1、1,第三章 集合與關系,3-1 集合的概念和表示法 授課人：李朔 Email:,2,一、集合的概念,集合是不能精確定義的數學基本概念, 當我們討論某一類對象時，就把這一類對象的全體稱為集合。這些對象稱為集合中元素。元素也是抽象的，無法精確定義，可以認為是存在于世界上的一切客觀物體。 例如：地球上的人。 公園里的花。 坐標平面上的點。,3,一、集合的概念,通常用大寫字母表示一個集合，例A，B，。 用小寫字母表示一個集合的元素，例a, b, x, y, 。 若元素a屬于集合A，記作aA, 否則記aA。 若一個集的元素個數是有限，稱有限集，否則稱為無限集。 有限集合的元素個數稱為該集合的基數，集合A

2、的基數記為|A|。,4,一、集合的概念,本書通常用N表示自然數集（包含0），Z代表整數數集，Q代表有理數集，R代表實數集，C代表復數集。 集合的表示通常有二種方法： 1）列舉法：把集合的元素在花括號內列出 例 A=a, b, c, d N=0, 1, 2, W=風馬牛 Z=3，5，6，9 （沒有規(guī)律，所以不能用列舉法）,5,一、集合的概念,2）描述法：用謂詞概括該集合元素的屬性。 B = x P(x) 表示B由使P(x)為真的x組成。 例： B=x x R 3 x 6 , C=x x2=1（=1，-1） D=y| y是教室中所有聽課的同學 集合的元素必須是確定的。所謂確定的，是指任何一個對象是

3、不是集合的元素是明確的、確定的，不能模棱兩可。即對于集合A，任一元素a，要么a屬于A，要么a不屬于A，兩者必居其一。 集合的元素又是能區(qū)分的，能區(qū)分的是指集合中的元素是互不相同的。如果一個集合中有幾個元素相同，算做一個。例如集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合, a, b, a, a, b與a,a,b,b,b 是相同的集合。 集合的元素又是無序的，即1,2,3和3,1,2是同一集合。 集合的元素還可以允許是一個集合，如S= 1,2, 3, a,a,6,二集合之間的關系,集合之間有二種基本關系： 1）相等：兩個集A，B稱作相等，當且僅當A，B的元素完全相同，記A=B，否則AB。(P82外延性

4、原理） 例 1, 2, 4 1, 2, 4 1, 3, 5 =x x是正奇數 2）子集（83 定義3-1.1）：A，B為兩個集合，若A的每個元素都是B的元素，稱A為B的子集，或A包含在B內，或包含，記AB或BA。 即 A B x(xAxB) 根據子集的定義，可立即有：對任意集合A，B，C： 1）AA； （自反性） 2）AB，BC則AC；(傳遞性）,7,二集合之間的關系,定理3-1.1 A=B AB且BA 證:設A=B，則x (xAxB)與x (xBxA)都為真，故AB且BA。 反之，若AB且BA而AB，設某一xA但xB（或xB但xA）這與AB（或BA）矛盾。 *本定理結論是我們以后證明兩個集合

5、相等的主要判定方法。(互為子集法） 定義3-1.2:真子集。A，B為兩個集合，若A的每個元素都是B的元素，但B中至少有一個元素不屬于A，則稱A為B的真子集，或A包含在B內，記AB。 即A B x (xAxB)(x)(xBxA) ABABAB 例如：Z Q 又例如：設 A=a，B=a,b，C=a,b,c 則 AB，BC，AC，但 AA,8,三、空集,84 定義3-1.3 不含任何元素的集合稱為空集，記為，即= 。 =x | P(x)P(x) 其中，P(x)為任意謂詞 空集是不包含任何元素的集合，所以，|=0。 注： ， 。 定理3-1.2 對任一個集合A， A。 證：設不是A的子集，則必有x 而

6、xA，這與的定義矛盾。 根據本定理，空集是任意集合的子集，即 A；對任意集合A，AA。一般地說，任意集合A至少有兩個子集，一個是空集 ，另一個是它本身A。 (稱與為的平凡子集） 推論 空集是惟一的。,9,例：確定下列命題的真假： (a) (b) (c) (d) (e)a,b a,b,ca,b,c (f)a,b a,b,ca,b,c (g)a,b a,b,c,a,b (h)a,b a,b,c,a,b,10,例：求出下列集合的全部子集： (a) , , (b)a,b,a,a,b,b,a,b , a,b,11,四、全集,定義3-1.4全集 若在特定條件下考慮的對象均屬于E，則稱E為全集。 全集概念相

7、當于論域。如討論宇宙萬物的集合時一切客體都屬于全集。而討論一個班級，則該班級的全部學生組成了全集。 以一個集合的所有子集為元素，可以組成另外一種集合。,12,五、冪集,定義3-1.5 給定集合A，由A的所有子集為元素組成的集合稱為A的冪集，記P(A)。 即 P (A) =S | SA 例如 設A=a,b,c， 是空集，試求 P (A)，P (P ()。 解： P (A)= ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c P ()= ， P (P () = , *一個有限集A，可以有多少個不同的子集？即它的冪集的基數,13,五、冪集,P85 定理3-1.3：如果有限集合A有n個元素,則其冪集P(n)有2n個元素。 證明：A的所有由k個元素組成的子集為從n個元素中取k個元素的組合數。 另外，因 ，故P(A)的總數N可表示為： 又因 令x=y=1， 故P(A)的元素個數是2n,14,六、子集編碼,引進一種編碼，用來唯一地表示有限集冪集的元素。 以S=a,b,c為例： P(S)=Si|iJ J=i|i是二進制且000J111 *先元素排列，后各元素與對應位映射。 例如：S3=S011=b,c,S6=S110=a,b等。 *一般地P（S）=S0，S1，S2n-1 即P(S)=i|I是二進制數且 ,15,本課小結,集合，有限集，無