1、數(shù)列的全章復習與鞏固編稿：李霞 審稿：張林娟【學習目標】1系統(tǒng)掌握數(shù)列的有關概念和公式；2掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質、通項公式與前項和公式，并運用這些知識解決問題；3了解數(shù)列的通項公式與前項和公式的關系，能通過前項和公式求出數(shù)列的通項公式；4掌握常見的幾種數(shù)列求和方法.【知識網(wǎng)絡】 數(shù)列的通項 通項公式等差中項前n項和公式等差數(shù)列性質通項公式等比中項前n項和公式等比數(shù)列性質數(shù)列數(shù)列前n項和數(shù)列的遞推公式應用【要點梳理】要點一：數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式一個數(shù)列的第n項與項數(shù)n之間的函數(shù)關系，如果可以用一個公式來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。要點詮釋：不是每個數(shù)列都能寫

2、出它的通項公式。如數(shù)列1，2，3，1，4，2，就寫不出通項公式；有的數(shù)列雖然有通項公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：數(shù)列1，1，1，1，的通項公式可以寫成，也可以寫成；僅僅知道一個數(shù)列的前面的有限項，無其他說明，數(shù)列是不能確定的。通項與前n項和的關系：任意數(shù)列的前n項和；要點詮釋：由前n項和求數(shù)列通項時，要分三步進行：（1）求，（2）求出當n2時的，（3）如果令n2時得出的中的n=1時有成立，則最后的通項公式可以統(tǒng)一寫成一個形式，否則就只能寫成分段的形式。數(shù)列的遞推式：如果已知數(shù)列的第一項或前若干項，且任一項與它的前一項或前若干項間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞

3、推公式，簡稱遞推式。要點詮釋：利用遞推關系表示數(shù)列時，需要有相應個數(shù)的初始值，可用湊配法、換元法等.要點二：等差數(shù)列判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法定義法：（常數(shù)）是等差數(shù)列；中項公式法：是等差數(shù)列；通項公式法：（p，q為常數(shù)）是等差數(shù)列；前n項和公式法：（A，B為常數(shù)）是等差數(shù)列。要點詮釋：對于探索性較強的問題，則應注意從特例入手，歸納猜想一般特性。等差數(shù)列的有關性質：（1）通項公式的推廣：（2）若，則；特別，若，則（3）等差數(shù)列中，若.（4）公差為d的等差數(shù)列中，連續(xù)k項和， 組成新的等差數(shù)列。（5）等差數(shù)列，前n項和為當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，；。（6）等差數(shù)列，前n項和為，則（m、

4、nN*，且mn）。（7）等差數(shù)列中，若m+n=p+q（m、n、p、qN*，且mn，pq），則。（8）等差數(shù)列中，公差d，依次每k項和：，成等差數(shù)列，新公差.等差數(shù)列前n項和的最值問題：等差數(shù)列中 若a10，d0，有最大值，可由不等式組來確定n； 若a10，d0，有最小值，可由不等式組來確定n，也可由前n項和公式來確定n.要點詮釋：等差數(shù)列的求和中的函數(shù)思想是解決最值問題的基本方法.要點三 ：等比數(shù)列判定一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法（1）定義法：（q是不為0的常數(shù)，nN*）是等比數(shù)列；（2）通項公式法：（c、q均是不為0的常數(shù)nN*）是等比數(shù)列；（3）中項公式法：（，）是等比數(shù)列. 等比數(shù)列的主

5、要性質：（1）通項公式的推廣：（2）若，則.特別，若，則（3）等比數(shù)列中，若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.（4）公比為q的等比數(shù)列中，連續(xù)k項和， 組成新的等比數(shù)列。（5）等比數(shù)列，前n項和為，當n為偶數(shù)時，。（6）等比數(shù)列中，公比為q，依次每k項和：，成公比為qk的等比數(shù)列。（7）若為正項等比數(shù)列，則（a0且a1）為等差數(shù)列；反之，若為等差數(shù)列，則（a0且a1）為等比數(shù)列。（8）等比數(shù)列前n項積為，則等比數(shù)列的通項公式與函數(shù)：方程觀點：知二求一；函數(shù)觀點：時，是關于n的指數(shù)型函數(shù)； 時，是常數(shù)函數(shù)；要點詮釋：當時，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；若，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；當時，若，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；若，

6、等比數(shù)列是遞增數(shù)列；當時，等比數(shù)列是擺動數(shù)列；當時，等比數(shù)列是非零常數(shù)列。要點四：常見的數(shù)列求和方法公式法：如果一個數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，直接用其前n項和公式求和。分組求和法：將通項拆開成等差數(shù)列和等比數(shù)列相加或相減的形式，然后分別對等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.如：an=2n+3n.裂項相消求和法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，正負相消，剩下首尾若干項的方法.一般通項的分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項積的形式.若，分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項積的形式,則，如an= 錯位相減求和法：通項為非常數(shù)列的等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應項的積的形式：, 其中 是公差d0等差數(shù)列，

