1、典型例題一例1：已知正方體求證：平面平面 證明：為正方體， 又 平面，故平面同理平面又， 平面平面說明：上述證明是根據(jù)判定定理1實現(xiàn)的本題也可根據(jù)判定定理2證明，只需連接即可，此法還可以求出這兩個平行平面的距離典型例題二例2：如圖，已知，求證：證明：過直線作一平面，設， 又 在同一個平面內過同一點有兩條直線與直線平行 與重合，即 說明：本題也可以用反證法進行證明典型例題三例3：如果一條直線與兩個平行平面中的一個相交，那么它和另一個也相交已知：如圖，求證：與相交證明：在上取一點，過和作平面，由于與有公共點，與有公共點與、都相交設，又、都在平面內，且和交于與相交所以與相交典型例題四例4：已知平面，

2、為夾在，間的異面線段，、分別為、的中點求證： ，證明：連接并延長交于，確定平面，且，所以， ，又， 又 ， ，故同理說明：本題還有其它證法，要點是對異面直線的處理典型例題六例6如圖，已知矩形的四個頂點在平面上的射影分別為、，且、互不重合，也無三點共線求證：四邊形是平行四邊形證明：， 不妨設和確定平面 同理 和確定平面 又，且 同理 又又，同理四邊形是平行四邊形典型例題七例7設直線、，平面、，下列條件能得出的是（）A，且，B，且C，且D，且分析：選項A是錯誤的，因為當時，與可能相交選項B是錯誤的，理由同A選項C是正確的，因為，所以，又，選項D也是錯誤的，滿足條件的可能與相交答案：C說明：此題極易

3、選A，原因是對平面平行的判定定理掌握不準確所致本例這樣的選擇題是常見題目，要正確得出選擇，需要有較好的作圖能力和對定理、公理的準確掌握、深刻理解，同時要考慮到各種情況典型例題八例8設平面平面，平面平面，且、分別與相交于、，求證：平面平面分析：要證明兩平面平行，只要設法在平面上找到兩條相交直線，或作出相交直線，它們分別與平行（如圖）證明：在平面內作直線直線，在平面內作直線直線平面平面，平面，平面，又，平面平面說明：如果在、內分別作，這樣就走了彎路，還需證明、在、內，如果直接在、內作、的垂線，就可推出由面面垂直的性質推出“線面垂直”，進而推出“線線平行”、“線面平行”，最后得到“面面平行”，最后得

4、到“面面平行”其核心是要形成應用性質定理的意識，在立體幾何證明中非常重要典型例題九例9如圖所示，平面平面，點、，點，是、的公垂線，是斜線若，、分別是和的中點，(1)求證：；(2)求的長分析：（1）要證，取的中點，只要證明所在的平面為此證明，即可(2)要求之長，在中，、的長度易知，關鍵在于證明，從而由勾股定理可以求解證明：(1)連結，設是的中點，分別連結、是的中點，又，同理是的中點，平面平面， (2)分別連結、，又是、的公垂線，是等腰三角形又是的中點，在中，說明：(1)證“線面平行”也可以先證“面面平行”，然后利用面面平行的性質，推證“線面平行”，這是一種以退為進的解題策略(2)空間線段的長度，

5、一般通過構造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理來求解(3)面面平行的性質：面面平行，則線面平行；面面平行，則被第三個平面所截得的交線平行典型例題十例10 如果平面內的兩條相交直線與平面所成的角相等，那么這兩個平面的位置關系是_分析：按直線和平面的三種位置關系分類予以研究解：設、是平面內兩條相交直線(1)若、都在平面內，、與平面所成的角都為，這時與重合，根據(jù)教材中規(guī)定，此種情況不予考慮(2)若、都與平面相交成等角，且所成角在內；、與有公共點，這時與相交若、都與平面成角，則，與已知矛盾此種情況不可能(3)若、都與平面平行，則、與平面所成的角都為，內有兩條直線與平面平行，這時綜上，平面、的位置關系是

6、相交或平行典型例題十一例11試證經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面和已知平面平行已知：，求證：過有且只有一個平面分析：“有且只有”要準確理解，要先證這樣的平面是存在的，再證它是惟一的，缺一不可證明：在平面內任作兩條相交直線和，則由知，點和直線可確定一個平面，點和直線可確定一個平面在平面、內過分別作直線、，故、是兩條相交直線，可確定一個平面，同理又，所以過點有一個平面假設過點還有一個平面，則在平面內取一直線，點、直線確定一個平面，由公理2知：，又，這與過一點有且只有一條直線與已知直線平行相矛盾，因此假設不成立，所以平面只有一個所以過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行典型例題十二例12已知點是正

7、三角形所在平面外的一點，且，為上的高，、分別是、的中點，試判斷與平面內的位置關系，并給予證明分析1：如圖，觀察圖形，即可判定平面，要證明結論成立，只需證明與平面內的一條直線平行觀察圖形可以看出：連結與相交于，連結，就是適合題意的直線怎樣證明？只需證明是的中點證法1：連結交于點，是的中位線，在中，是的中點，且，為的中點是的中位線，又平面，平面，平面分析2：要證明平面，只需證明平面平面，要證明平面平面，只需證明，而，可由題設直接推出證法2：為的中位線，平面，平面，平面同理：平面，平面平面，又平面，平面典型例題十三例13如圖，線段分別交兩個平行平面、于、兩點，線段分別交、于、兩點，線段分別交、于、兩

