1、學(xué)科:數(shù)學(xué) 年級(jí):八年級(jí) 課題:角的平分線性質(zhì) 授課教師: 周邦益 學(xué)校： 啟東市建新中學(xué) 郵編 ：226221 電子郵件： 聯(lián)系方式八年級(jí)上冊(cè)人教2011課標(biāo)版,12.3角的平分線的性質(zhì),知識(shí)回顧,1、角平分線的概念,一條射線,把一個(gè)角,分成兩個(gè)相等的角，,這條射線叫做這個(gè)角的平分線。,知識(shí)回顧,2、點(diǎn)到直線距離:,從直線外一點(diǎn),到這條直線的垂線段,的長(zhǎng)度，,叫做點(diǎn)到直線的距離。,如圖,是一個(gè)平分角的儀器,其中AB=AD,BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫(huà)一條射線AE,AE就是角平分線.你能說(shuō)明它的道理嗎?,你能由上面的探究得出

2、作已知角的平分線的方法嗎?,探究1：,E,角的平分線的作法,證明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的 對(duì)應(yīng)邊相等） AC平分DAB（角平分線的定義）,尺規(guī)作角的平分線,A,畫(huà)法：,以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交于，交于,分別以，為圓心大于 1/2 的長(zhǎng)為半徑作弧兩弧在的內(nèi)部交于,作射線,射線即為所求,A,為什么OC是角平分線呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。 求證：OC平分AOB。,證明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） M

3、OC=NOC 即：OC平分AOB,1平分平角AOB 2通過(guò)上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長(zhǎng)得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？ 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。,變式),將 AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開(kāi),觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?,可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到AOB兩邊的距離,這兩個(gè)距離相等.,折一折,探究2,角平分線的性質(zhì),已知：如圖，OC是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別是

4、D，E。,求證：PD=PE,證明： PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直的定義）,在PDO和PEO中, PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO（AAS）,角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。,證明幾何命題的一般步驟： 1、明確命題的已知和求證 2、根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證； 3、經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程。,角平分線的性質(zhì),定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,用符號(hào)語(yǔ)言表示為：,A,O,B,P,1,2, 1= 2 （或OP是平分BAC） PD OA ，P

5、E OB PD=PE (角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等),推理的理由有三個(gè)，必須寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè)。,角平分線的性質(zhì),角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。,定理應(yīng)用所具備的條件：,定理的作用：,證明線段相等。, 如圖，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）,判斷：,變式, 如圖， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。,不必再證全等,思考

6、： 要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應(yīng)建在何處？（比例尺 1：20 000）,s,公路,鐵路,解： 作夾角的角平分線OC，截取 OD=2.5cm ,D即為所求。,D,C,s,公路,鐵路,變式,如圖， OC是AOB的平分線， 又 _ PD=PE ( ),PDOA，PEOB,角的平分線上的點(diǎn) 到角的兩邊的距離相等,在OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D. 求證：AC=BD.,例題,變式,在ABC中， C=90 ，AD為BAC的平分線，DEAB，BC7，DE3. 求BD的長(zhǎng)。,如圖，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分線，DEAB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF； 求證：CF=EB,拓展提升,這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？,小 結(jié),1、“作已知角的平分線”的尺規(guī)作圖法；,2、角的平分線的性質(zhì)： 111角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。, OC是AOB的平分線, 又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分線上的點(diǎn) 到角的兩邊距離相等).,幾何語(yǔ)言:,，,4,3 . 如圖，DEAB，DFBC，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， EDB= 60，則 EBF= 度，BE= 。,60,BF,4.如圖，在ABC中，C=90，DEAB，1