20.9 20.4 20.2 20.0 19.9 19.9 19.8 19.8 19.8 29.1 27.4 25.6 23.8 21.9 19.9 18.6 17.9 17.4 17.2 17.0 16.9 16.9 16.9 16.9 16.8 28.9 26.9 24.8 22.5 19.9 16.7 15.2