1、9.5橢圓,-2-,知識梳理,雙基自測,2,1,自測點評,1.橢圓的定義 我們把平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫作橢圓.這兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點.注:若點M滿足|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c為常數(shù). (1)當2a|F1F2|時,點M的軌跡是橢圓; (2)當2a=|F1F2|時,點M的軌跡是線段; (3)當2a|F1F2|時,點M的軌跡不存在.,-3-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,1,2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),-4-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,1,2,-5-,知識梳理,雙基自測,3

2、,4,1,5,自測點評,1.下列結(jié)論正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓.() (2)橢圓是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形.() (3)橢圓上一點P與兩個焦點F1,F2構(gòu)成PF1F2的周長為2a+2c(其中a為橢圓的長半軸長,c為橢圓的半焦距).() (4)橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓.() (5)關(guān)于x,y的方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲線是橢圓. (),答案,-6-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,2.若直線x-2y+2=0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點,則該橢圓的標準方程為(),答案,解析,-

3、7-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,答案,解析,-8-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,答案,解析,-9-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,答案,解析,-10-,知識梳理,雙基自測,自測點評,1.要熟練掌握橢圓中的參數(shù)a,b,c的內(nèi)在關(guān)系及橢圓的基本性質(zhì). 2.理解離心率的大小范圍,并能根據(jù)離心率的變化情況來判斷橢圓的扁圓程度. 3.解決橢圓中的焦點三角形問題要充分運用橢圓的定義、三角形的有關(guān)知識,對于其面積公式要熟記,以避免計算量太大而出錯.,-11-,考點1,考點2,考點3,-12-,考點1,考點2,考點3,(1)3 故|PF1|2+

4、|PF2|2=|F1F2|2=4c2, 則(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2, 所以2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2. 所以|PF1|PF2|=2b2.,-13-,考點1,考點2,考點3,-14-,考點1,考點2,考點3,-15-,考點1,考點2,考點3,-16-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.在利用橢圓定義解題的時候,一方面要注意到常數(shù)2a|F1F2|這個條件;另一方面要熟練掌握由橢圓上任一點與兩個焦點所組成的焦點三角形中的數(shù)量關(guān)系. 2.對于橢圓標準方程的求解,首先要明確參數(shù)a,b,c,其次要熟練掌握其內(nèi)在關(guān)系,最后對于橢圓上的已知點要有代入的意識

5、.,-17-,考點1,考點2,考點3,A.10B.12C.14D.15 (2)與圓C1:(x+3)2+y2=1外切,且與圓C2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為.,-18-,考點1,考點2,考點3,解析: (1)如圖,設(shè)橢圓的左焦點為F, |PF|+|PF|=2a=6. |PA|-|PF|AF|, APF的周長=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6-|PF|4+6+4=14,當且僅當三點A,F,P共線時取等號. APF周長的最大值等于14. (2)設(shè)動圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=1

6、0|C1C2|, 即P在以C1(-3,0),C2(3,0)為焦點,長軸長為10的橢圓上,得點P的軌跡方程為,-19-,考點1,考點2,考點3,思考如何理清橢圓的幾何性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系?,-20-,考點1,考點2,考點3,-21-,考點1,考點2,考點3,-22-,考點1,考點2,考點3,(方法二)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2. 依題意,點A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對稱,且|AB|=10.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x12+4y12=4b2,x22+4y22=4b2, 兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0.

7、 易知AB與x軸不垂直,則x1x2, 代入得,x2+4x+8-2b2=0.,-23-,考點1,考點2,考點3,-24-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題時,要結(jié)合圖形進行分析,當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.橢圓 中的最值往往與橢圓的范圍有關(guān)聯(lián),如-axa,-byb就是橢圓中的隱含條件,要注意靈活應(yīng)用.,-25-,考點1,考點2,考點3,答案: (1)A(2)0,12,-26-,考點1,考點2,考點3,-27-,考點1,考點2,考點3,-28-,考點1,考點2,考點3,例3設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直

8、線l過點B(1,0)且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點,過B作AC的平行線交AD于點E. (1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程; (2)設(shè)點E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點,過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點,求四邊形MPNQ面積的取值范圍. 思考解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是什么?,-29-,考點1,考點2,考點3,解 (1)因為|AD|=|AC|,EBAC, 所以EBD=ACD=ADC. 所以|EB|=|ED|, 所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圓A的標準方程為(x+1)2+y2=16, 所以|AD|=4,

9、所以|EA|+|EB|=4. 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2. 由橢圓定義可得點E的軌跡方程為,-30-,考點1,考點2,考點3,-31-,考點1,考點2,考點3,-32-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,再應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單.,-33-,考點1,考點2,考點3,-34-,考點1,考點2,考點3,-35-,考點1,考點2,考點3,-36-,考點1,考點2,考點3,-37-,考點1,考點2,考點3,-38-,考點

10、1,考點2,考點3,1.判斷橢圓的兩種標準方程的方法為比較標準方程形式中x2和y2的分母大小. 2.關(guān)于離心率的范圍問題,一定不要忘記橢圓離心率的取值范圍為0b0)上點的坐標為P(x,y)時,則|x|a,這往往在求與點P有關(guān)的最值問題中特別有用,也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因.,-39-,高頻考點高考中橢圓的離心率問題 離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)之一,是高考中常考的問題.此類問題要么直接求出參數(shù)a和c,進而通過公式 求離心率;要么先列出參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,再轉(zhuǎn)化為只含有a和c的關(guān)系,進而得出離心率.求解離心率的范圍除了借助橢圓本身的屬性,有時還要借助不等式知識及橢圓的范圍等幾何特點.,-40-,答案D,-41-,解析當點P與短軸的頂點重合時, F1F2P構(gòu)成以F1F2為底邊的等腰三角形, 此種情況有2個滿足條件的等腰三角形F1F2P;