7、是公比q1等比數(shù)列，如an=(2n-1)2n.一般步驟：，則所以有要點詮釋：求和中觀察數(shù)列的類型，選擇合適的變形手段，注意錯位相減中變形的要點.要點五：數(shù)列應用問題數(shù)列應用問題是中學數(shù)學教學與研究的一個重要內容,解答數(shù)學應用問題的核心是建立數(shù)學模型,有關平均增長率、利率（復利）以及等值增減等實際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學模型.建立數(shù)學模型的一般方法步驟.認真審題，準確理解題意，達到如下要求：明確問題屬于哪類應用問題；弄清題目中的主要已知事項；明確所求的結論是什么.抓住數(shù)量關系，聯(lián)想數(shù)學知識和數(shù)學方法，恰當引入?yún)?shù)變量或適當建立坐標系，將文字語言翻譯成數(shù)學語言，將數(shù)量關系用數(shù)學式子表達.將實際

8、問題抽象為數(shù)學問題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學關系式（如函數(shù)關系、方程、不等式）.要點詮釋：數(shù)列的建模過程是解決數(shù)列應用題的重點，要正確理解題意，恰當設出數(shù)列的基本量.【典型例題】類型一：數(shù)列的概念與通項例1寫出數(shù)列：，的一個通項公式.【思路點撥】從各項符號看，負正相間，可用符號表示；數(shù)列各項的分子：1，3，5，7，是個奇數(shù)列，可用表示；數(shù)列各項的分母：5，10，17，26，恰是, ,可用表示；【解析】通項公式為：.【總結升華】求數(shù)列的通項公式就是求數(shù)列中第項與項數(shù)之間的數(shù)學關系式。如果把數(shù)列的第1，2，3，項分別記作，那么求數(shù)列的通項公式就是求以正整數(shù)(項數(shù))為自變量的函

9、數(shù)的表達式；通項公式若不要求寫多種形式，一般只寫出一個常見的公式即可； 給出數(shù)列的構造為分式時，可從各項的符號、分子、分母三方面去分析歸納，還可聯(lián)想常見數(shù)列的通項公式，以此參照進行比較.舉一反三：【變式1】數(shù)列：，的一個通項公式是（ ）A. B.C. D.【答案】采用驗證排除法，令,則A、B、C皆被排除，故選D.【變式2】給出數(shù)表： （1）前行共有幾個數(shù)？（2）第行的第一個數(shù)和最后一個數(shù)各是多少？（3）求第行的各數(shù)之和；（4）數(shù)100是第幾行的第幾個數(shù)？【答案】（1）；（2），；（3）；（4）第14行的第9個數(shù)。類型二：等差、等比數(shù)列概念及其性質的應用例2.已知三個數(shù)成等比數(shù)列，積為216，若

10、第二個數(shù)加上4，則它們構成一個等差數(shù)列，求這三個數(shù)。【思路點撥】成等比數(shù)列的三個數(shù)我們可以設為、，可以簡化運算.【解析】設這三個數(shù)為、，由題知，解得，又，構成等差數(shù)列，即，解得或，這三個數(shù)為2，6，18或18，6，2?！究偨Y升華】 恰當?shù)剡x擇設未知數(shù)，列方程（組）求解。方程思想在數(shù)列中很重要。舉一反三：【變式1】如果一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32：27，求公差.【答案】設等差數(shù)列首項為，公差為d，則【高清課堂：數(shù)列綜合381084 例1】【變式2】已知兩個等比數(shù)列，滿足，.（1）若，求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列唯一，求的值.【答案】（1）或（2）

11、例3.設是等差數(shù)列的前n項和，若，則等于( )A B C D【思路點撥】利用等差數(shù)列的性質來解：等差數(shù)列中， ，也成等差數(shù)列.【解析】由題意知，成等差數(shù)列，由已知得，故公差為，所以，故，故，所以故選A。【總結升華】等差等比數(shù)列的性質是高考命題的熱點，熟練掌握它們的性質并靈活運用，能使問題簡潔.舉一反三：【變式】 已知等差數(shù)列，, , 則（ ）A.125 B.175C.225D.250【答案】C方法一：為等差數(shù)列，,成等差數(shù)列，即， 解得，選C.方法二：取特殊值（適用選擇題）：令，由題意可得,，, 選C.方法三：,兩式相減可得， .選C.例4設Sn、Tn分別為等差數(shù)列an，bn的前n項和，滿足，

12、求.【思路點撥】利用等差數(shù)列的前n項求和公式及性質是解決本題的關鍵，主要利用： 進行求解.【答案】【解析】方法一：方法二：設(k0)， a11=S11-S10=11k(711+1)-10k(710+1)=148k b11=T11-T10=11k(411+27)-10k(410+27)=111k .【總結升華】等差數(shù)列的中項在前n項和式中的應用是解決本例的關鍵，也應注意到前n項和與通項公式的聯(lián)系.舉一反三：【變式1】等差數(shù)列an中，Sn=50，求項n.【答案】，由（1）+（2）得:，.【變式2】已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則_.【答案】由已知得，故.【變式3】等差數(shù)列中，,，則它的前_ 項和最大