8、點，若，的面積為72，求的面積分析：求的面積，看起來似乎與本節(jié)內容無關，事實上，已知的面積，若與的對應邊有聯(lián)系的話，可以利用的面積求出的面積解：平面，平面，又，同理可證：，與相等或互補，即由，得，由，得：，又的面積為72，即的面積為84平方單位說明：應用兩個平行的性質一是可以證明直線與直線的平行，二是可以解決線面平行的問題注意使用性質定理證明線線平行時，一定第三個平面與兩個平行平面相交，其交線互相平行典型例題十四例14 在棱長為的正方體中，求異面直線和之間的距離分析：通過前面的學習，我們解決了如下的問題：若和是兩條異面直線，則過且平行于的平面必平行于過且平行于的平面我們知道，空間兩條異面直線，

9、總分別存在于兩個平行平面內因此，求兩條異面直線的距離，有時可以通過求這兩個平行平面之間的距離來解決具體解法可按如下幾步來求：分別經(jīng)過和找到兩個互相平等的平面；作出兩個平行平面的公垂線；計算公垂線夾在兩個平等平面間的長度解：如圖，根據(jù)正方體的性質，易證：連結，分別交平面和平面于和因為和分別是平面的垂線和斜線，在平面內，由三垂線定理：，同理：平面，同理可證：平面平面和平面間的距離為線段長度如圖所示：在對角面中，為的中點，為的中點和的距離等于兩平行平面和的距離為說明：關于異面直線之間的距離的計算，有兩種基本的轉移方法：轉化為線面距設、是兩條異面直線，作出經(jīng)過而和平行的平面，通過計算和的距離，得出和距

10、離，這樣又回到點面距離的計算；轉化為面面距，設、是兩條異面直線，作出經(jīng)過而和平行的平面，再作出經(jīng)過和平行的平面，通過計算、之間的距離得出和之間的距離典型例題十五例15正方體棱長為，求異面直線與的距離解法1：（直接法）如圖：取的中點，連結、分別交、于、兩點，易證：，為異面直線與的公垂線段，易證：小結：此法也稱定義法，這種解法是作出異面直線的公垂線段來解但通常尋找公垂線段時，難度較大解法2：（轉化法）如圖：平面，與的距離等于與平面的距離，在中，作斜邊上的高，則長為所求距離，小結：這種解法是將線線距離轉化為線面距離解法3：（轉化法）如圖：平面平面，與的距離等于平面與平面的距離平面，且被平面和平面三等

11、分；所求距離為小結：這種解法是線線距離轉化為面面距離解法4：（構造函數(shù)法）如圖：任取點，作于點，作于點，設，則，且則，故的最小值，即與的距離等于小結：這種解法是恰當?shù)倪x擇未知量，構造一個目標函數(shù)，通過求這個函數(shù)的最小值來得到二異面直線之間的距離解法5：（體積橋法）如圖：當求與的距離轉化為求與平面的距離后，設點到平面的距離為，則，即與的距離等于小結：本解法是將線線距離轉化為線面距離，再將線面距離轉化為錐體化為錐體的高，然后用體積公式求之這種方法在后面將要學到說明：求異面直線距離的方法有：(1)（直接法）當公垂線段能直接作出時，直接求此時，作出并證明異面直線的公垂線段，是求異面直線距離的關鍵(2)

12、（轉化法）把線線距離轉化為線面距離，如求異面直線、距離，先作出過且平行于的平面，則與距離就是、距離（線面轉化法）也可以轉化為過平行的平面和過平行于的平面，兩平行平面的距離就是兩條異面直線距離（面面轉化法）(3)（體積橋法）利用線面距再轉化為錐體的高用何種公式來求(4)（構造函數(shù)法）常常利用距離最短原理構造二次函數(shù)，利用求二次函數(shù)最值來解兩條異面直線間距離問題，教科書要求不高（要求會計算已給出公垂線時的距離），這方面的問題的其他解法，要適度接觸，以開闊思路，供學有余力的同學探求典型例題十六例16如果，和是夾在平面與之間的兩條線段，且，直線與平面所成的角為，求線段長的取值范圍解法1：如圖所示：作于

13、，連結、，在中，由余弦定理，得：，是與所在的角又，也就等于與所成的角，即，即：，即長的取值范圍為解法2：如圖：必在過點且與直線垂直的平面內設，則在內，當時，的長最短，且此時而在內，點在上移動，遠離垂足時，的長將變大，從而，即長的取值范圍是說明：(1)本題考查直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關系，對于運算能力和空間想象能力有較高的要求，供學有余力的同學學習(2)解法1利用余弦定理，采用放縮的方法構造出關于長的不等式，再通過解不等式得到長的范圍，此方法以運算為主(3)解法2從幾何性質角度加以解釋說明，避免了繁雜的運算推導，但對空間想象能力要求很高，根據(jù)此解法可知線段是連結異面直線和上兩點間

14、的線段，所以是與的公垂線段時，其長最短典型例題十七例17如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行已知：，求證：分析：本題考查面面平行的判定和性質定理以及邏輯推理能力由于兩個平面沒有公共點稱兩平面平行，帶有否定性結論的命題常用反證法來證明，因此本題可用反證法證明另外也可以利用平行平面的性質定理分別在三個平面內構造平行且相交的兩條直線，利用線線平行來推理證明面面平行，或者也可以證明這兩個平面同時垂直于某一直線證明一：如圖，假設、不平行，則和相交和至少有一個公共點，即，于是，過平面外一點有兩個平面、都和平面平行，這和“經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行”相矛盾，假設不成立。證明二：如圖，在平面內任取一點，過點作直線與相交，與也相交，與也相交過作兩相交平面分別與交于直線、，且與、，交于直線、，同理又，、，證明三：如圖，任作直線，說明：證明兩個平面平行，可根據(jù)定義、應用判定定理來證明典型例題十八例18如圖，已知、是異面直線，求證：過和分別存在平面和，使分析：本題考查面面平行及線面垂