13、，最大項的值是_.【答案】7，49設公差為d, 由題意得3a1+d=11a1+d，得d=-2,有最大值.又S3=S11,可得n=7， S7為最大值，即S7=713+(-2)=49.類型三：由遞推關系求數(shù)列通項公式例5已知數(shù)列中，求.【思路點撥】把整理成，得數(shù)列為等比數(shù)列，再用疊加法,等比數(shù)列求和求出通項公式.【解析】法一：設，解得即原式化為設，則數(shù)列為等比數(shù)列，且法二： 由得：設，則數(shù)列為等比數(shù)列法三：，【總結升華】求數(shù)列通項公式，特別是由遞推公式給出數(shù)列時，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，還應注意根據(jù)遞推關系式的特點，進行轉化，變形為與是等差（等比）有關的數(shù)列. 若數(shù)列滿足為常數(shù)），則令來構

14、造等比數(shù)列，并利用對應項相等求的值，求通項公式。舉一反三：【變式1】數(shù)列中，則 。【答案】 為首項為2公比也為2的等比數(shù)列。，（n1）n1時顯然n=1時滿足上式【變式2】在數(shù)列an中，a1=1，an+1=，求an.【答案】，將以上各式疊加，得又n=1時，類型四：與的關系的綜合運用例6.設為數(shù)列的前n項和，nN+，其中k是常數(shù) (1)求及； (2)若對于任意的mN+，成等比數(shù)列，求k的值【思路點撥】（1）利用n2時，進行求解，注意對n=1時進行驗證；（2）利用等比中項及恒成立問題求解.【解析】(1)當n1時， 當n2時， 經(jīng)檢驗，n1時，上式成立， (2) ，成等比數(shù)列， ，即， 整理得：，對任

15、意的mN+成立， k0或1【總結升華】等比數(shù)列中通項與求和公式間有很大的聯(lián)系，它們是，尤其注意首項與其他各項的關系.舉一反三：【變式1】已知正項數(shù)列an，其前n項和Sn滿足，且a1，a3，a15成等比數(shù)列，求數(shù)列an的通項an.【答案】， ，解之得a1=2或a1=3.又， 由-得，即an+an-10，an-an-1=5(n2).當a1=3時，a3=13，a15=73，a1，a3，a15不成等比數(shù)列a13；當a1=2時，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，a1=2，an=5n-3.【變式2】已知數(shù)列的前項和為，。（1）求；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列?！敬鸢浮浚?）由，得，又，即，得。

16、（2）證明：當時，得，又，所以為首項為，公比為的等比數(shù)列。【變式3】（2016 浙江文）設數(shù)列an的前n項和為Sn。已知S2=4，an+1=2Sn+1，nN*。.（I）求通項公式an；（II）求數(shù)列ann2的前n項和?！敬鸢浮浚?）由題意得：，則，又當n2時，由an+1an=(2Sn+1)(2Sn1+1)=2an，得an+1=3an，所以，數(shù)列an的通項公式為an=3n1，nN*。（2）設bn=|3n1n2|，nN*，b1=2，b2=1。當n3時，由于3n1n+2，故bn=3n1n2，n3。設數(shù)列bn的前n項和為Tn，則T1=2，T2=3。當n3時，所以，類型五：數(shù)列的求和問題例7. 求數(shù)列1

17、，的前n項和.【思路點撥】本題求和后，不宜直接分組，應該把通項化簡變形后，再決定如何分組求和。【解析】（1）當時， （2）當時，；（3）當，原數(shù)列為1，0，1，0，1，0， 若為偶數(shù)，令（），則； 若為奇數(shù)，令（），則.【總結升華】分類討論和n的奇偶是本例化簡的關鍵.舉一反三：【變式1】求數(shù)列的前n項和?！敬鸢浮克钥梢缘玫剑骸！咀兪?】求和：【答案】a=0或b=0時，當a=b時，；當ab時，類型六：應用題例8某商場因管理不善及場內設施陳舊，致使年底結算虧損，決定從今年開始投入資金進行整修，計劃第一個月投入80萬元，以后每月投入將比上月減少.第一個月的經(jīng)營收入約為40萬元，預計以后每個月收入會比上個月增加.(1) 設n個月內的總投入為an萬元，總收入為bn萬元，寫出an，bn；(2) 問經(jīng)過幾個月后商場開始扭虧為盈.【思路點撥】應用題須認真讀懂關鍵詞句，容易看出每月的投入和收入均構成等比數(shù)列?！窘馕觥?(1)由題意，得.(2)由題意，令an0.t1，解得t，即.取n4，則；取n5，則第5月開始扭虧為盈【總結升華】解應用題的關鍵是建立數(shù)學模型，只要把模型中的量具體化就可得相應的解析式.舉一反三：【變式】某地區(qū)原有森林木材